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4.1.1 圆的标准方程

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第四章 圆与方程 4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

【知识提炼】 1.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2 (1)已知圆心坐标为(a,b),半径为r,则圆的标准方程为_____________

=r2 ___.
x2+y2=r2 (2)当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为________.<

br />
2.点与圆的位置关系 d<r ?点在圆内. (1)____
d=r ?点在圆上. (2)____ d>r ?点在圆外. (3)____

【即时小测】 1.思考下列问题: (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗? 提示:不一定.当m=0时表示点(a,b);当m≠0时表示圆. (2)确定点与圆的位置关系的关键点是什么? 提示:关键点是点与圆心的距离与半径的大小比较 .

2.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为 A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25

(

)

【解析】选D.将O(-3,4),r=5代入圆的标准方程可得.

3.下面各点在圆(x+2)2+(y+1)2=5上的是 ( A.(-2,1) B.(2,1) C.(0,-1)

)

D.(-1,1)

【解析】选D.将各点代入圆的方程可得,只有(-1,1)满足要求.

4.已知圆C:(x-3)2+(y+2)2=4,则该圆的圆心坐标和半径分别为 . 【解析】根据(x-3)2+(y+2)2=4可得圆心坐标为(3,-2),半径为2. 答案:(3,-2),2

5.圆心为C(1,-5),且经过原点的圆的方程是 【解析】由条件知,r2=12+(-5)2=26, 故圆的方程为(x-1)2+(y+5)2=26. 答案:(x-1)2+(y+5)2=26

.

【知识探究】

知识点1

圆的标准方程

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:从哪几方面来理解圆的标准方程? 问题2:圆的标准方程中参数a,b,r有何作用?

【总结提升】 1.对圆的标准方程的三点说明 (1)对于圆的标准方程,要从其结构形式上准确理解.圆的标准方程是 由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的定义的直观反映,是代数与 几何结合的完美体现.

(2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心坐标和半径,反之,已知圆的 圆心坐标和半径也可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方 程的优越性. (3)要确定圆的标准方程只需要找出圆心坐标和半径即可.

2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆 心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用, 即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.

【拓展延伸】几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程:x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程:(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程:x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程:(x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程:x2+(y-b)2=b2(b≠0).

知识点2

点与圆的位置关系

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:点与圆有怎样的位置关系?确定的依据是什么? 问题2:如何确定一定点与圆上任一点间的最值?

【总结提升】 点与圆的位置关系及其确定依据 (1)位置关系: 点与圆有三种位置关系,点在圆上,点在圆内,点在圆外. (2)确定依据 设点A(x0,y0)到圆心C(a,b)的距离为|AC|,则 AC ? (x 0 ? a)2 ? (y0 ? b) 2: ①当|AC|=r,即 即 (x 0 ? a)2 ? (y0 ? b) 2 ? r,

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点A(x0,y0)在圆上;

②当|AC|<r,即

? x 0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r,即
2 2

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点A(x0,y0)在圆内; ③当|AC|>r,即 即 (x 0 ? a)2 ? (y0 ? b) 2 ? r,

(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点A(x0,y0)在圆外. 上述各结论,反过来也成立.

【拓展延伸】确定一定点与圆上任一点间的最值的方法 若点M与圆心的距离为d,则有: (1)若点M在圆C外,则|PM|的最大值为d+r,最小值为d-r. (2)若点M在圆C上,则|PM|的最大值为2r,最小值为0. (3)若点M在圆C内,则|PM|的最大值为d+r,最小值为r-d.

【题型探究】 类型一 用直接法求圆的标准方程

【典例】1.(2015·福安高一检测)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径 端点的圆的方程是 A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 ( )

2.某圆的圆心为(2,-1),且过点(4,-2),则圆的标准方程是

.

3.(2015·太原高一检测)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标 准方程为 .

【解题探究】1.典例1中由A,B的坐标如何确定圆心的坐标? 提示:由于A,B的中点即为圆心,由中点坐标公式可得圆心为(1,2). 2.典例2中由圆心(2,-1)和点(4,-2),如何确定圆的半径? 提示:圆心与点(4,-2)的距离即为该圆的半径,即r2=(2-4)2+(-1+2)2= 5. 3.典例3中圆与y轴相切,如何得出圆的半径? 提示:由于圆与y轴相切,则圆的半径等于该圆心横坐标的绝对值,即为 5.

【解析】1.选D.圆心即为两点A,B的中点,其坐标为(1,2),半径
r? 1 1 | AB |? 2 2

?-3-5 ? ? ?-1-5 ? ? 5.
2 2

故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 2.由题意得r2=(2-4)2+(-1+2)2=5, 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5. 答案:(x-2)2+(y+1)2=5

3.由于圆与y轴相切,则圆的半径等于该圆心横坐标的绝对值 ,因为圆 心坐标为(-5,-3),故r=|-5|=5,所以圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2= 25. 答案:(x+5)2+(y+3)2=25

【方法技巧】用直接法求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的 标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和 半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时 还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线 的交点必过圆心”等.

【变式训练】(2015·邢台高一检测)圆心在x轴,且经过点A(2,1), B(0,3)的圆的标准方程为 .

【解析】结合题意可知,圆心必在线段AB的垂直平分线上,由于kAB=-1, 线段AB的中点是(1,2),故线段AB的垂直平分线方程为y-2=x-1,即y=x +1,又圆心在x轴,令y=0,得x=-1,故圆心坐标是(-1,0),又r2=(0+1)2+ (3-0)2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+y2=10. 答案:(x+1)2+y2=10

【一题多解】本题还可用以下方法求解. 设圆心坐标为(a,0)则(a-2)2+1=a2+9解得a=-1, 圆的半径为 32 ? 12 ? 10, 所以圆的方程为(x+1)2+y2=10. 答案:(x+1)2+y2=10

类型二

用待定系数法求圆的标准方程

【典例】1.(2015·铁岭高一检测)经过点A(-1,3),B(4,2)且圆心在x 轴上的圆的方程是 .

2.(2015·临沂高一检测)一圆过原点O和点P(-1,2),圆心在直线 y=x+1上,求此圆的方程.

【解题探究】1.典例1中圆心在x轴上的圆心坐标如何表示? 提示:可设为(a,0). 2.典例2中根据圆心在直线y=x+1上,可设出圆心坐标为什么形式?线 段OP的垂直平分线与直线y=x+1的交点与圆心有何关系? 提示:可设圆心坐标为(a,a+1);交点即为圆心.

【解析】1.由于圆心在x轴上,故可设圆心坐标为(a,0),设圆的方程
2 2 2 ? ( - 1 - a) ? 3 ? r , ? 为(x-a)2+y2=r2,因为圆经过A,B两点,可得 ? 解得 2 2 2 ? ?(4-a) ? 2 ? r ,

a=1,r2=13. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13. 答案:(x-1)2+y2=13

2.方法一:因为圆心在直线y=x+1上, 所以设圆心坐标为(a,a+1),则圆的方程为(x-a)2+(y-1-a)2=r2,又因
2 2 2 ? ?(0-a) ? (0-1-a) ? r , 为点O(0,0)和P(-1,2)在圆上,所以 ? 2 2 2 ( - 1 - a) ? (2 - 1 - a) ? r , ? ? 解得 a ? 1 ,r 2 ? 5 . 2 2 故所求的圆的方程为 (x- 1 ) 2 ? (y- 3 ) 2 ? 5 . 2 2 2

1 方法二:由题意,圆的弦OP的斜率为-2,中点坐标为 (- ,1) ,所以弦 2

OP的垂直平分线方程
1 1 为 y-1 ? ( x ? ) ,即2x-4y+5=0,又因为圆心在直线y=x+1上,且圆心 2 2

2x-4y ? 5 ? 0, 也在弦OP的垂直平分线上,故 ? ? ? x-y ? 1 ? 0,

1 ? x ? , ? 2 解得 ? ? ?y ? 3 , ? 2 ?

即圆心坐标为 C( 1 , 3 ), 圆的半径
2 2

1 2 3 2 10 即 r 2 ? 5 . r ?| OC |? ( ) ? ( ) ? , 2 2 2 2

故所求的圆的方程为 (x- 1 ) 2 ? (y- 3 ) 2 ? 5 .
2 2 2

【延伸探究】 1.(变换条件)将典例1中的“x轴”改为“y轴”,其他条件不变,又如 何求解圆的方程? 【解析】由于圆心在y轴上,故可设圆心为(0,b),设圆的方程为x2+(y2 2 2 ? - 1 ? 3 - b ? r , ? ? ? ? b)2=r2,因为圆经过A(-1,3),B(4,2)两点,可得 ? 解 ? 2 2 2 4 ? 2 - b ? r , ? ? ? ?

得b=5,r2=25.故所求圆的方程为x2+(y-5)2=25.

2.(变换条件)将典例1中“且圆心在x轴上”改为“以及点C(1,-1)”, 又如何求解圆的方程? 【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由于该圆经过三点A(-1,3),
?(-1-a) 2 ? (3-b) 2 ? r 2 , 2 2 2 B(4,2),C(1,-1),可得: ? ?(4-a) ? (2-b) ? r , ?(1-a) 2 ? (-1-b) 2 ? r 2 , ?

解得 a ? 4 ,b ? 5 ,r 2 ? 65 .
3 3 9

故圆的方程为 (x- 4 ) 2 ? (y- 5 ) 2 ? 65 .
3 3 9

【方法技巧】 1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

2.求任意△ABC外接圆方程的方法 (1)直接法:①求出AB,AC中垂线的方程; ②联立成二元方程组得圆心D坐标; ③求AD(或BD,CD)得半径; ④代入标准方程一般形式即可. (2)间接法:①设出标准方程; ②代入三点坐标联立成三元方程组; ③解方程组得标准方程.

【补偿训练】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心C在直线x+y-2=0上的圆 的标准方程. 【解析】设圆心为(a,b),半径为r,
a ? b ? 2 ? 0, ? ? 由题意得: ? 2 2 2 2 a ? 1 ? b ? 1 ? a ? 1 ? b ? 1 ? ? ? ? ? ? ?, ? ?? a ? 1, 2 2 解得 ? ? r ? ?1 ? 1? ? ?1 ? 1? ? 2. ? b ? 1,

所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

【延伸探究】 1.若将本题中的直线“x+y-2=0”改为“x+y-1=0”,又如何求解? 【解析】因为圆心在直线y=-x+1上, 所以设圆心坐标为(a,-a+1),则圆的方程为(x-a)2+(y+a-1)2=r2,又因
2 2 2 ? 1 - a ? - 1 - 1 ? a ? r , ? ? ? ? ? 为点A(1,-1),B(-1,1)在圆上,所以 ? 解得 2 2 2 ?-1-a ? ? ?1-1 ? a ? ? r , ? ? 1 5 a ? ,r 2 ? . 2 2 故所求的圆的方程为 (x- 1 ) 2 ? (y- 1 ) 2 ? 5 . 2 2 2

2.若将本题中的“且圆心在直线x+y-2=0上”改为“和点C(1,1)”, 又如何求解? 【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由于该圆经过三点A(1,-1),
??1-a ?2 ? ?-1-b ?2 ? r 2 , ? B(-1,1),C(1,1),可得: ??-1-a ?2 ? ?1-b ?2 ? r 2 , ? ? 2 2 1 - a ? 1 - b ? r2 , ? ? ? ? ? 2 ? 解得a=0,b=0,r =2.

故圆的方程为x2+y2=2.

类型三

点与圆的位置关系

【典例】1.(2015·哈尔滨高一检测)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置 关系是 ( ) B.在圆外 C.在圆上 D.不确定

A.在圆内

2.(2015·嘉兴高一检测)已知点M (5 a ? 1, a ) 在圆(x-1)2+y2=26的 内部,则a的取值范围是 .

【解题探究】1.典例1中点P(m2,5)到圆心的距离是多少? 提示:由于圆心坐标为(0,0),则点P(m2,5)到圆心的距离为 d ? m4 ? 25. 2.典例2中由点M在圆的内部可知点M到圆心的距离怎样? 提示:点M到圆心的距离小于半径即 5 a ? 1-1 ?

?

? ? a?
2

2

? 26.

【解析】1.选B.设O为圆心,r为半径,判断点P与圆的位置关系,即寻 求|PO|与r的关系.则|PO|2=m4+25>24=r2,所以点P在圆外. 2.由于点在圆的内部,所以 (5 a ? 1- 1)2 ? ( a )2 ? 26,即26a<26,又a≥0, 解得0≤a<1. 答案:0≤a<1

【延伸探究】若将题2中的“内部”改为“外部”,其余条件不变,又 如何求解? 【解析】由于点在圆的外部,所以 (5 a ? 1- 1)2 ? ( a )2 ? 26a,即26a>26, 又a≥0,解得a>1.

【方法技巧】判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法:把点的坐标代入圆的方程来判断. ①当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内; ②当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上; ③当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.

【变式训练】若点P是圆(x-5)2+(y-3)2=9上的点,则P到直线3x+4y-2 =0的最小距离是 .
32 ? 42

【解析】因为圆心(5,3)到直线3x+4y-2=0的距离为 d ? | 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 | ? 5, 此距离大于圆的半径3,故此直线与圆相离,所以点P到直线3x+4y-2=0 的最小距离是圆心到直线3x+4y-2=0的距离减去半径. 故最小距离为5-3=2. 答案:2

2 2t 1 ? t 【补偿训练】1.点 P( 与圆x2+y2=1的位置关系是 , ) 1? t2 1? t2

(

)

A.在圆内 C.在圆上

B.在圆外 D.与t的值有关

2 2t 1 ? t 2 2 【解析】选C.因为 ( ) ? ( ) ? 1, 1? t2 1? t2

所以P在圆x2+y2=1上.

2.已知点P(-8,4)与圆C:x2+y2=16,点Q为圆C上任意一点,则|PQ|的最 大值是 .

【解题指南】|PQ|的最大值为|PC|+4. 【解析】|PQ|的最大值等于点P与圆心的距离加半径,由于
| PC |?

?-8 ? ? 42 ? 80 ? 4 5, 故|PQ|的最大值是 | PC | ?4 ? 4
2

?

5 ?1 .

?

答案: 4( 5 ? 1)

易错案例

求圆的标准方程

【典例】(2015·阜阳高一检测)已知某圆圆心C在x轴上,半径为10,

且在y轴上截得的线段AB的长为16,则圆的标准方程为___________.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是借助图形辅助求解时漏掉一解 ,以及对圆的标 准方程的结构形式特点掌握不准确导致错误.

【自我矫正】由题意可知|AC|=r=10,|AB|=16,所以|AO|=8.如图所示, 有两种情况:

在Rt△AOC中, | OC |? | AC |2 -|AO |2 ? 102-82 ? 6. 所以圆心坐标为(6,0)或(-6,0),故所求圆的标准方程为 (x〒6)2+y2=102,即(x〒6)2+y2=100. 答案:(x〒6)2+y2=100

【防范措施】 1.突出图形的作用 图形可以帮助我们直观地分析题意,能有效地避免漏解,提高解题的准 确性.如本题通过图形能准确地判定出圆心在y轴左右两侧这两种情形, 忽略此点易造成漏解.

2.准确认识圆的标准方程的结构特点 圆的标准方程的结构特点是:等号左边是平方和的形式,右边是半径的 平方而非半径.如本题中若不注意此点则易出现类似(x±6)2+y2=10的 失误.


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