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第一节 解析函数的概念


§2.1 解析函数的概念
? ?

1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念

Sunday, May 22, 2016

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一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D,
f ( z 0 ?

?z ) ? f ( z 0 ) lim 如果极限 ? 存在,则称函数 z ?0 ?z

f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) dw ? lim 记作 f ?( z0 ) ? dz z ? z0 ?z ?0 ?z

如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称f (z)在区 域D内可导。
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?
?

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf = f(z+Δz)-f(z)

例1 证明: f ( z) ? Re z在平面上的任何点都不 可导.

?f Re( z ? ?z ) ? Re( z ) 证明 : ? ?z ?z
x ? ?x ? x ? ?x ? i?y ?x ? ?x ? i?y

当?z取 实 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 1;
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? ? ? l i m ?f 不 存 在 . ? ?z ? 0 ? z ? 当?z取 纯 虚 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 0;?
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(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0.

② (zn)?=nzn-1 (n是自然数).
证明 对于复平面上任意一点z0,有
n z n ? z0 ?? lim ? lim z ? z0 ?z z ? z0 z ? z 0 n ?1 ( z ? z0 )(z n?1 ? z n?2 z0 ? ? ? z0 ) n ?1 ? lim ? nz0 z ? z0 z ? z0

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设函数f (z),g (z) 均可导,则

[ f ( z) ? g ( z)]? ? f ?( z) ? g ?( z)
[ f ( z) g ( z)]? ? f ?( z) g ( z) ? f ( z) g ?( z) ? ? f ( z) ? f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) , ( g ( z ) ? 0) ? g ( z) ? ? 2 g ( z) ? ?
由以上讨论?

P( z) ? a0 ? a1z ? ?? an z n 在整个复平面上处处可 导;
P( z ) R( z ) ? 在复平面上(除分母为 0点外)处处可导. Q( z )
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④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z),
其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ? ,其中: w=f (z) ? '(w)

与z=?(w)互为单值的反函数,且??(w)?0。
?

思考题
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实函数中 , f ( x) ? x 在(?? ,?? )内可导 ; 复函数中 , f ( z ) ? z 的可导性 ?
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1 例2 已 知 f ( z ) ? ( z ? 5 z ) ? , 求f ' ( z ) z ?1 1 2 解 f ?( z ) ? 2( z ? 5 z )(2 z ? 5) ? ( z ? 1)2 例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导?
2 2



f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ?z ? 0 ?z x ? ?x ? 2( y ? ?y )i ? ( x ? 2 yi ) ? lim ?z ? 0 ? x ? i? y

?x ? 2?yi ?1 当?y ? 0, ?x ? 0时 ? lim ?? ? 不存在 ! ?z ?0 ?x ? ?yi ?2 当?x ? 0, ?y ? 0时
故函数f ( z ) ? x ? 2 yi处处不可导.
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例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
( z ? ?z ) Re (z ? ?z ) ? z Re z 证明 l i m ?z ? 0 ?z ?z Re (z ? ?z ) ? z Re ?z ? lim ?z ? 0 ?z ?z Re ?z ? lim ?0 z ? 0时 ? ? ?z ? 0 ?z ?? ?x ? l i m(Re (z ? ?z ) ? z )不 存 在! z ? 0时 ? ? x ? i? y ? ?z ? 0

?0 当?y ? 0, ?x ? 0时 ?x ? lim ?? ? 不存在! ? z ? 0 ? x ? i? y ?1 当?x ? 0, ?y ? 0时
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?

(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数 在一点处可导要求高得多,也复杂得 多,这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在数学分析中要举出一个处处连续, 但处处不可导的函数是很困难的, 但在复变函数中,却轻而易举。

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(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 ? w=f (z) 点 z0 处连续.
? ? 证明: 若f ( z)在z0可导, 则?? ? 0, ?? ? 0,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 使得当0 ? ?z ? ? , 时, 有 ? f ?( z0 ) ? ? , ?z
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) lim ? ??z ? ? 0, 令? ??z ? ? ? f ?( z0 ), 则 ? z ?0 ?z

又由上式可得 f ( z0 ? ?z) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ??z ??z,
从而有
?z ?0

lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ),

所以f ( z)在z0连续
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二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导,则称f (z)在z0解析; 如果f (z)在区域D内每一点都解析,则称 f (z)在D内解析,或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数)。 如果f (z)在点z0不解析,就称z0是f (z)的奇点。

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(1) w=f (z) 在 D 内解析 ? 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导,未必在z0解析。
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例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导,故是整个复平面 上的解析函数; (2) w=1/z,除去z=0点外,是整个复平面上的解析 函数; (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数,

则 f (z)±g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时)均是 D内的解析函数。
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由此知
P( z) ? a0 ? a1z ? ?? an z 是整个复平面上的解析 函数;
n

P( z ) R( z ) ? 是复平面上(除分母为0点外)的解析函数. Q( z )

定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 ? G,则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。

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