nbhkdz.com冰点文库

第一节 解析函数的概念

时间:2016-05-22


§2.1 解析函数的概念
? ?

1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念

Sunday, May 22, 2016

1

一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D,
f ( z 0 ?

?z ) ? f ( z 0 ) lim 如果极限 ? 存在,则称函数 z ?0 ?z

f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) dw ? lim 记作 f ?( z0 ) ? dz z ? z0 ?z ?0 ?z

如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称f (z)在区 域D内可导。
Sunday, May 22, 2016 2

?
?

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf = f(z+Δz)-f(z)

例1 证明: f ( z) ? Re z在平面上的任何点都不 可导.

?f Re( z ? ?z ) ? Re( z ) 证明 : ? ?z ?z
x ? ?x ? x ? ?x ? i?y ?x ? ?x ? i?y

当?z取 实 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 1;
Sunday, May 22, 2016

? ? ? l i m ?f 不 存 在 . ? ?z ? 0 ? z ? 当?z取 纯 虚 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 0;?
3

(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0.

② (zn)?=nzn-1 (n是自然数).
证明 对于复平面上任意一点z0,有
n z n ? z0 ?? lim ? lim z ? z0 ?z z ? z0 z ? z 0 n ?1 ( z ? z0 )(z n?1 ? z n?2 z0 ? ? ? z0 ) n ?1 ? lim ? nz0 z ? z0 z ? z0

Sunday, May 22, 2016

4



设函数f (z),g (z) 均可导,则

[ f ( z) ? g ( z)]? ? f ?( z) ? g ?( z)
[ f ( z) g ( z)]? ? f ?( z) g ( z) ? f ( z) g ?( z) ? ? f ( z) ? f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) , ( g ( z ) ? 0) ? g ( z) ? ? 2 g ( z) ? ?
由以上讨论?

P( z) ? a0 ? a1z ? ?? an z n 在整个复平面上处处可 导;
P( z ) R( z ) ? 在复平面上(除分母为 0点外)处处可导. Q( z )
Sunday, May 22, 2016 5

④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z),
其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ? ,其中: w=f (z) ? '(w)

与z=?(w)互为单值的反函数,且??(w)?0。
?

思考题
2

实函数中 , f ( x) ? x 在(?? ,?? )内可导 ; 复函数中 , f ( z ) ? z 的可导性 ?
Sunday, May 22, 2016 6
2

1 例2 已 知 f ( z ) ? ( z ? 5 z ) ? , 求f ' ( z ) z ?1 1 2 解 f ?( z ) ? 2( z ? 5 z )(2 z ? 5) ? ( z ? 1)2 例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导?
2 2



f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ?z ? 0 ?z x ? ?x ? 2( y ? ?y )i ? ( x ? 2 yi ) ? lim ?z ? 0 ? x ? i? y

?x ? 2?yi ?1 当?y ? 0, ?x ? 0时 ? lim ?? ? 不存在 ! ?z ?0 ?x ? ?yi ?2 当?x ? 0, ?y ? 0时
故函数f ( z ) ? x ? 2 yi处处不可导.
Sunday, May 22, 2016 7

例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
( z ? ?z ) Re (z ? ?z ) ? z Re z 证明 l i m ?z ? 0 ?z ?z Re (z ? ?z ) ? z Re ?z ? lim ?z ? 0 ?z ?z Re ?z ? lim ?0 z ? 0时 ? ? ?z ? 0 ?z ?? ?x ? l i m(Re (z ? ?z ) ? z )不 存 在! z ? 0时 ? ? x ? i? y ? ?z ? 0

?0 当?y ? 0, ?x ? 0时 ?x ? lim ?? ? 不存在! ? z ? 0 ? x ? i? y ?1 当?x ? 0, ?y ? 0时
Sunday, May 22, 2016 8

?

(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数 在一点处可导要求高得多,也复杂得 多,这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在数学分析中要举出一个处处连续, 但处处不可导的函数是很困难的, 但在复变函数中,却轻而易举。

Sunday, May 22, 2016

9

(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 ? w=f (z) 点 z0 处连续.
? ? 证明: 若f ( z)在z0可导, 则?? ? 0, ?? ? 0,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 使得当0 ? ?z ? ? , 时, 有 ? f ?( z0 ) ? ? , ?z
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) lim ? ??z ? ? 0, 令? ??z ? ? ? f ?( z0 ), 则 ? z ?0 ?z

又由上式可得 f ( z0 ? ?z) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ??z ??z,
从而有
?z ?0

lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ),

所以f ( z)在z0连续
10

Sunday, May 22, 2016

二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导,则称f (z)在z0解析; 如果f (z)在区域D内每一点都解析,则称 f (z)在D内解析,或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数)。 如果f (z)在点z0不解析,就称z0是f (z)的奇点。

?

(1) w=f (z) 在 D 内解析 ? 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导,未必在z0解析。
11

Sunday, May 22, 2016

例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导,故是整个复平面 上的解析函数; (2) w=1/z,除去z=0点外,是整个复平面上的解析 函数; (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数,

则 f (z)±g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时)均是 D内的解析函数。
Sunday, May 22, 2016 12

由此知
P( z) ? a0 ? a1z ? ?? an z 是整个复平面上的解析 函数;
n

P( z ) R( z ) ? 是复平面上(除分母为0点外)的解析函数. Q( z )

定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 ? G,则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。

Sunday, May 22, 2016

13


文科 第二章 函数 第1节 函数的概念及其表示

第二章 第1节 题型 10 映射与函数的概念——暂无 题型 11 同一函数的判断——暂无 题型 12 函数解析式的求法 函数 函数的概念及其表示 1.(2014 陕西文 14...

第二章 第一节 函数的概念与性质(往年真题集锦)

第二章 第一节 函数的概念与性质(往年真题集锦)_高三数学_数学_高中教育_教育...log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案 A 解析 本题考查对数...

函数的基本概念(老师用)

第一节 函数的基本概念 10页 5财富值 多元函数的基本概念 28页 1财富值喜欢...题型分析:例 1. 列法正的 ( D ) 下说中确为 A. 义和域相的个数同个...

初等函数第一节

初等函数第一节_数学_高中教育_教育专区。函数与基本初等函数第一节 函数的概念...x2 (x ? 0) 答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0...

03第二章 第一节 函数的概念与性质

第二章一、选择题 函数与基本初等函数 I 函数的概念与性质 第一节 5.(2010 重庆理)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称 答案 D 解析: f (? x) ...

函数基本概念

函数的基本概念 2页 免费 函数的基本概念 3页 2下载券 第一节 函数的基本概念...已知 f( )= ,则 f(x)的解析式为( ) A.f(x)= B.f(x)=﹣ C.f(...

函数的概念整理配答案

(一)主要知识: 1.映射与函数的概念; 2.函数的三要素及表示法,两个函数相同...第二节 函数的解析式及定义域 教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定...

第一节数列的概念与简单表示

指数函数的关系. 知识点梳理 1.等比数列的相关概念 (1)定义:一般地,如果一个...解得 n=2 或 6,故 3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项. 3.解析:选...

函数的基本概念梳理以及题型

第一节 函数的基本概念 10页 5财富值 多元函数的基本概念 28页 1财富值 函数...例题: 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“...

高考一轮复习 第一节 函数及其表示 经典讲义_图文

答案:[0,4) -1- ) 一、必记 3●个知识点 1.函数与映射的概念 函数 两...求函数定义域的类型及方法 (1)已知函数的解析式:构造使解析式有意义的不等式(...