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函数的零点自测题

时间:2010-12-30


函数的零点自测题
一.技能演练
1.下列函数中在[1,2]上有零点的是( D A. f ( x) = 3 x 2 ? 4 x + 5 C. f ( x ) = ln x ? 3 x + 6
2


3

B. f ( x) = x ? 5 x + 5 D. f ( x ) = e x + 3 x ? 6 )

2.若方程 2ax ? x ? 1 = 0 在(0,1)内恰有一个实根,则 a 的取值范围是( B A. ( ?∞,?1) B. (1,+∞) C. (?1,1) D. [0,1)

3.函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ,若 f (1) > 0, f ( 2) < 0 ,则 f (x ) 在 (1,2) 上零点的个数为 ( C ) D.一个也没有

A.至多有一个
x

B.有一个或两个

C.有且只有一个 )

4.函数 f ( x) = log 3 + x ? 3 零点所在大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.已知函数 y = f (x ) 是R上的奇函数,其零点 x1 , x 2 …… x 2007 ,则 x1 + x 2 + L + x 2007 = 0 。

6.一次函数 f ( x ) = mx + 1 ? m 在[0,1]无零点,则 m 取值范围为 m < 1 7.函数 f ( x ) = x 2 + ( m ? 2) x + 5 ? m 有两个零点,且都大于2,求 m 的取值范围。

8.判断 x3+3x-1=0 在(0,1)内是否有解。
9.函数 f ( x ) = ax 2 ? x ? 1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围。 10.关于 x 的二次方程 x + 2mx + 2m + 1 = 0 , 若方程式有两根, 其中一根在区间 (?1,0) 内,
2









(1,2)







m









6.



? m?2 ?? 2 > 2 ? m < ?2 ? ? ? ? m > ?5 ? ?5 < m < ?4 ? f ( 2) > 0 ?? = (m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) < 0 ?m > 4或m < ?4 ? ? ?
参考答案: 参考答案: 例 1.解:①若 a = 0 f ( x ) = ? x ? 1 为一次函数,易知函数仅有一个零点。 ②若 a ≠ 0 f ( x ) 为二次函数, ax ? x ? 1 = 0 仅有一个实根,△=1+4
2

a=0

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a=?

1 4
1 时,函数仅有一个零点。 4

综上: a = 0 或 a = ? 例 2.C 例 3.解:由题意知

1 ? ?m < ? 2 ? f ( 0) = 2 m + 1 < 0 ? ? f (?1) = 2 > 0 ?m ∈ R 5 1 ? ? ?? 1 ?? <m<? ? 6 2 ? f (1) = 4m + 2 < 0 ?m < ? 2 ? f ( 2) = 6 m + 5 > 0 ? ? ?m > ? 5 ? 6 ?

二.能力提升
1.函数 f ( x) = e x + x ? 2 的零点所在的区间是( C )

(A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 提示:f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 2.函数 f(x)= 2 x + 3 x 的零点所在的一个区间是 ( B ) (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 3.若函数 y = f (x ) 在区间 [ a, b ] 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是(C ) A.若 f ( a ) f (b) > 0 ,不存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; B.若 f ( a ) f (b) < 0 ,存在且只存在一个实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; C.若 f ( a ) f (b) > 0 ,有可能存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; D.若 f ( a ) f (b) < 0 ,有可能不存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; 解析:对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一 3*.已知函数 f (x)在区间 [a,b]上单调,且 f (a)?f (b)<0,则方程 f (x)=0 在区间[a, b]内( D ). A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一实根 4.方程 lg x ? x = 0 根的个数为( D A.无穷多 B. 3 C. 1 ) D. 0

作出 y1 = lg x, y2 = x 的图象,发现它们没有交点 5.如果二次函数 y = x 2 + mx + ( m + 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( D ) A. (? 2,6 ) B. [? 2,6] C. {? 2,6} D. ( ?∞, ?2 ) U ( 6, +∞ )

第 2 页 共 5 页

6.函数 f ( x) = 2 x 3 ? 3 x + 1 零点的个数为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 提示: f ( x) = 2 x3 ? 3 x + 1 = 2 x 3 ? 2 x ? x + 1 = 2 x( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)

= ( x ? 1)(2 x 2 + 2 x ? 1) , 2 x 2 + 2 x ? 1 = 0 显然有两个实数根,共三个;
7.设 f ( x ) = 3 + 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 + 3 x ? 8 = 0在x ∈ (1,2 )
x x

[来源:Z&xx

内近似解的过程中得 f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0, 则方程的根落在区间( B A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 )



8.直线 y = 3 与函数 y = x 2 ? 6 x 的图象的交点个数为( A A. 4 个
x

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个 )

9.若方程 a ? x ? a = 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A A. (1, +∞) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, +∞ )
x

提示:作出图象,发现当 a > 1 时,函数 y = a 与函数 y = x + a 有 2 个交点 10.已知 f ( x ) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下 面命题错误的( C ) A.函数 f ( x ) 在 (1, 2) 或 [ 2,3) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在 (2,5) 内有零点 B.函数 f ( x ) 在 (3,5) 内无零点 D.函数 f ( x ) 在 (2, 4) 内不一定有零点 ( D )

11.若 x0 是方程式 lg x + x = 2 的解,则 x0 属于区间 (A)(0,1). (B)(1,1.25).

(C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

解析: 构造函数 f ( x ) = lg x + x ? 2,由f (1.75) = f ( ) = lg

7 4

7 1 ? <0 4 4

f ( 2) = lg 2 > 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
12.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ), x 2 ∈( x 0 ,+ ∞ ),则 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 13.若 x1 是方程 lg x + x = 3 的解, x 2 是 10 + x = 3 的解,则 x1 + x 2 的值为( C )
x

A.

3 2

B.

2 3

C. 3

D.

1 3
x

解析:作出 y1 = lg x, y2 = 3 ? x, y3 = 10 的图象, y2 = 3 ? x, y = x

交点横坐标为

3 , 2

第 3 页 共 5 页

而 x1 + x2 = 2 ×

3 =3 2
B )

14.函数 f ( x) = x5 + x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1]
x

B. [1, 2]

C. [2,3]
2

D. [3, 4]

15.在 y = 2 , y = log 2 x, y = x , 这三个函数中,当 0 < x1 < x 2 < 1 时, 使 f(

x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )> 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

B )

16.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( C )

A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 [ 2,16 ) 内无零点 唯一的一个零点必然在区间 (0, 2)

B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点

17.求 f ( x ) = 2 x 3 ? x ? 1 零点的个数为 ( A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



令 2 x 3 ? x ? 1 = ( x ? 1)(2 x 2 + 2 x + 1) = 0 ,得 x = 1 ,就一个实数根 18.若方程 x ? x + 1 = 0 在区间 (a, b)( a, b ∈ Z , 且b ? a = 1) 上有一根,则 a + b 的值为( C )
3

A. ?1

B. ?2

C. ?3
[来源:学

D. ?4

容易验证区间 ( a, b) = ( ?2, ?1)

二、填空题
19. 已知函数 f ( x ) = 3x + x ? 5 的零点 x0 ∈ [ a, b ] , b ? a = 1 ,a ,b ∈ N , a + b = 且 则
?

3

20.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 = 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x 0 = 2.5 ,那么
3

下一个有根的区间是

。 [2, 2.5)

提示: 令 f ( x ) = x 3 ? 2 x ? 5, f (2) = ?1 < 0, f (2.5) = 2.53 ? 10 > 0 21.函数 f ( x ) = ln x ? x + 2 的零点个数为 2 。

分别作出 f ( x ) = ln x, g ( x ) = x ? 2 的图象;

第 4 页 共 5 页

22.设函数 y = f (x ) 的图象在 [ a, b ] 上连续,若满足 f ( a ) f (b) ≤ 0 ,方程 f ( x ) = 0 在 [ a, b ] 上有实根.
[来源:学#科#网]

23.已知函数 f ( x ) = x 2 ? 1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__0, 2____. 24.函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( + x ) = f ( ? x ) ,并且方程 f ( x ) = 0 有三个实根,则 这三个实根的和为 1.5 。

1 2

1 2

1 1 1 提示: 对称轴为 x = ,可见 x = 是一个实根,另两个根关于 x = 对称 2 2 2
25.若函数 f ( x ) = 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a = __4____。
2

提示: 作出函数 y = x 2 ? 4 x 与函数 y = 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点 26 . 设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 ax + bx + c = 0 和 ? ax + bx + c = 0 的 一 个 根 , 且
2 2

x1 ≠ x2 , x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 ,求证:方程
解:令 f ( x) =

a 2 x + bx + c = 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2

a 2 x + bx + c, 由题意可知 ax12 + bx1 + c = 0, ? ax2 2 + bx2 + c = 0 2 a a a bx1 + c = ? ax12 , bx2 + c = ax2 2 , f ( x1 ) = x12 + bx1 + c = x12 ? ax12 = ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) = x2 2 + bx2 + c = x2 2 + ax2 2 = x2 , 因为 a ≠ 0, x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 ,即方程 x + bx + c = 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2

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