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2011-2012学年第二学期期末高二数学(文科)试题及答案

时间:2013-04-08


肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012 学年第二学期统一检测题 高二数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

? 1. 已知点 P 的极坐标为 ( 2 , ) ,则点 P 的直角坐标为 4
A.(1,1) 2. 计算 (1 ? i) 2 ?

A. 2i B. -2i C. 2+2i D. 2-2i B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1)

3. 一物体作直线运动,其运动方程为 s(t ) ? ?t 2 ? 2t ,则 t=0 时其速度为 A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

4. 设 z ? a ? bi ( a, b ? R ) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是 A. a?0 且 b=0 B. a?0 且 b?0 C. a=0 D. a=0 且 b?0

? x ? 3 ? t cos 20?, 5. 直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 ? y ? t sin(?20?)
A. 20? B. 70? C. 110? D. 160?

6. 曲线 y ? x 3 在点 P 处的切线斜率为 k=3,则点 P 的坐标为 A.(2,8) B.(-2,-8) C.(1,1)或(-1,-1)
1 1 D. (? ,? ) 2 8

7. 若 x 是纯虚数,y 是实数,且 2 x ? 1 ? i ? y ? (3 ? y)i ,则 x ? y ?
5 A. 1 ? i 2 5 B. ? 1 ? i 2 5 C. 1 ? i 2 5 D. ? 1 ? i 2

8. 函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 的单调增区间是
1 A. (0, ) 2 1 B. ( ,?? ) 2 1 1 C. (? , ) 2 2 1 1 D. (?? ,? ) 和 ( ,?? ) 2 2

9. 函数 f ( x ) ? A. ?
1 x

1? x ,记 f1 ( x) ? f ( x) , f k ?1 ( x) ? f [ f k ( x)] ( k ? N * ) ,则 f 2012 ( x) ? 1? x x ?1 1? x B. x C. D. x ?1 1? x

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10.实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,abc>0,则 A. 一定是正数 B. 可能是零

1 1 1 ? ? 的值 a b c

C. 一定是负数

D. 无法确定

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知复数 z ? ?3 ? 4i ,则 | z |? ▲ . ▲ . ▲ .

? 12.圆心在 A(1, ) ,半径为 1 的圆的极坐标方程是 2

? x ? 1 ? cos? 13.定点 A(-1,-1)到曲线 ? (?为参数)上的点的距离的最小值是 ? y ? sin ?
14.设 0 ? ? ?

?
2

,已知 a1 ? 2 cos? , an?1 ? 2 ? an ,则猜想 an 的值为



.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 随机抽取 100 个行人,了解他们的性别与对交通规则的态度之间的关系,得到如下的统 计表: 男行人 遵守交通规则 不遵守交通规则 合计 31 19 50 女行人 49 1 50 合计 80 20 100

(1)求男、女行人遵守交通规则的概率分别是多少; (2)能否有 99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别? 附:

P( K 2 ? k )
k
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 . K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
16. (本小题满分 12 分) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系:
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时间 x 命中率 y

1 0.4

2 0.5

3 0.6

4 0.6

5 0.4

(1)求小李这 5 天的平均投篮命中率; (2)用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率.(线性回归方

? ? ? ? 程 y ? bx ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

? ? , a ? y ? bx ,其中 x , y 表示样本均值.

? x)

2

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 为 y ? 1. (1)求 b,c 的值; (2)求函数 f (x) 的单调区间. 18. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 , 2S n ? (n ? 1)an ( n ? N * ). (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)猜想 an 的表达式,并加以证明. 19. (本小题满分 14 分) 如图,用铁丝弯成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 am2. 为使所用材料最 省,底宽应为多少?
1 3 a 2 x ? x ? bx ? c ,其中 a ? 0 ,曲线 y ? f (x) 在点 P(0,f(0))处的切线方程 3 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
1? x . 1? x

(1)若函数 f (x) 在(0,+?)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设 p ? q ? 0 ,求证: ln p ? ln q ?
2011-2012 第

p?q . p?q
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2011—2012 学年第二学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题 11. 5 12. ? ? 2 sin ? 13.

5 ?1

14. 2 cos

?
2 n ?1

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)男行人遵守交通规则的概率为 女行人遵守交通规则的概率为 (2) K 2 ?
31 ? 0.62 ; 50

(3 分) (6 分) (10 分)

49 ? 0.98 . 50

n(ad ? bc) 2 100(31? 1 ? 49 ? 19) 2 ? ? 20.25. (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 80 ? 20 ? 50 ? 50

因为 K 2 ? 20.25 ? 10.828, 所以有 99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别. (12 分)

16. (本小题满分 12 分)
0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 . (4 分) 5 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 3 (小时) (2)小李这 5 天打篮球的平均时间 x ? (5 分) 5

证明: (1)小李这 5 天的平均投篮命中率为 y ?

? b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

(?2) ? (?0.1) ? (?1) ? 0 ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? (?0.1) ? 0.01 (7 分) (?2) 2 ? (?1) 2 ? 0 2 ? 12 ? 2 2

? ? a ? y ? bx ? 0.5 ? 0.01? 3 ? 0.47 ? ? ? 所以 y ? bx ? a ? 0.01x ? 0.47
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(9 分) (10 分)

? 当 x=6 时, y ? 0.53 ,故预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53.

(12 分)

17. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? ax ? b (2 分) (6 分) (7 分) (9 分) (11 分) (13 分)

?c ? 1, ? f (0) ? 1, 由题意,得 ? 即? ?b ? 0. ? f ?(0) ? 0,
(2)由(1) ,得 f ?( x) ? x 2 ? ax ? x( x ? a) (a>0) 当 x?(-?,0)时, f ?( x) ? 0 ; 当 x?(0,a)时, f ?( x) ? 0 ; 当 x?(a,+?)时, f ?( x) ? 0 .

故函数 f (x) 的单调增区间为(-?,0)与(a,+?) ,单调减区间为(0,a).(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a1 ? 1 , 2S n ? (n ? 1)an ( n ? N * ) ,所以, 当 n=2 时, 2(a1 ? a2 ) ? 3a2 ,得 a2 ? 2 ; 当 n=3 时, 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 4a3 ,得 a3 ? 3 ; 当 n=4 时, 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 5a4 ,得 a4 ? 4 . (2)猜想 an ? n(n ? N * ) . 由 2S n ? (n ? 1)an ①,可得 2S n?1 ? nan?1 (n ? 2) ②, (1 分) (2 分) (3 分) (7 分) (8 分) (10 分) (12 分) (14 分)

①-②,得 2an ? (n ? 1)an ? nan?1 , 所以 (n ? 1)an ? nan?1 ,即 也就是
an a ? n ?1 (n ? 2) , n n ?1

an a a a ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? 1,故 an ? n(n ? N * ) . n n ?1 n ? 2 1

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19. (本小题满分 14 分) 解:如图,设矩形的底宽为 xm,则半圆的半径为 半圆的面积为
x m, 2

? 2 2 ? x m ,所以矩形的面积为 ( a ? x 2 ) m2, 8 8 a ? 所以矩形的另一边长为 ( ? x) m. (2 分) x 8
因此铁丝的长为 l ( x) ? 所以 l ?( x) ? 1 ? 令 l ?( x) ? 1 ?

xm

?x

a ? ? 2a 8a ? x ? 2( ? x) ? (1 ? ) x ? ,0 ? x ? , (7 分) 2 x 8 4 x ?

?
4
?

?

2a . x2

(9 分)

?
4

2a 8a ? 0 ,得 x ? ? (负值舍去). (10 分) 2 x 4??

当 x ? (0,

8a 8a 8a ) 时, l ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, l ?( x) ? 0 . 4?? 4?? ? 8a 是函数 l (x) 的极小值点,也是最小值点. 4?? 8a m 时,所用材料最省. 4??

(12 分)

因此, x ?

(13 分)

所以,当底宽为

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f (x) 的定义域为(0,+?). (1 分) (3 分)

f ?( x) ?

a 2 a(1 ? x) 2 ? 2 x . ? ? x (1 ? x) 2 x(1 ? x) 2

因为 f (x) 在(0,+?)上单调递增,所以 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立, 即 a(1 ? x) 2 ? 2 x ? 0 在(0,+?)上恒成立. 当 x?(0,+?)时,由 a(1 ? x) 2 ? 2 x ? 0 得 a ?
2x ? (1 ? x) 2

(5 分)
2x . (1 ? x) 2

(6 分)

设 g ( x) ?

2 1 ( x ? 0) ,所以 g ( x ) ? (当且仅当 x=1 时取等号)(7 分) , 1 2 x? ?2 x

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所以 a ?

1 ?1 ? ,即实数 a 的取值范围为 ? ,?? ? . 2 ?2 ?

(8 分)

(2)要证 ln p ? ln q ?

p?q ln p ? ln q p ? q ,只需证 , ? p?q 2 p?q

(9 分)

p ?1 1? 1 p q 1 p 只需证 ln ? ,只需证 ln ? p 2 q 2 q ?1 1? q

p q ? 0. p q

(10 分)

设 h( x ) ?

1 1? x ln x ? ,由(1)知 h(x) 在(1,+?)上单调递增, 2 1? x

(12 分)

p 1 p q p p ? 0 成立, 又 ? 1 ,所以 h( ) ? h(1) ? 0 ,即 ln ? p 2 q q q 1? q 1?

(13 分)

所以当 p ? q ? 0 , ln p ? ln q ?

p?q 成立. p?q

(14 分)

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