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新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(学生版)


新课预习讲义

选修 2-1:第二章§2.3 双曲线(二)
§2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)
●学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念. ●学习重点: 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用. 2.双曲线的几何性质是考查的重点,其中离心率、渐近线是考查的热点. ●学习难点 1. 是渐近线

的理解和应用. 2.双曲线的几何性质经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合出题,考查学生分析问题的能力

一、自学导航
●知识回顾: 复习 1:双曲线的定义及其标准方程 复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质? ●预习教材:第 56 页——第 63 页的内容。 ●自主梳理: 1、双曲线的几何性质: (1)范围; (2)对称性; (3)顶点(长轴、短轴、焦距)(4)离心率; ; 2.双曲线的渐近线 ●预习检测: 6 1.下列双曲线中离心率为 的是( ) 2 x2 y2 A. - =1 2 4 x2 y2 B. - =1 4 2 x2 y2 C. - =1 4 6 ) D.1 x2 y2 D. - =1 4 10

x2 y2 2.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3
2 2

B.2

C. 3

3.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为________. 4.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点是(-4,0),(4,0),过点(2,0); 5 (2)离心率为 ,半虚轴长为 2. 4 ●问题与困惑:

二、互动探究
●问题探究: 探究 1:由椭圆的几何性质出发,类比探究双曲线 范围: x :

x2 y 2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2
1

y:

对称性:双曲线关于 轴、 轴及 都对称. 顶点: ( )( , ) . 实轴,其长为 ;虚轴,其长为 . c 离心率: e ? ? 1 . a y 2 x2 探究 2:双曲线 2 ? 2 ? 1 的几何性质? a b 图形: 范围: x : y: 对称性:双曲线关于 轴、 轴及 都对称. 顶点: ( )( , ) 实轴,其长为 ;虚轴,其长为 . c 离心率: e ? ? 1 . a 探究 3:双曲线的渐近线: (1)双曲线的渐近线是怎样得到的? (2)由此,焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________

焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________

(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫 ●基础知识归纳: 双曲线的几何性质 标准方程

双曲线.它的渐近线方程是_____________

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点
性 质

x ? ?a 或 x ? a

y ? ?a 或 y ? a

关于 x 轴,y 轴对称,关于原点中心对称 (±a,0) 实轴长=2a ,虚轴长=2b (±c,0) 2c
e? y?? b x a
2

(0,±a)

轴长 焦点 焦距 离心率 渐近线

(0,±c)
c (e ? 1) a y?? a x b

●典例导析: 题型一、由双曲线的标准方程求几何性质 例 1-1、(2012 年高考浙江卷理科 8)如图,F1,F2 分别是双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的 左右焦点,B a 2 b2

是虚轴的端点, 直线 F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若 |MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是
2 3 3 [思路点拨]

A.

B.

6 2

C. 2

D. 3

1、作出图示,可写出 F1 B 的直线方程; 2、再由 F1 B 的直线方程与两渐近线方程联解得出 P、Q 的坐标; 3、再求出 PQ 的中点 N 的坐标,并写出中垂线方程 4、令 y ? 0 得 M 的坐标,并由|MF2|=|F1F2|建立 a 、 c 之间的关系式 5、求出离心率

[题后感悟] 1.已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的 a,b 所对应的值,再利用 c2= a2+b2 得到 c,从而确定 e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定 a、b、c 的值. 2.若涉及直线交点问题时常需要解方程组. 变式训练: 1-1(2011 年高考全国卷理科 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = .

x2 y 2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 9 27

3

例 1-2、求双曲线 16x2-9y2=-144 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. [思路点拨] 由题目可获取以下主要信息: ①双曲线方程不是标准方程; ②双曲线方程焦点在 y 轴上. 解答本题可先把方程化成标准方程,确定 a,b,c,再求其几何性质.

[题后感悟] 1.已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的 a,b 所对应的值,再利用 c2= a2+b2 得到 c,从而确定 e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定 a、b、c 的值. 2.已知双曲线的标准方程,求其渐近线方程,只需将等式右边的常数 1 改成 0 即可(不管焦点在什么位置) 变式训练: 1-2.求双曲线 nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长,半虚轴长,焦点坐标,离心率,顶点坐标和渐近线 方程.

题型二、由双曲线的几何性质求其标准方程 例 2、已知双曲线中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P(3,-1),一条渐近线与直线 3x-y=10 平行, 求双曲线标准方程. [思路点拨]1.由渐近线与 3x-y=10 平行,可确定渐近线方程,得 a 与 b 的比例关系 2.由双曲线过已知点可得另一定量关系 3.因为无定位条件,可分两类设出双曲线的标准方程.

[题后感悟] 如何求过定点并已知渐近线的双曲线方程? (1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在坐标轴; ②设双曲线的标准方程; ③根据已知条件或几何性质列方程,求待定系数;
4

④求出 a,b,写出方程. x2 y2 (2)方法二揭示了双曲线标准方程与渐近线方程之间的关系,若双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b x2 y2 b 则该双曲线的渐近线方程为 2- 2=0,即 y=± x,反之亦然. a b a (3)已知双曲线的渐近线方程 bx ? ay ? 0 ( a 、 b 为已知值)求双曲线方程,可设所求双曲线为

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? ? ,再由另一个定量条件求出 ? 即可。
变式训练: 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0 且经过点 P( 6,2); 5 (2)顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8,离心率是 . 4

题型三、双曲线的离心率问题 x2 y2 例 3、已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦, a b 如果∠PF2Q=90° ,求双曲线的离心率. [思路点拨]

c [题后感悟] (1)求双曲线的离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c,再计算 e= ;二是依据条件 a 提供的信息建立关于参数 a,b,c 的等式,进而转化为关于离心率 e 的方程,再解出 e 的值. (2)求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于 a,b,c 的不等关系.
5

变式训练: x2 y2 3 3.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过 A(a,0)、B(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 c, a b 4 求双曲线的离心率.

[疑难解读] 1.双曲线标准方程的常见设法 x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程可表示为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b b x2 y2 (2)若双曲线的渐近线方程是 y=± x,则双曲线系的方程可表示为 2- 2=λ(λ≠0). a a b (3)等轴双曲线系的方程可表示为 x2-y2=λ(λ≠0). 2.双曲线的渐近线 (1)求法:令常数项为零,因式分解即得. b a (2)用法:①由渐近线方程得到 或 的值; a b ②利用渐近线方程设出双曲线的方程. (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b(虚半轴的长). (4)等轴双曲线的渐近线方程为 y=± x. [误区警示] ◎已知双曲线方程为 x2-y2=1,双曲线的左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离是 2,求 a+b 的值. |a-b| 【错解】 ∵P(a,b)到 y=x 的距离是 2,故 = 2, 2 ∴a-b=± 2. 又∵a2-b2=1,

1 ∴(a+b)(a-b)=1,∴a+b=± . 2 【错因】 忽略了条件 P(a,b)在双曲线的左支上,若 P 在双曲线的左支上,则 a-b<0,故应有 a-b =-2. |a-b| 【正解】 ∵点 P(a,b)到 y=x 的距离为 2,故 = 2,∴a-b=± 2. 2 又∵P 在双曲线的左支上,故 a-b<0,有 a-b=-2. 1 又∵a2-b2=1,即(a-b)(a+b)=1,∴a+b=- . 2
6

三、巩固拓展
●必做:教材第 61 页,习题 2.3 A 组 第 3、4 题,B 组第 1 题 ●补充作业: 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x2 y2 1.双曲线 - =1 的( 5 4 )

2 5 3 5 A.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=± x,离心率 e= 5 5 5 9 B.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=± x,离心率 e= 5 5 6 C.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=± 5x,离心率 e= 2 5 5 6 D.实轴长为 2 5,虚轴长为 8,渐近线方程为 y=± x,离心率 e= 2 5 x2 y2 2.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在该 2 b → → 双曲线上,则PF1· 2=( PF A.-12 B.-2 ) C.0 D.4 )

3 3.双曲线的渐近线为 y=± x,则双曲线的离心率是( 4 5 A. 4 B.2 5 5 C. 或 4 3 D. 5 15 或 2 3

x2 y2 4.已知双曲线 - 2=1 的实轴的一个端点为 A1,虚轴的一个端点为 B1,且|A1B1|=5,则双曲线的方程是 16 b x2 y2 A. - =1 16 25 x2 y2 B. - =-1 16 25 x2 y2 C. - =1 16 9 x2 y2 D. - =-1 16 9

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为________. x2 y2 1 6.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 x2 (3)过点 M(2,-2)与 -y2=1 有公共渐近线. 2

7

x2 y2 8.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0) a b 4 到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线离心率 e 的取值范围. 5

尖子生题库? ☆☆☆ x2 y2 9.(10 分)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F(2 2,0)作双曲线的一条渐近线的垂线,与该渐近线交 a b 于点 P,且 O F · P =-6,求双曲线的方程. F

→ →

8


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