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等比数列优质课课件

时间:2013-09-23


2.4 等比数列

学习目标:
1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

探究一:等比数列的定义
观察下列数列,说出它们的特点

.

(1)1,2,22,23,… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? ,? 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0).
an * ? q ( n ? 2 且 n ? N ). 数学语言: a n ?1 an ?1 或 ?q an

?n ? N *?

思考1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ; ②1,2,4,6…; ③a,a,a,…,a;

×

× ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?

非零的 常数列

探究二.等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

即G ? ab
2

探究三:通项公式
思考3:如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法(累乘法) 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
其中,a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1, 即等式也成立,说明上面公式当n∈N*时都成立,因此它 就是等比数列{an}的通项公式。

等比数列的通项公式:
an ? a1 ? q
n?1

(n∈N﹡,q≠0)

探究四:等比数列的通项公式与函数有怎样的关系?
例如:数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是:

an ? 2n -1 ______
上式还可以写成

an 8

1 n an ? ? 2 2

·

7

6
5 4

可见,这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上,如右图所示。

y ? ?2

x

3
2 1
0

· ·
1

·
2 3 4 n

结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

变形结论:
在等差数列 ?a n ? 中

an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N * )
试问:在等比数列 ?a n ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

应用示例
例1.在等比数列 ?an ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.
变式:求出下列等比数列中的未知项: ( 1) 2,a, 8; a ? ?4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 ? 9

应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗 ?

开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

n>5? 是

结束

应用示例
解:若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 ? a1 ? ? , 2 2
1 1 a4 ? a3 ? ? , 2 8
则:a1 ? 1,

开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

1 1 a3 ? a2 ? ? , 2 4

a5 ? a4 ?

1 1 ? , 2 16

?a1 ? 1, ? 可得递推公式: ? 1 an ? an?1 (n ? 1) ? ? 2 a 1 由于 n ? , ?这个数列是等比数列,
an ?1 2

n>5? 是

其通项公式为:

1 n ?1 an ? ( ) 2

结束

应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是
那么

a

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

1

,公比是q ,

解得,

3 q? 2
2 1

16 ,a ? 3
1

因此

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

课堂互动
1 4 ? (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ,求它的第1项; 9 3

解:设它的第一项是

1 5?1 4 a1 ? ( ? ) ? 3 9
解得,

a1,则由题意得

a1 ? 36

答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20 解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.

例4已知 an , bn 是项数相同的等比数列,仿 照下表中的例子填写表格。

? ?? ?
an

bn

判断数列 ?an ? bn ? a n ? bn 是否为等比数列
?4? ?10 ? ? ? ?3?
n ?1

例 自选 1 自选 2

?2? 3 ? ? ? ?5 ? 2n ?1 ?3?

n



从中能否得出什么结论?并证明你的结论。

已知

?an ?,?bn ?是项数相同的等比数列, 求证 ?an ? bn ?是等比数列.

证明:设数列 ?an ?首项为a 1,公比为 q 1? ;b n ? 首项为b1,公比为q2 那么数列 ?an ? bn ?的第n项与第n+1项 分别为:

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) ? ? ? q1q2 .它是一个与n无关的常数, n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )
n

a1 ? q ? b1 ? q2 与a1 ? q ? b1 ? q2 n?1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为

n?1 1

n?1

n 1

n

所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列

五.回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q ? 0 )
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零

常数

an ? amq

an ? a1 ? q

n ?1

通项 公式
通项 * 变形 中项 公式

n ?m

(n, m ? N )

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d *
a?b 等差中项 A ? 2

(n, m ? N )

等比中项 G ? ? ab

谢 谢 !


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