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南开中学高2013级高二(上)期末试题——数学理WORD 2


重庆南开中学高 2013 级高二(上)期末考试 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题, 共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1、已知 f ( x) ? sin x ,则

f '( x) ? (
2



A、 2sin x B、 sin 2x C、 2cos x D、 cos 2x 2、某个容器的底部为圆柱,顶部为圆锥,其正视图如右图所示,则 这个容器的容积为( ) A、

28 ? 3

B、

16 ? 3

C、 ?

7 3

D、 3? )

3、与直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 和 l2 : x ? y ? 1 ? 0 都相切的圆的直径为(

A、 2

B、2

C、1

D、

2 2

4、若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的 ... 图象可能是( )

5、以下有关命题的说法错误的是( ..
2


2

A、命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ” B、 x ? 2 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件 “
2

C、若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D、对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0
2 2

6、设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c,0) ,关于 x 的方程 2 a b 2

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1和x2 ,则点 P( x1 , x2 ) 满足(
A、必在圆 x ? y ? 2 内
2 2



B、必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

C、必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D、以上三种情形都有可能

7、给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中,为真命题的是( ) A、①和② B、②和③ C、③和④ D、②和④ 8、双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直 2 a b


线交双曲线的右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A、 6
2

B、 2

C、 3

D、

3 3

9、 已知函数 f ( x) ? x ? 8 x ? 6ln x ? m , f ( x) 的图像与 x 轴有三个不同交点时, 当 实数 m 的取值范围为( A、 (7,16 ? 6ln 4) C、 (15 ? 6ln 3,12 ? 6ln 2) ) B、 (7,15 ? 6ln 3) D、 (12 ? 6ln 2,15 ? 6ln 3)

10、已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,则过顶点 A 且与长方体的六个面所成的角都相等的直 线有( A、0 )条 B、1 C、4 D、8

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡 II 上 相应位置(只填结果,不写过程) 11、曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 x ? 1 处的切线的斜率为
3

。 。

12、已知 a ? (1, ?2,1), b ? (0, ?1,1) ,则 a ? 2b ?

?

?

?

?

13、双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的右焦点为 F (2,0) ,且满足 F 到双曲线 C 的一条渐 a 2 b2


近线的距离为 1,则双曲线 C 的两条准线方程为

14、如图, A ? BCD 为正四面体, M , N 分别是棱 AD, BC 的中点,则直线 AN , CM 所成 角的余弦值为 。

15、如图所示,设直线 l : ax ? by ? c ? 0 与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 相交于 P, Q, F 为抛物
2

线的焦点,直线 PF , QF 交抛物线于点 M , N ,则直线 MN 的方程为 (用 a, b, c, p 表示)



三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡 II 上(必须写出必要 的文字说明、演算步骤或推理过程) 16、 (本小题满分 13 分,第⑴问 5 分,第⑵问 8 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ( x ? x ? a) 在 x ? 0 处取得极值,其中 a ? R 。
x 2

⑴求 a 的值; ⑵求函数 f ( x) 的单调区间。

17、 (本小题满分 13 分,第⑴问 5 分,第⑵问 8 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 AB ? AA1 ? a, BC ?

2a, M 是AD 的中点。

⑴求证: AD // 平面A1BC ; ⑵求点 A 到平面 A1MC 的距离。 18、 (本小题满分 13 分,第⑴问 5 分,第⑵问 8 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形, PD ? 平面 ABCD, ?BAD ? 60 ,
?

⑴求证: AC ? BP ; ⑵若 AD ? PD ,求二面角 C ? PB ? D 的正弦值。

19、 (本小题满分 12 分,第⑴问 4 分,第⑵问 8 分) 如图,椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F2 ,且与椭圆

2 2 )。 ,且经过点 M (1, 2 2

C 交于 A, B 两点,使得 AF1 , AB , BF1 依次成等
差数列,求 AB 的值及直线 l 的方程。

20、 (本小题满分 12 分,第⑴问 5 分,第⑵问 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ⑴用 a 表示 b, c ; ⑵若 f ( x) ? ln x在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围。

b ? c (a ? 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 。 x

21、 (本小题满分 12 分,第⑴问 5 分,第⑵问 7 分) 已知存在实数 a, b, c和? , ? , ? 使得 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ? ( x ? ? )( x ? ? )( x ? ? ) 。
3 2

⑴若 a ? b ? c ? ?1,求 ? ? ? ? ? 的值;
2 2 2

⑵当 ? ? ? ?

1 1 ,且 ? ? (? ? ? ) 时,若存在实数 m, n 使得 f ( m ? x) ? f ( m ? x) ? 2 n , 3 2

求 f (m) 的最值。


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