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福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学复习试卷(选修2-1)


福建省泉州市晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学复习试卷(选修 2-1)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分) 命题“若△ ABC 不是等腰三角形, 则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A.“若△ ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等” B. “若△ ABC 任何两个内角不相等,则它不是等

腰三角形” C. “若△ ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形” D.“若△ ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形” 2. (5 分)顶点在原点,且过点(﹣4,4)的抛物线的标准方程是() 2 2 A.y =﹣4x B. x =4y 2 2 2 2 C. y =﹣4x 或 x =4y D.y =4x 或 x =﹣4y

()

3. (5 分)设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( 则△ ABC 的形状是() A.直角三角形 C. 等腰直角三角形

+

﹣2

)?(



)=0,

B. 等腰三角形 D.等边三角形

4. (5 分)若平面 α 的法向量为 平面 α 与 β 夹角的余弦是() A. B.

=(3,2,1) ,平面 β 的法向量为

=(2,0,﹣1) ,则

C.

D.﹣

5. (5 分) 已知向量 、 是平面 α 内的两个不相等的非零向量, 非零向量 在直线 l 上, 则 ? =0, 且 ? =是 l⊥α 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. (5 分)正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,O1,O2,O3 分别是 AC,AB′,AD′的中点,以{
2, 3}为基底,

1,

=

+

+

,则 x,y,z 的值是() C.x=y=z= D.x=y=z=2

A.x=y=z=1

B.x=y=z=

7. (5 分)等轴双曲线的一个焦点是 F1(﹣6,0) ,则它的标准方程是()

A.

=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

8. (5 分)在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)的曲线大致是()

2 2

2 2

2

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知点 F,A 分别为双曲线 C:

=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,点 B(0,

b)满足 A.

?

=0,则双曲线的离心率为() B.
2

C.

D.

10. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)命题“存在一个偶数是素数”的否定为. 12. (5 分)已知 A(4,1,3) ,B(2,3,1) ,C(3,7,﹣5) ,点 P(x,﹣1,3)在平面 ABC 内,则 x=. 13. (5 分)动点 P 到点(3,0)的距离比它到直线 x=﹣2 的距离大 1,则点 P 的轨迹方程为.

14. (5 分)已知双曲线

=1 的一条渐近线方程为 4x﹣3y=0,则双曲线的离心率为.

15. (5 分)已知点 P 为椭圆 x +4y =16 上,则点 P 到直线 y=x﹣5 的最短距离为.

2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 m>0,p: (x+2) (x﹣6)≤0,q:2﹣m≤x≤2+m.

(I)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围.

17. (12 分)已知椭圆 C: 离为

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距

,试求椭圆 C 的标准方程.

18. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥D1F; (2)证明面 AED⊥面 A1FD1 (3)求 AE 与平面 D1EF 所成的角的余弦值.

19. (12 分)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,∠ABC= OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.



20. (13 分)已知点 A(0,﹣2) ,B(0,4) ,动点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹方程;

?

=y ﹣8.

2

(2)已知直线 y=x+ 与(1)所求曲线交于 A、B 两点,求弦长 AB 及△ OAB 的面积.
2 2

21. (14 分)已知动圆 C 过点 A(﹣2,0) ,且与圆 M: (x﹣2) +y =64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程;

(2) 设直线 l: y=kx+m (其中 k, m∈Z) 与 (1) 所求轨迹交于不同两点 B, D, 与双曲线

交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量 少条?若不存在,请说明理由.

,若存在,指出这样的直线有多

福建省泉州市晋江市季延中学 2014-2015 学年高二上学期 期中数学复习试卷(选修 2-1)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分) 命题“若△ ABC 不是等腰三角形, 则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A.“若△ ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等” B. “若△ ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形” C. “若△ ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形” D.“若△ ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形”

()

考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题的逆否命题的定义是对条件、结论同时否定,并把条件和结论胡换位置, 即“若 p 则 q”的逆否命题为“若﹣q 则﹣p”,写出命题的逆否命题即可. 解答: 解:根据命题的逆否命题的定义是对条件、结论同时否定,并把条件和结论胡换位 置, ∴命题“若△ ABC 不是等腰三角形, 则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是“若△ ABC 的两 个内角相等,则它是等腰三角形”, 故选:C. 点评: 本题考查命题的逆否命题的形式:对条件、结论同时否定并交换位置.注意分清命 题的条件和结论.属基础题. 2. (5 分)顶点在原点,且过点(﹣4,4)的抛物线的标准方程是() A.y =﹣4x 2 2 C. y =﹣4x 或 x =4y
2

B. x =4y 2 2 D.y =4x 或 x =﹣4y

2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 依题意,设抛物线的标准方程为 x =2py(p>0)或 y =﹣2px(p>0) ,将点(﹣4,4) 的坐标代入抛物线的标准方程,求得 p 即可. 解答: 解:∵抛物线的顶点在原点,且过点(﹣4,4) , 2 2 ∴设抛物线的标准方程为 x =2py(p>0)或 y =﹣2px(p>0) ,

将点(﹣4,4)的坐标代入抛物线的标准方程 x =2py(p>0)得:16=8p, ∴p=2, ∴此时抛物线的标准方程为 x =4y; 2 将点(﹣4,4)的坐标代入抛物线的标准方程 y =﹣2px(p>0) ,同理可得 p=2, 2 ∴此时抛物线的标准方程为 y =﹣4x. 2 2 综上可知,顶点在原点,且过点(﹣4,4)的抛物线的标准方程是 x =4y 或 y =﹣4x. 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,得到所求抛物线标准方程的类型是关键,考查待定系 数法,属于中档题.
2

2

3. (5 分)设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( 则△ ABC 的形状是() A.直角三角形 C. 等腰直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得 整理可得 解答: 解:∵( ∴(
2

+

﹣2

)?(



)=0,

B. 等腰三角形 D.等边三角形

,即

+ ﹣ |=|

﹣2

)?(



)=0,

+

)?(
2

)=0, |.

∴AB ﹣AC =0,即|

△ ABC 的形状是等腰三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查了向量的加法、减法的三角形法则的应用,向量数量积的运算,属于 对基础知识的考查,试题难度不大.

4. (5 分)若平面 α 的法向量为 平面 α 与 β 夹角的余弦是() A. B.

=(3,2,1) ,平面 β 的法向量为

=(2,0,﹣1) ,则

C.

D.﹣

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 根据向量



的坐标,分别算出



的模和



的数量积,然后用向量

的夹角公式算出它们夹角的余弦值, 再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系, 可 得本题的夹角余弦之值. 解答: 解:∵ ∴| ? |= = ,| , |= , =

=3×2+2×0+1×(﹣1)=5

因此,向量



的夹角 θ 满足 cosθ= 分别为平面 α 和平面 β 的法向量 、

=

=

又∵向量



∴平面 α 与 β 夹角等于向量

的夹角,故平面 α 与 β 夹角的余弦值等于

故选:A 点评: 本题给出两个平面法向量的坐标形式,求两个平面夹角的余弦之值,着重考查了利 用数量积求两向量的夹角和平面的法向量的性质等知识,属于基础题.

5. (5 分) 已知向量 、 是平面 α 内的两个不相等的非零向量, 非零向量 在直线 l 上, 则 ? =0, 且 ? =是 l⊥α 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 根据充分条件,必要条件的概念,及线面垂直的判定定理及性质,以及两非零向量 垂直的充要条件即可判断出 ? =0,且 ? =是 l⊥α 的什么条件. 解答: 解: (1)由 ∵ 得, ;

所在直线不一定相交, 所在直线为 l;

∴得不到 l⊥α; 即 ,且 不是 l⊥α 的充分条件; 所在直线在平面 α 内, 在直线 l 上;

(2)若 l⊥α,向量 ∴ ∴ ,且 ; ;

即 ? =0,且 ? =是 l⊥α 的必要条件; 综上得 ? =0,且 ? =是 l⊥α 的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 考查两非零向量垂直的充要条件,线面垂直的判定定理,线面垂直的性质,以及充 分条件、必要条件、必要不充分条件的概念.

6. (5 分)正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,O1,O2,O3 分别是 AC,AB′,AD′的中点,以{
2, 3}为基底,

1,

=

+

+

,则 x,y,z 的值是() C.x=y=z= D.x=y=z=2

A.x=y=z=1

B.x=y=z=

考点: 空间向量的基本定理及其意义. 专题: 空间向量及应用. 分析: 如图所示,利用正方体的性质与向量的三角形法则可得 = ,即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵ = = 又 = + + = + , + , + = + + = +

∴x=y=z=1. 故选:A.

点评: 本题考查了正方体的性质与向量的三角形法则、向量基本定理,属于基础题.

7. (5 分)等轴双曲线的一个焦点是 F1(﹣6,0) ,则它的标准方程是() A. =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设等轴双曲线的标准方程为 ﹣ =1,a>0,且 a +a =36,由此能求出等轴双曲线
2 2

的标准方程. 解答: 解:∵等轴双曲线的一个焦点是 F1(﹣6,0) , ∴设等轴双曲线的标准方程为 且 a +a =36,解得 a =18. ∴等轴双曲线的标准方程是 =1.
2 2 2



=1,a>0,

故选:B. 点评: 本题考查等轴双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲 线的性质的合理运用. 8. (5 分)在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)的曲线大致是()
2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义;抛物线的定义. 专题: 数形结合. 分析: 根据题意, a>b>0, 可以整理椭圆 a x +b y =1 与抛物线 ax+by =0 变形为标准形式, 可以判断其焦点所在的位置,进而分析选项可得答案. 解答: 解:由 a>b>0, 椭圆 a x +b y =1,即
2 2 2 2 2 2 2 2 2

+

=1,焦点在 y 轴上;

抛物线 ax+by =0,即 y =﹣ x,焦点在 x 轴的负半轴上;

2

2

分析可得,D 符合, 故选 D. 点评: 本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法,注意先判断曲线的形状,再分析 焦点等位置.

9. (5 分)已知点 F,A 分别为双曲线 C:

=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,点 B(0,

b)满足 A.

?

=0,则双曲线的离心率为() B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意判断出 FB⊥AB,利用勾股定理求得 a 和 c 关系,整理成关于 e 的方程求得 双曲线的离心率. 解答: 解:∵ ∴FB⊥AB ∴|FB| +|AB| =|FA| , 2 2 2 2 2 2 2 2 即 c +b +a +b =(a+c) ,整理得 c ﹣a ﹣ac=0,等式除以 a 得 2 e ﹣e﹣1=0 求得 e= ∴e= 故选 D 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题过程中关键是利用了勾股定理找到了 a 和 c 的关系. 10. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先假设 A,B 的坐标,根据 A,B 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式,再将两 个关系式相减根据直线的斜率和线段 AB 的中点的纵坐标的值可求出 p 的值, 进而得到准线方 程. 2 2 解答: 解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则有 y1 =2px1,y2 =2px2, 两式相减得: (y1﹣y2) (y1+y2)=2p(x1﹣x2) , 又因为直线的斜率为 1,所以 =1,
2 2 2 2

?

=0,

(舍负)

所以有 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 即 y1+y2=4,所以 p=2,所以抛物线的准线方程为 x=﹣ =﹣1. 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)命题“存在一个偶数是素数”的否定为所有偶数都不是素数. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:∵特称命题的否定是全称命题, ∴命题“存在一个偶数是素数”的否定为:所有偶数都不是素数. 故答案为:所有偶数都不是素数. 点评: 本题考查命题的否定,注意命题的否定形式,量词的变化. 12. (5 分)已知 A(4,1,3) ,B(2,3,1) ,C(3,7,﹣5) ,点 P(x,﹣1,3)在平面 ABC 内,则 x=11. 考点: 空间点、线、面的位置. 专题: 计算题. 分析: 本题利用共面定理可以解答,即若空间中四点 P,A,B,C,满足 则此四点共面,于是本题可以代入点的坐标,列方程组求解. 解答: 解:由共面向量定理,可设 ,其中 x,y∈R,于是代入点的坐标有: ,

(x﹣4, ﹣2, 0) =y (﹣2, 2, ﹣2) +z (﹣1, 6, ﹣8) , 得方程组:



故答案为:11 点评: 本题考查了空间向量的坐标运算,共面向量定理的应用,空间向量的坐标运算等知 识内容,考查了向量相等的性质. 13. (5 分)动点 P 到点(3,0)的距离比它到直线 x=﹣2 的距离大 1,则点 P 的轨迹方程为 2 y =12x. 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,得到点 P 到点(3,0)的距离等于它到直线 x=﹣3 的距离,由抛物线的 定义可得 P 的轨迹是以(3,0)为焦点、x=﹣3 为准线的抛物线,由抛物线的标准方程与基本 概念,即可算出点 P 的轨迹方程. 解答: 解:∵动点 P 到点(3,0)的距离比它到直线 x=﹣2 的距离大 1,

∴将直线 x=﹣2 向左平移 1 个单位,得到直线 x=﹣3, 可得点 P 到点(3,0)的距离等于它到直线 x=﹣3 的距离. 因此,点 P 的轨迹是以(3,0)为焦点、x=﹣3 为准线的抛物线, 设抛物线的方程为 y =2px(p>0) ,可得 =3,得 2p=12 ∴抛物线的方程为 y =12x,即为点 P 的轨迹方程. 2 故答案为:y =12x 点评: 本题给出满足条件的动点 P,求点 P 的轨迹方程.着重考查了抛物线的定义与标准方 程、动点轨迹方程的求法等知识,属于基础题.
2 2

14. (5 分)已知双曲线

=1 的一条渐近线方程为 4x﹣3y=0,则双曲线的离心率为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线 =1(a>0,b>0)的渐近线的方程,得出 = ,再利用离心率

e= =

计算.

解答: 解:双曲线
2 2 2 2

=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为:

b x ﹣a y =0,即 bx±ay=0. 由已知,一条渐近线的方程为 4x﹣3y=0 所以 = ,离心率 e= = = .

故答案为: . 点评: 本题考查了双曲线的简单性质,渐近线,离心率.属于基本知识的考查.
2 2

15. (5 分) 已知点 P 为椭圆 x +4y =16 上, 则点 P 到直线 y=x﹣5 的最短距离为

(5﹣2

) .

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 设点 P(4cosθ,2sinθ) ,则点 P 到直线 y=x﹣5 的距离: d= = |2 sin(θ+α)﹣5|,由此能求出点 P 到直线 y=x﹣5 的最短

距离. 2 2 解答: 解:∵点 P 为椭圆 x +4y =16 上,

∴设点 P(4cosθ,2sinθ) , 则点 P 到直线 y=x﹣5 的距离: d= = |2 sin(θ+α)﹣5|, (5﹣2 ) .

∴点 P 到直线 y=x﹣5 的最短距离为 故答案为: (5﹣2 ) .

点评: 本题考查点到直线的最短距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆的 参数方程的合理运用. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 m>0,p: (x+2) (x﹣6)≤0,q:2﹣m≤x≤2+m. (I)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用;充分条件. 专题: 计算题. 分析: (I)通过解不等式化简命题 p,将 p 是 q 的充分条件转化为[﹣2,6]是[2﹣m,2+m] 的子集,列出不等式组,求出 m 的范围. (II)将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假,分类讨论,列出不等式组,求出 x 的 范围. 解答: 解:p:﹣2≤x≤6. (I)∵p 是 q 的充分条件, ∴[﹣2,6]是[2﹣m,2+m]的子集



∴实数 m 的取值范围是[4,+∞) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(Ⅱ)当 m=5 时,q:﹣3≤x≤7.据题意有,p 与 q 一真一假.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(7 分) p 真 q 假时,由 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

p 假 q 真时,由

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

∴实数 x 的取值范围为[﹣3,﹣2)∪(6,7].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 判断一个命题是另一个命题的什么条件,一般先化简各个命题再利用充要条件的定 义判断;解决复合命题的真假问题常转化为简单命题的真假情况.

17. (12 分)已知椭圆 C: 离为

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的距

,试求椭圆 C 的标准方程.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知条件得 ,由此能求出椭圆方程.

解答: 解:∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,



短轴一个端点到右焦点的距离为 ∴
2

,解得 a=

,c=



∴b =3﹣2=1. ∴椭圆 C 的标准方程是: .

点评: 本题考查椭圆方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆简单性质的合 理运用. 18. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥D1F; (2)证明面 AED⊥面 A1FD1 (3)求 AE 与平面 D1EF 所成的角的余弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)运用线面垂直的判定和性质,即可得证; (2)取 AB 的中点 G,连接 FG,A1G,运用三角函数的知识,证得 AE⊥A1G,再由线面垂 直的判定和面面垂直的判定定理,即可得证; (3)以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系.设正方形的边长为 2,则 A(2,0,0) ,E(2,2,1) ,D1(0,0,2) ,F(0,1,

0) ,求出所求向量的坐标,再设平面 D1EF 的法向量为 =(x,y,z) ,由向量的数量积为 0, 求得一个法向量,再由向量的夹角公式,即可得到. 解答: (1)证明:由于 AD⊥DD1,AD⊥CD, 则 AD⊥平面 CDD1C1,D1F?平面 CDD1C1, 则 AD⊥D1F; (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 FG,A1G, 易得 D1FGA1 为平行四边形,则 D1F∥A1G, 在正方形 ABB1A1 中,tan∠A1GA= =2,tan ,

即有∠A1GA+∠EAB=90°,即有 AE⊥A1G, 即有 AE⊥D1F,又 AD⊥D1F, 则 D1F⊥平面 AED,D1F?平面 A1D1F, 则面 AED⊥面 A1FD1; (3)以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设正方形的边长为 2,则 A(2,0,0) ,E(2,2,1) ,D1(0,0,2) ,F(0,1,0) , =(0,2,1) , =(﹣2,﹣1,﹣1) , =(0,1,﹣2) ,

设平面 D1EF 的法向量为 =(x,y,z) , 则由 可得, ,可得, 则取 =(﹣3,4,2) , cos< , >= = , =0,即﹣2x﹣y﹣z=0, =0,即有 y﹣2z=0,

设 AE 与平面 D1EF 所成的角为 θ, 则 sinθ= ,cosθ= . .

则 AE 与平面 D1EF 所成的角的余弦值为

点评: 本题考查空间直线与平面垂直的判定和性质,以及面面垂直的判定定理和运用,考 查空间的直线和平面所成的角的求法:运用法向量求解,考查运算能力,属于中档题.

19. (12 分)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,∠ABC= OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.



考点: 用空间向量求直线间的夹角、距离;用向量证明平行. 分析: 方法一: (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE,证明平面 MNE∥平面 OCD,方法是两 个平面内相交直线互相平行得到,从而的到 MN∥平面 OCD; (2)∵CD∥AB,∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)作 AP⊥CD 于 P, 连接 MP ∵OA⊥平面 ABCD,∴CD⊥MP 菱形的对角相等得到∠ABC=∠ADC= 利用菱形边长等于 1 得到 DP= 用三角函数定义求出即可. (3)AB∥平面 OCD,∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 AQ⊥OP 于点 Q, ∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面 OAP,∴AQ⊥CD, 又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离,求出距离可 得. 方法二: (1)分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系,分别表示出 A,B,O, M,N 的坐标, 求出 解得 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ,表示出 和 , , 的坐标表示. 设平面 OCD 的法向量为 = (x, y, z) , 则 ,∴MN∥平面 OCD ,利用 a?b=|a||b|cosα 求出叫即可. , ,而 MD 利用勾股定理求得等于 ,

,在直角三角形中,利

(3) 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d, 则d为 由 得 ,

在向量

上的投影的绝对值,

.所以点 B 到平面 OCD 的距离为 .

解答: 解:方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE ∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD 又∵NE∥OC,∴平面 MNE∥平面 OCD∴MN∥平面 OCD (2)∵CD∥AB,∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角) 作 AP⊥CD 于 P,连接 MP ∵OA⊥平面 ABCD,∴CD⊥MP ∵ ∴ 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 . ,∴ , ,

(3)∵AB∥平面 OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 AQ⊥OP 于点 Q, ∵AP⊥CD,OA⊥CD, ∴CD⊥平面 OAP,∴AQ⊥CD. 又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离, ∵ , ,



,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 .

方法二(向量法) 作 AP⊥CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系: A(0,0,0) ,B(1,0,0) , O(0,0,2) ,M(0,0,1) , (1) , =0, ? , =0 , ,

设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 ?



取 ∵

,解得 ? =( , ,﹣1)?(0,4, )=0,

∴MN∥平面 OCD. (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ, ∵







,AB 与 MD 所成角的大小为



(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,则 d 为 由 ,得 d= =

在向量 =(0,4,

)上的投影的绝对值,

所以点 B 到平面 OCD 的距离为 .

点评: 培养学生利用多种方法解决数学问题的能力,考查学生利用空间向量求直线间的夹 角和距离的能力.

20. (13 分)已知点 A(0,﹣2) ,B(0,4) ,动点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹方程;

?

=y ﹣8.

2

(2)已知直线 y=x+ 与(1)所求曲线交于 A、B 两点,求弦长 AB 及△ OAB 的面积.

考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)把向量数量积转化为坐标表示即可得出动点 P 的轨迹方程; (2)联立直线方程和抛物线方程,化为关于 x 的一元二次方程,然后利用弦长公式求得弦长, 求出 O 到直线 AB 的距离,再代入三角形的面积公式得答案. 解答: 解: (1)A(0,﹣2) ,B(0,4) , ∵动点 P(x,y)满足 ? =y ﹣8,
2 2

∴(﹣x,﹣2﹣y)?(﹣x,4﹣y)=y ﹣8, 2 2 2 2 ∴x +y ﹣2y﹣8=y ﹣8,化为 x =2y. 2 ∴动点 P 的轨迹方程为 x =2y;
2

(2)联立

,得 2x ﹣4x﹣1=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ∴|AB|= , = .

原点 O 到直线 4x﹣4y+1=0 的距离为







点评: 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了弦长公式的应用,关键是利用一元二次 方程的根与系数关系解题,是中档题. 21. (14 分)已知动圆 C 过点 A(﹣2,0) ,且与圆 M: (x﹣2) +y =64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2) 设直线 l: y=kx+m (其中 k, m∈Z) 与 (1) 所求轨迹交于不同两点 B, D, 与双曲线
2 2

交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量 少条?若不存在,请说明理由.

,若存在,指出这样的直线有多

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1) 由|AM|=4<R 得点 A (﹣2, 0) 在圆 M 内, 设动圆 C 的半径为 r, 依题意得 r=|CA|, 且|CM|=R﹣r,|CM+|CA|=8>|AM|,由定义得圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦 点,长轴长为 8 的椭圆,再根据 a,b,c 的关系解答即可. (2) 直线 l: y=kx+m 与 交于不同两点 B, D, 即 x1+x2= 同理得 x3+x4=

又因为 ,∴2km=0 或

所以(x4﹣x2 )+(x3﹣x1)=0 即 x1+x2=x3+x4 又其中 k,m∈Z 即可求出 k,m 的数值.
2 2

解答: 解: (1)圆 M: (x﹣2) +y =64,圆心 M 的坐标为(2,0) ,半径 R=8. ∵|AM|=4<R,∴点 A(﹣2,0)在圆 M 内, 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 r=|CA|,且|CM|=R﹣r, 即 ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆, 设其方程为 (a>b>0) ,则 a=4,c=2,

∴b =a ﹣c =12,∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

2

2

2



(2)由

消去 y 化简整理得: (3+4k )x +8kmx+4m ﹣48=0,

2

2

2

设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 x1+x2=
2 2 2



△ 1=(8km) ﹣4(3+4k ) (4m ﹣48)>0.① 由 消去 y 化简整理得: (3﹣k )x ﹣2kmx﹣m ﹣12=0,
2 2 2

设 E(x3,y3) ,F(x4,y4) ,则 x3+x4=
2 2 2



△ 2=(﹣2km) +4(3﹣4k ) (m +12)>0.② ∵ ∴ ,∴(x4﹣x2 )+(x3﹣x1)=0,即 x1+x2=x3+x4, ,∴2km=0 或 ,

解得 k=0 或 m=0, 当 k=0 时,由①、②得 , ∵m∈Z,∴m 的值为﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①、②得 ,

∵k∈Z,∴k=0. ∴满足条件的直线共有 7 条. 点评: 本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、类与整的数 学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.


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