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福建省南安第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc

时间:2017-08-22


南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学(文科)试卷
命题者:陈尚沙 本试卷考试内容为:三角函数、三角恒等变换、解三角形、选考 4-4、4-5,分第 I 卷(选 择题)和第 II 卷,共 4 页,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上

答题无效。按照题号在各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚 4.保持答题纸纸面清洁,不破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 (1) cos 75 cos15 +sin 75 sin15 的值为( (A) 0 (B) 1 ) (B) {x | ?
0 0 0 0

) (C)

1 2

(D) ?

1 2

(2)不等式 | 4 ? 3x |? 5 的解集是( (A) {x | ?

1 ? x ? 3} 3 1 1 (C) {x | ? x ? 3} (D) {x | x ? ? 或x ? 3} 3 3 ? x? ? 2 x (3)在同一平面直角坐标系中,将曲线 y ? 3sin 2 x 按伸缩变换 ? 后,所得曲线为 ? y? ? 3 y
( ) (A) y ? sin x (B) y ? 9sin 4 x (C) y ? sin 4 x (D) y ? 9sin x )

1 ? x ? 3} 3

(4)在 ? ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 2 3, ?B ? 60? ,则 BC 的长为( (A) 2 (5)函数 f ( x) ? sin( (B) 3 2 (C) 2 7

(D) 3 3 )

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是(

(A) 3, ?

(B) 3,

?
2

(C) 2,

?
2

(D) 2, ? )

(6)在周长为 16 的扇形中,当扇形的面积取最大值时,扇形的半径为( (A) 2 (B) 3 (C) 4

(D) 5 )

(7)在极坐标系中,圆 ? ? 3 cos? ? sin ? (0 ? ? ? 2? ) 的圆心的极坐标是( (A) ?1,

? ?? ? ? 6?

(B) ?1,

? 5? ? ? ? 6 ?

(C) ?1,

? 7? ? ? ? 6 ?
)

(D) ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

(8)函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? (A) [

?
4

) 的一个单调减区间是(

5? 9? , ] 8 8

(B) [ ?

? 3?
8 , 8

]

(C) [

3? 7? , ] 8 8

(D) [

? 5?
8 , 8

]

(9)已知 ? ? 0 , ? ?

? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示.为了得到函数 2
)

g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 f ? x ? 的图象(
(A)向右平移

? 个单位长度 4

(B)向右平移

? 个单位长度 8

? ? 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 4 8 ? (10)直线 l 的倾斜角为 ,且过点 P(1, 2) ,若直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 10 交于 6
(C)向左平移

A, B 两点,则 PA ? PB 的值为(
(A) 2 3 (B) 5

) (C) 2 3 ? 2 (D) 2 2 ? 3 ) (D) 12

(11)已知 a ? 1, b ? 2 ,且 (A) 8

1 1 ? ? 3 ,则 a ? 4b 的最小值为( a ?1 b ? 2
(C) 10

(B) 9

(12) 已知 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 2 x , 若 ?t? R x , ?R ,a sin t ? 3a ? 1 ? f ( x) 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( (A) ? 0, +? ? ) (B) [

2 , ??) 2

(C) ?

? 2 ? , +? ? ? ? 4 ?

(D) [ 2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设 ? ? (0,

?
2

) , sin ? ?

6 ,则 tan ? ? 3

(14)在极坐标系中,点 (2,

?
6

) 到直线 ? sin ? ? 3 的距离等于________

(15)已知 x, y ? R ,若 x ? y ?1 ? x ?1 ? y ? 2 ? 4 ,则 x+y 的取值范围为________ (16)如右图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物 CD .为
0

了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ? ,在山坡的 A 处测得 ?DAC ? 15 ,沿山坡前进

25m 到达 B 处,又测得 ?DBC ? 450 .根据以上数据计算可得 cos ? ? __________.
D

C

B

θ

A

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2 x ?1
2

(Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

(18)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 3sin 2B ? 1 ? cos2B 。 (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)若 BC = 2, A ?

?
4

,求△ABC 的面积.

(19)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? x ?1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立,求 a 的取值范围.

(20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,曲线 C1 : ?

? x ? 3cos ? 3 ( ? 为参数, a ? 0 )过点 P ( , 3) ,以坐标原点为 2 ? y ? a sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 2 sin ? ?

10

?



(Ⅰ)求曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)在 C1 上求一点 M ,使点 M 到直线 l 的距离最小,求出最小距离及点 M 的坐标.

(21)(本小题满分 12 分) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , S 为 ?ABC 的 面 积 ,

sin( B ? C ) ?

2S . a ? c2
2

(Ⅰ)证明: A ? 2C ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,且 ?ABC 为锐角三角形,求 S 的取值范围.

(22)(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为 ? y ? sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? cos ? ,曲 线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
6



(Ⅰ)把曲线 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)曲线 C3 与曲线 C1 交于点 O 、

A ,曲线 C3 与曲线 C2 交于点 O 、 B ,求 AB



南安一中 2015~2016 学年度下学期期末考 高二数学科试卷(文科)参考答案及评分标准
说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. (1)C (7)D (2)B (8)C (3)D (9)B (4)A (10)B (5)A (11)D (6)C (12)B

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分. (13) 2 (14) 2 (15) [?1,3] (16)

3 ?1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)解答: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? cos 2x ?1

? sin 2 x ? cos 2 x …………2 分

? 2 sin(2 x ? ) …………4 分 4
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T= (Ⅱ) f ( x) ? 当 x ? [0,

?

2? =? .…………6 分 2

? 5? ? [ , ] …………8 分 2 4 4 4 ? 5? ] 上的图象知, 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , 4 4
?
] 时, 2 x ?
当 2x ? 时, f ( x) 取最大值 2 ;…………10 分 8 2 ? ? 5? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最小值 ?1 . 4 4 4

2 sin(2 x ? ) 4

?

?

?

4

?

?

,即 x ?

?

综上, f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ,最小值为 0 .…………12 分

(18) 解: (I)解法 1:因为 3sin 2B ? 1 ? cos2B ,所以 2 3sin B cos B ? 2sin 2 B , 因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 ,从而 tan B ? 3 ,所以 B ? 解法 2:依题意得 3sin 2B ? cos2B ? 1 ,所以 2sin(2B ? 因为 0 ? B ? ? ,所以 分 (II)解法 1:因为 A ? 所以 AC ?

?
3

。…………6 分

?

? 1 ) ? 1 ,即 sin(2B ? ) ? , 6 6 2

?
6

? 2B ?

?
6

?

13? ? ? 5? ,所以 2B ? ? ,所以 B ? 。 …………6 3 6 6 6

?
4

,B?

?
3

,根据正弦定理得

AC BC , ? sin B sin A

BC sin B ? 6 。…………8 分 sin A
5? ? ? 6? 2 5? ? sin( ? ) ? ,所以 sin C ? sin ,…………10 分 12 4 6 4 12
1 1 6 ? 2 3? 3 AC ? BC sin C ? ? 6 ? 2 ? ? 。…………12 分 2 2 4 2

因为 C ? ? ? A ? B ?

所以△ABC 的面积 S ?

解法 2:同解法 1 得 AC ? 6 , 根据余弦定理得 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B , 化简为 AB 2 ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 ,…………10 分 所以△ ABC 的面积 S ? 分 (19)解: (I)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 , 当 x ? 0 时,即 2 ? x ? ? x ? 1 ,即 2 ? 1 ,所以解为 x ? ? ??,0? ; 当 0 ? x ? 2 时,即 2 ? x ? x ? 1 ,即 x ? 当 x ? 2 时,即 x ? 2 ? x ? 1 ,解为 ? ; 所以该不等式的解为 x ? ? ??, ? …………6 分 2

1 1 3 3? 3 AB ? BCsin B? ? 2 ? (1 ? 3 ) ? ? …………12 2 2 2 2

1 ? 1? ,所以解为 x ? ? 0, ? ; 2 ? 2?

? ?

1? ?

(II)因为 f ? x ? ? 1即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,…………8 分

而 f ? x ? ? 1在 ?0,1? 上恒成立,所以 ? 所以 a ? [0,1] …………12 分

?a ? 1 ? 0 ? a ?1 ? 1

? x ? 3cos ? 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,因为 P( , 3) 在 (20)解: (I)因为曲线 C1 : ? ( ? 为参数)所以 2 9 a ? y ? a sin ?
x2 y 2 ? =1…………4 分 曲线 C1 上,所以代入方程有 a ? 4 ,所以 C1 : 9 4
2

因为直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 2 sin ? ?

10

?

,将极坐标方程两边同乘 ? :

? c o s? ? 2? s i ? n ?

10 ,所以直线 l 的直角坐标方程 x ? 2 y ?10 ? 0 …………6 分

(II)因为椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? ( ? 为参数) y ? 2sin ? ?

所以可设点 M (3cos ? , 2sin ? ) , 由点到直线的距离公式,点 M 到直线的距离为

d?

? ? ?0 )? 10 ………… | | 3cos? ? 4sin? ? 10 | | 5cos ( 8分 ? 5 5
3 4 , sin ? 0 ? 由三角函数性质知,当 ? ? ?0 ? 0 时, 5 5

其中 cos ? 0 ?

d 取最小值为 dmin ? 5 …………10 分
此时 3cos ? ? 3cos ? 0 ?

9 8 , 2sin ? ? 2sin ? 0 ? 5 5

即点 M ( , ) …………12 分 (21)解: (Ⅰ)由 sin( B ? C ) ? 所以 sin A ?

9 8 5 5

2S 2S ,即 sin A ? 2 2 a ?c a ? c2
2

bc sin A 2 2 ,所以 a ? c ? bc ,…………2 分 a2 ? c2

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 b c o s ,所以 A
所以 b ? 2bc cos A ? bc ,所以 b ? 2c cos A ? c
2

?s i n B ? 2 si C n

cA o? s

C sin ………… 4分

?s i nA ( ?C ) ? 2 sC in

c A o? s

? in A c oC s? C ss in

co As

s Ci? n

C sin

?s i nA ( ?C ) ? si C n ? A, B, C ? (0 ?, A ) ? 2C …………6 分
(Ⅱ) 因为 A ? 2C 所以 B ? ? ? 3C ? sin B ? sin 3C

?

a b 2 sin 2C ? 且b ? 2 ?a ? s i nA s iB n sin 3C

?S ?

2 s i nC 2 1 2 sin C2 C sin ab s i n C? ? 2 cC os ? 2 sinC (2 ?C ) s i n C

sC in cC o s 2C s i n

?

2 t a nC 2 tC an 4C tan 4 , ? ? 2 3 tanC 2? ta C n ? 3 tC an ?tan C tan C

? ? ? A ? 2C ? (0, 2 ) ? ? ? ? ? 因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 ? B ? ? ? 3C ? (0, ) 所以 C ? ( , ) 6 4 2 ? ? ? C ? (0, ) ? 2 ?
3 ?t a n C? ( 3 , ,因为 1) S?

4 3 ? tan C tan C

为增函数,所以 S ? (

3 , 2) …………12 分 2

(22) 解 : (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 ( x ?1) ? y ? 1 ,即 x ? y ? 2 x ? 0
2 2 2 2

由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,得 ? 2 ? 2? cos? ? 0 所以曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? …………5 分 (Ⅱ)设点

A 的极坐标为 ( ?1 , ) ,点 B 的极坐标为 ( ? 2 , ) ,
?
6 ? 3 , ?2 ? sin

? 6

? 6

则 ?1 ? 2 cos

?
6

? cos

?
6

?

1 3 ? 2 2

所以 AB ?| ?1 ? ?2 |?

3 ?1 …………10 分 2


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