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1.1.1算法的概念


算法的概念

计算机与算法: 在现代社会里,计算机已经成为人 们日常生活和工作不可缺少的工具 .听音乐、看电影、玩游戏、画卡 通画、处理数据…计算机几乎可以 是一个全能的助手,你可以用它来 做你想做的任何事情.那么,计算 机是怎样工作呢?要想弄清楚这个 问题,就需要学习算法.

什么是算法?

要把大象装冰箱,分几步

? 第一步:打开冰箱门 第二步:把大象装 冰箱

第三步:关上冰箱门

? x ? y ? 35 解方程 ? ?2 x ? 4 y ? 94
第一步,由(1)得 x ? 35 ? y 第二步, 将(3)代入(2)得

(1) (2)
(3)

2(35 ? y) ? 4 y ? 94 (4) y ? 12 (5) 第三步, 解(4)得 第四步, 将(5)代入(3)得 x ? 23 ? x ? 23 第五步, 得到方程组的解得 ? ? y ? 12

? x ? y ? 35 解方程 ? ?2 x ? 4 y ? 94

(1) (2)
(3) (4)

第一步, (1) ? 2 ? (2)得: -2 y ? ?24 第二步, 解(3)得: y ? 12 第三步, (1) ? 4 ? (2)得: 第四步, 解(4)得: x ? 23

2 x ? 46

? x ? 23 第五步, 得到方程组的解得 ? ? y ? 12

写出一般二元一次方程组的解法步骤. (1) ? a1 x ? b1 y ? c1 ? a1b2 ? a2b1 ? 0 ? ? (2) ? a2 x ? b2 y ? c2
第一步, (1) ? b2 ? (2) ? b 1 得:

? a1b2 ? a2b1 ? x ? c1b2 ? c2b1
c1b2 ? c2b1 第二步,解(3)得 x ? a1b2 ? a2b1

(3)

写出一般二元一次方程组的解法步骤. (1) ? a1 x ? b1 y ? c1 ? a1b2 ? a2b1 ? 0 ? ? (2) ? a2 x ? b2 y ? c2
第三步,

? a2b1 ? a1b2 ? y ? a2c1 ? a1c2

(1) ? a2 ? (2) ? a1 得:

(4)

第四步,解(4)得

a2c1 ? a1c2 y? a2b1 ? a1b2

c1b2 ? c2b1 ? ?x ? a b ? a b ? 1 2 2 1 第五步,得到方程组的解为 ? ? y ? a2 c1 ? a1c2 ? a2b1 ? a1b2 ?

一、算法的概念
算法(algorithm)一词出现于12世纪,指的

是用阿拉伯数字进行算数运算的过程。

广义地说,算法就是做某一件事的 步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法 ,洗衣机的使用说明书是操作洗衣 机的算法,

算法的概念

×

在数学中算法通常指按照一 算法: 定规则 解决某一类问题的明确 和有限的步骤. 现在,算法通常可以编成计算 机程序,让计算机执行并解决问题 .

2.算法的特点:
?明确性 : 算法中的每一个步骤都是确切的 , 能有效的 执行且得到确定的结果,不能模棱两可。 ?有限性 : 算法应由有限步组成 , 必须在有限操作之后 停止,并给出计算结果。 有人对歌德巴赫猜想“任何大于4的偶 思考: 数都能写成两个奇质数之和”设计了 如下操作步骤: 第一步:检验6=3+3 第二步:检验8=3+5

第三步:检验10=5+5 . . . . . .
利用计算机无穷地进行下去! 请问,利用这种程序能够证明猜想的正确性吗? 这是一种算法吗?

2.算法的特点:
?明确性 : 算法中的每一个步骤都是确切的 , 能有效的 执行且得到确定的结果,不能模棱两可。 ?有限性 : 算法应由有限步组成 , 必须在有限操作之后 停止,并给出计算结果。 ?有序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤, 每一步都只能有一个确定的继任者,只有执行完前一步 才能进入到后一步 , 并且每一步都确定无误后 , 才能解 决问题。 ?不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对 于同一个问题可以有不同的解法 , 但算法有优劣之分 , 好的算法是我们追求的目标. ?普适性:写出的算法必须能解决一类问题,并且能重复 使用 , 这是设计算法的一条基本原则 , 这样才能使算法 更有价值.

练习题 1.下面的四种叙述不能称为算法的是( ) C (A)广播的广播操图解 (B)歌曲的歌谱 (C)做饭用米 (D)做米饭需要刷锅、淘米、添水、加 热这些步骤

2.下列关于算法的说法正确的是( D ) (A)某算法可以无止境地运算下去 (B)一个问题的算法步骤可以是可逆的 (C)完成一件事情的算法有且只有一种 (D)设计算法要本着简单、方便、可操

作的原则

3.下列关于算法的说法中,正确的是( ). C A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止

4.下列运算中不属于我们所讨论算法范 畴的是( B ). A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取3张扑克牌抽到 24点的可能性 C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程

D. 加减乘除运算法则

5.下列语句表达中是算法的有( C ). ① 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐 飞机抵达; ②利用公式 S = ah÷2 计算底为1高为2的 1 三角形的面积; ③ x>2x +4; 2 ④求M(1,2)与N(3,5)两点连线的方程可 先求MN的斜率再利用点斜式方程求得. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

巩固概念

×

例1:写出交换两个大小相同的杯子中 的液体 (A 水、 B 酒) 的一个算法.

第一步,找一个大小与A相同的空杯子C. 第二步,将A 中的水倒入C中. 第三步,将B中的酒精倒入A中. 第四步,将C中的水倒入B中,结束.

应用举例

×

例2.(1)设计一个算法判断7是否为质数.
第一步, 用2除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除7. 第二步, 用3除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以3不能整除7.
第三步, 用4除7,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7. 第四步, 用5除7,得到余数2.因为余数不为0, 所以5不能整除7. 第五步, 用6除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以6不能整除7.因此,7是质数.

巩固概念

×

写出交换两个大小相同的杯子中 的液体 (A 水、 B 酒) 的一个算法. 第一步,找一个大小与A相同的空杯子C. 第二步,将A 中的水倒入C中. 第三步,将B中的酒精倒入A中. 第四步,将C中的水倒入B中,结束.

应用举例

×

例1.(1)设计一个算法判断7是否为质数.
第一步, 用2除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除7. 第二步, 用3除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以3不能整除7.
第三步, 用4除7,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7. 第四步, 用5除7,得到余数2.因为余数不为0, 所以5不能整除7. 第五步, 用6除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以6不能整除7.因此,7是质数.

例1.(2)设计一个算法判断35是否为质数 .
第一步, 用2除35,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除35. 第二步, 用3除35,得到余数2.因为余数不为0, 所以3不能整除35.

应用举例

×

第三步, 用4除35,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7. 第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0, 所以5能整除35.因此,35不是质数.

设计一个算法,判断整数n(n>2)是否为质数? 第一步,给定大于2的整数n。

第二步,令i=2
第三步,用i除n,得到余数r。 第四步,判断“r=0”是否成立。 若是,则n不是质 数,结束算法; 否则,将i的值增加1,仍用i表示。

第五步,判断“i>(n-1)”是否成立。 若是,则n是质 数,结束算法; 否则,返回第三步

做一做

任意给定一个正整数 n , 试设计一个算法对n 是否为质 数做出判断。

第一步 判断 n 是否等于1。若是,则 n 既 : 不是质数,也不是合数。若 n >1 ,则执行第二步。
第二步 判断是 n 否等于2。若n=2,则n是 质数;若 n >2,则执行第三步。 :
n n n 第三步:依次检验 , , , 2 3 4 n , 的结果是否 n ?1

为整数。若有,则 n不是质数;若 没有,则 n 是质数。

例2 用二分法设计一个求方程 x2 – 2 = 0 的近似根的算法。 旧知识回顾 用二分法求函数的零点 :
a b ︱a-b︱
1 1 1 1.25 1.375 …… 2 1.5 1.5 1.5 …… + 2 + 2 + 2

0.5
0.25 0.125

……

1 1 + 1.5 1

y ? x2 ? 2

1.25

+ 1.5 + 1.3751.5

1.375

1 1.25

1.5

2

-

1.25

-

1

+ 2

解决问题

×
2

第一步, 令 f ( x) ? x ? 2 .给定精确度d. 第二步, 给定区间[a,b],满足f(a) · f(b)<0. 第三步, 取中间点 m ?
a?b 2



第四步, 若f(a) · f(m) < 0,则含零点的区间为[ a,m]; 否则,含零点的区间为[m, b]. 将新得到的含零点的仍然记为[a,b] .
第五步, 判断[a,b]的长度是否小于d或者 f(m)是否等于0. 若是,则m是方程的近似 解;否则,返回第三步.

例3:读下列算法,回答问题: 第一步,令s=0 第二步,令i=1。 第三步,求出s+i,仍用s表示。 第四步,判断i>100是否成立?若是,输出s;若不 是,将i的值增加1,仍用i表示返回第三步。 (1)该算法是解决什么问题的? (2)最终输出的结果是什么?

练习
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求
以这个数为半径的圆的面积.

第一步:输入任意一个正实数r; 第二步:计算圆的面积: S=πr2;

第三步:输出圆的面积S.

2.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数.
答案 1 :第一步:依次以 2~(n-1) 为除数去除 n, 检查余数 是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数. 第二步:在n的因数中加入1和n. 第三步:输出n的所有因数.
答案2:第一步:给定大于1的整数n 第二步:令i=1 第三步:用i除n,得余数r 第四步:判断“ r=0” 是否成立,若是,则i是n的因数,输出i, 第五步:将i的值增加1,仍用i表示. 第六步:判断“i>n结束算法,否则返回第三步.

巩固概念

×

3、写出求一元二次方程

ax2+bx+c=0 的根的算法.
第一步,计算Δ=b2-4ac. 第二步,如果Δ<0,则原方程无实数解 ? b ? ? ;否则(Δ≥0)时, x1 ? , 2a

? b ? ? x2 ? . 2a 第三步:输出x1, x2或无实数解的信息
.

练习题 4.下面的四种叙述不能称为算法的是( ) C (A)广播的广播操图解 (B)歌曲的歌谱 (C)做饭用米 (D)做米饭需要刷锅、淘米、添水、加 热这些步骤

5.下列关于算法的说法正确的是( D ) (A)某算法可以无止境地运算下去 (B)一个问题的算法步骤可以是可逆的 (C)完成一件事情的算法有且只有一种 (D)设计算法要本着简单、方便、可操

作的原则

6.下列关于算法的说法中,正确的是( ). C A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止

7.下列运算中不属于我们所讨论算法范 畴的是( B ). A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取3张扑克牌抽到 24点的可能性 C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程

D. 加减乘除运算法则

8.下列语句表达中是算法的有( C ). ① 从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐 飞机抵达; ②利用公式 S = ah÷2 计算底为1高为2的 1 三角形的面积; ③ x>2x +4; 2 ④求M(1,2)与N(3,5)两点连线的方程可 先求MN的斜率再利用点斜式方程求得. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

9.写出求1+2+3+…+100的一个算法.
n(n ? 1) 可以运用公式1+2+3+…+n= 2

直接计算. 第一步 第二步

① ②

; ①取n=100 ; ②计算 n(n ? 1)
2

第三步 输出运算结果.

1.已知一个学生的语文成绩为89,数学 成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和 平均成绩的一个算法为: 第一步 取A=89,B=96,C=99; 第二步 ① ; 第三步 ② ; 第四步 输出D,E.
①计算总分D=A+B+C
D ②计算平均成绩E= 3

2.算法的特点:
?明确性 : 算法中的每一个步骤都是确切的 , 能有效的 执行且得到确定的结果,不能模棱两可。 ?有限性 : 算法应由有限步组成 , 必须在有限操作之后 停止,并给出计算结果。 ?有序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤, 每一步都只能有一个确定的继任者,只有执行完前一步 才能进入到后一步 , 并且每一步都确定无误后 , 才能解 决问题。 ?不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对 于同一个问题可以有不同的解法 , 但算法有优劣之分 , 好的算法是我们追求的目标. ?普适性:写出的算法必须能解决一类问题,并且能重复 使用 , 这是设计算法的一条基本原则 , 这样才能使算法 更有价值.


1.1.1算法的概念

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