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2011年上海市各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线


上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 10 部分:圆锥曲线
一、选择题:
[来源:学 ,科 ,网 Z,X,X,K]

二、填空题: 4.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)双曲线 2 x ? 3 y ? 1 的渐近线方程
2 2



.y=

/>
6 x 3
2 2

4.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)双曲线 2 x ? 3 y ? 1 的渐近线方程



.y=

6 x 3
2

6、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)过抛物线 y ? 4 x 焦点的 直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于 11. (上海市五校 2011 年联合教学调研理科已知点 Q 2 2, 0 及抛物线 y ? 4 .

?

?

P ? x0 , y0 ? ,则 y0 ? PQ 的最小值为 2 。

x2 上一动点 4

13. (上海市闵行区 2011 届高三下学 期质量调研文科)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F 、 a 2 b2

2 若该双曲线与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F , 且两曲线的一个交点为 P ,PF ? 5 , F? ,

则 ?FPF ? 的大小为

(结果用反三角函数表示). arccos

29 35

1. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研) 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的实轴长 2



.2 2
2 2 2

9、 (上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)已知双曲线 k x ? y ? 1 ?k ? 0? 的一条渐近线 的法向量是 ?1,2 ? ,那么 k ?

1 2

2 3.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且以 d ? (1,1) 为

方向向量的直线的方程是

. 【 x ? y ?1 ? 0 】

11、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的 一个焦点与抛物线 y ? 4 10 x 的焦点重合,则双曲线的标准方程
2



y2 ?1 。x ? 9
2

12. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 过定点 ( p, 0) 作 两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,l1 与抛物线交于 P, Q 两点,l 2 与抛物线交于 M , N 两点,设

l1 的斜率为 k .若某同学已正确求得弦 PQ 的中垂线在 y 轴上的截距为
MN 的中垂线在 y 轴上的截距为 . ?2 pk ? pk 3

2p p ? ,则弦 k k3

三、解答题: 21.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分.

已知椭圆 E :
???? ???? ? F1 P ? F2 P ? ?6 .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P(3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a 2 b2

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过 定点?请说明理由.
21.解: (1)设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0)(c ? 0) , ???? ???? ? 则 F1 P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1), ???? ???? ? 故 F1 P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ? 1 ? 10 ? c 2 ? ?6 ,可得 c ? 4 ,

???????2 分

所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 ,???????4 分 故 a ? 3 2, b2 ? a 2 ? c 2 ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为

????? ???? ? (2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m),(5, n) ,则 F1M ? (9, m), F2 N ? (1, n) , ????? ???? ? ????? ???? ? 又 F1M ? F2 N ,可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 , ???????8 分

x2 y 2 ? ? 1. 18 2

???????????6 分

m?n |m?n| , ), 半径为 2 2 m?n 2 |m?n| 2 故圆 C 的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? ) ?( ) , 2 2
又圆 C 的圆心为 (5, 即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 , 也就是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 , 令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2, 故圆 C 必过定点 (8,0) 和 (2,0) .

????????11 分

????????13 分

(另法: (1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解; (2)中可利用圆 C 直径的 两端点直接写出圆 C 的方程) 23.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点, 点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 , 到点 F (?1 , 0) 的 距离为 d 2 ,且

d2 2 . ? d1 2

(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点作 直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆的位 置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (3)记 S1 ? S ?FAM ,S 2 ? S ?FMN ,S3 ? S ?FBN (A、 B、M、N 是(2)中的点), 问是否存在实数 ? , 使 S 2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
2

进一步思考问题:若上述问题中直线 l1 : x ? ?

a2 、点 F (?c, 0) 、曲线 C: c

2 x2 y 2 则使等式 S 2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变. 请给出你 ? ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) , a 2 b2 的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 解 1分 依据题意,有 (1) 设动点为 P( x,y ) ,

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? , 化简得 ? y 2 ? 1. | x?2| 2 2
分 因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

3

x2 ? y 2 ? 1. 2

????????4 分

(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不 合题意,故可设直线 l : x ? my ? 1 ,如图所 示.
2

5分

?x ? y 2 ? 1 ,可化为 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , 联立方程组 ? ?2 ? x ? my ? 1 ?
2m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? m2 . 则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足 ? ? ?y y ? ? 1 1 2 ? 2 ? m2 ?

7分

又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直 径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断. ???? ???? ? 因 FM ? (?1 ,y2 ) ,则 ,y1 ) , FN ? (?1

???? ? ???? 1 ? m2 ? 0 .9 分 FM ? FN ? (?1 ,y1 ) ? (?1 ,y2 ) ? 1 ? y1 y2 = 2

2?m

于是, ?MFN 为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 分

10

(3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ?

4 , 2 ? m2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ?


2 ? 2m 2 , 2 ? m2
2

1 1 S1S 3 ? ( x 1 ? 2) | y |1? ( x ?2 2) | y | 2 2 1 1 ? ? [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] 4 2 ? m2
? 1 1 ? m2 , 2 (2 ? m 2 ) 2

1 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ?1) 2 2 1 ? [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] 4
1 ? m2 ?2 . (2 ? m2 ) 2
所以, S 2 ? 4 S1S3 ,即存在实数 ? ? 4 使得结论成立.
2

14 分

15 分 对进一步思考问题的判断:正 确. 18 分
[来源:学科网 ZXXK]

23.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 x ? ? 到点 F ( , 0) 的距离为 d 2 ,且 d1 ? d 2 ? 1. (1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、 B, 分别过 A、 B 点作直线 l1 : x ? ? 对应的垂足分别为 M、N ,求证 FM ? FN = 0 ; (3)记 S1 ? S ?FAM , S 2 ? S ?FMN , S3 ? S ?FBN (A、B、 M、N 是(2)中的点),? ? 的值. 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分.
2 S2 ,求 ? S1S3

p ? 1 ( p 是正常数)的距离为 d1 , 2

p 2

p 的垂线, 2

???? ? ????



(1) 设动点为 P( x,y ) ,

1分

依据题意,有

| x?

p p ? 1| ? ( x ? ) 2 ? y 2 ? 1 ,化简得 y 2 ? 2 px . 2 2

4分

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

y 2 ? 2 px .
(2)

????????6 分

由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不合题意, 8分

故可设直线 l : x ? my ? 1 ,如图所示.

? y 2 ? 2 px 2 2 联立方程组 ? ? p ,可化为 y ? 2mpy ? p ? 0 , ? x ? my ? ? 2
则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足 ?

? y1 ? y2 ? 2mp
2 ? y1 y2 ? ? p



10 分

p 又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (? p ,y1 ) 、 N (? ,y2 ) .
2

2

???? ???? ? 于是, FM ? (? p,y1 ) , FN ? (? p,y2 ) ,
???? ? ???? 因此 FM ? FN ? (? p,y1 ) ? (? p,y2 ) ? p 2 ? y1 y2 ? 0 .
2

12 分

2 y12 y2 p2 ? ? (3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? p ? 2m p ? p , x1 x2 ? , 2p 2p 4



1 p 1 p S1S 3 ? ( x 1 ? ) | y |1? ( x ?2 ) | y | 2 2 2 2
p2 p p2 ? [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ] 4 2 4
[来源:Zxxk.Com]

2

?

?

1 4 2 p (m ? 1) , 4 1 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ? p) 2 2
p2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] 4
16 分 18 分

?

? p 4 (1 ? m2 ) .
所以, ? ?
2 S2 ? 4 即为所求. S1S3

22、 (上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科) (本题满分 16 分) 已知: 椭圆

x2 y2 ? ,过点 A(? a, 0) , B(0, b) 的直线倾斜角为 ,原点到该 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 6 a b
3 . 2

直线的距离为

(1)求椭圆的方程; (2) 斜率大于零的直线过 D(? 1, 方程; (3)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点

0) 与椭圆交于 E ,F 两点,若 ED ? 2 DF ,求直线 EF 的

D(? 1, 0) ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
22、 (16 分) (1)由

b 3 1 1 3 ? ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , , a ?b ? ? a 3 2 2 2

x2 所以椭圆方程是: ? y 2 ? 1 ????????4 分 3
( 2)设 EF: x ? my ? 1 ( m ? 0 )代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , 3

设 E ( x1 ,

y1 ) , F ( x2 ,

y 2 ) ,由 ED ? 2 DF ,得 y1 ? ?2 y 2 .

2m ?2 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 ????????8 分 2 m ?3 m ?3 2m 2 1 得 (? 2 ,? m ? 1 , m ? ?1 (舍去) , (没舍去扣 1 分) ) ? 2 m ?3 m ?3
由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ????????10 分 (3)将 y ? kx ? 2 代入 记 P( x1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3
y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D(? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即

y1 ) , Q( x2 ,

( x1 ? 1,
2

y1 ) ? ( x2 ? 1,

y 2 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 ,又 y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx2 ? 2 ,

? 12 k ? 14 ? 0 .??????14 分 3k 2 ? 1 7 7 解得 k ? ,此时(*)方程 ? ? 0 ,?存在 k ? ,满足题设条件.????16 分 6 6
得 (k ? 1) x1 x 2 ? (2k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ? 22.(上海市五校 2011 年联合教学调研理科(上海市五校 2011 年联合教学调研理科(本题满

分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分. 已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 ,记动点 P 的轨迹为 W 。 (1)求 W 的方程; (2)过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,使得 | AB |? 2 2 ,求直线 l 的方程。 (3)若从动点 P 向圆 C : x ? ( y ? 4) ? 1 作两条切线,切点为 A 、 B ,令|PC|=d,
2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 试用 d 来表示 PA ? PB ,并求 PA ? PB 的取值范围。 22. 解: (1)由 PM ? PN ? 2 2 ,知点 P 的轨迹是以 M (?2,0), N (2,0) 为焦点,
实轴长为 2 2 的双曲线。 即设 2a ? 2 2, 2c ? 4 ? a ?
2

2分

2, c ? 2, b ? 2
2

所以所求的 W 的方程为 x ? y ? 2

4分

(2)若 k 不存在,即 x =2 时,可得 A(2, 2 ),B(2,- 2 ),|AB|=2 2 满足题意; 5 分 若 k 存在,可设 l:y=k(x-2)
? y ? k ( x ? 2) 联立 ? 2 , ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 2 ?x ? y ? 2
?1 ? k 2 ? 0 由题意知 ? ? k?R且k ? ?1 ? ??0

6分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=

? 1? k2 |a|



8k 2 ? 8 |1 ? k2 |

1 ? k 2 =2 2

? k=0 即 l:y=0
所以直线 l 的方程为 x=0 或 y=0 9分

8分

2 2 (3) PA ? PB ? PA PB cos ?APB ? (d ? 1)(1 ? 2sin APO ?)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2 2 2 ? ? 1 ? ? ( d ? 1)( d ? 2) ? ( d 2 ? 1) ?1 ? 2 ? ? ? ? d2 ?d ? ? ? ? ?

11 分

又 d ? x ? ( y ? 4) ? y ? 2 ? ( y ? 4) ? 2 y ? 8 y ? 18 ? 2( y ? 2) ? 10 ? 10
2 2 2 2 2 2 2

??? ? ??? ? (d 2 ? 1)(d 2 ? 2) 2 ? d 2 ? 2 ? 3 -----? d 2 ? 10 则 PA ? PB ? 2 d d

13 分

2 2 1 10, ?? 是增函数, ? f (d ) ? 10 ? ?3在 ? ? 3 ? 7 2 ? d 10 5 ??? ? ??? ? 1 ? ? 则所求的 PA ? PB 的范围为 ?7 , ?? ? 。 ? 5 ? f (d ) ? d 2 ?

?

16 分

23.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2

小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分)

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别 a2 b2 为 A、 椭圆 C 的右焦点为 F , 过 F 作一条垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R 、 若线段 RS B, S, 10 的长为 。 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q (t , m) 是直线 x ? 9 上的点,直线 QA 、 QB 与椭圆 C 分别交于点 M 、 N ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点,并求出此定点的坐标; (3)实际上,第(2)小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线,请你对抛物 线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 写出一个更一般的结论,并加以证明。
在平面直角坐标系中,已知焦距为 4 的椭圆 C :
[来源:学科网]

23. (1)依题意,椭圆过点 ( 2 , 分)

25 ?4 ? ?1 5 ?a 2 ? 9 ? ? ,解得 ? 2 。???????????????(3 ) ,故 ? a 2 9b 2 3 ? ? a 2 ? b2 ? 4 ?b ? 5 ?

x2 y 2 ? ? 1 。?????????????????????????????(4 分) 9 5 m y (2)设 Q ( 9 , m ) ,直线 QA 的方程为 y ? ( x ? 3 ) ,?????(5 分) Q 12 M 代入椭圆方程,得 ( 80 ? m2 ) x2 ? 6 x ? 9m2 ? 720 ? 0 , ??(6 分) O A B 9 x 9m2 ? 720 240 ? 3m2 设 M ( x1 , y1) ,则 ? 3x1 ? ,?( 7 分) ? x ? 1 N m2 ? 80 m2 ? 80
椭圆 C 的方程为

y1 ?
分)

m m 240 ? 3m2 40m 240 ? 3m2 40m , 故点 M 的坐标为 ( 2 ( x1 ? 3 ) ? ( 2 ? 3) ? 2 , ) 。???(8 12 12 m ? 80 m ? 80 m ? 80 m2 ? 80

同理,直线 QB 的方程为 y ? 设 N ( x2 , y2 ) , 则 3x2 ? 可得点 N 的坐标为 ( 分) ①若

m ( x ? 3 ) ,代入椭圆方程,得 ( 20 ? m2 ) x2 ? 6 x ? 9m2 ? 180 ? 0 , 6
? x2 ? 20m m2 ? 20 3m2 ? 60 m2 ? 20
,y2 ?

9m2 ? 180 m2 ? 20 ,?

m m 3m2 ? 60 20m 。 ( x2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3) ? ? 2 6 6 m ? 20 m ? 20

3m2 ? 60 m2 ? 20

) 。??????????????????????(10

240 ? 3m2 m ? 80
2

?

3m2 ? 60 m2 ? 20

? m2 ? 40 时,直线 MN 的方程为 x ? 1 ,与 x 轴交于 (1 , 0 ) 点; 20m m ? 20
2

②若 m2 ? 40 ,直线 MN 的方程为 y ?

?

10m 40 ? m
2

(x ?

3m2 ? 60 m2 ? 20

),

令 y ? 0 ,解得 x ? 1 。综上所述,直线 MN 必过 x 轴上的定点 (1 , 0 ) 。??????????(12 分) (3)结论:已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 的顶点为 O , P 为直线 x ? ?q ( q ? 0 ) 上一动点,过点 P 作 x 轴的 平行线与抛物线交于点 M ,直线 OP 与抛物线交于点 N ,则直线 MN 必过定点 ( q , 0 ) 。???(14 分) 证明:设 P ( ? q , m ) ,则 M ( 直线 OP 的方程为 y ? ?
m2 , m) , 2p

2 pq2 2 pq m 2 pq ) 。 ?(16 分) x ,代入 y 2 ? 2 px ,得 y 2 ? y ? 0 ,可求得 N ( 2 , ? m q m m y
P M O N x

?q

直线 MN 的方程为 y ? m ?

m?

m2 ? 2p m2

2 pq 2 2 m ( x ? m ) ? 2 pm ( x ? m ) , 2 2 2p 2p 2 pq m ? 2 pq

令 y ? 0 ,得 x ?

m2 m2 ? 2 pq ? ? q ,即直线 MN 必过定点 ( q , 0 ) 。??(18 分) 2p 2p

22.

(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)

(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,

第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分、第 3 小题 满分 7 分. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 中心为 O ,右顶点为 M ,过定点 D(t ,0)(t ? ?2) 作直线 l 交椭圆于 4

A 、 B 两点.
(1)若直线 l 与 x 轴垂直,求三角形 OAB 面积的最大值; (2)若 t ?

6 o ,直线 l 的斜率为 1 ,求证: ?AMB ? 90 ; 5

(3)直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是否为非零常数?请说明理由. 22.解:设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) .

x2 1 ? y 2 ? 1 可得: y ? ? (1)把 x ? t 代入 4 ? t2 , 4 2
则 S?OAB ? OD ? AD ?

(2 分)

[来源:Z#xx#k.Com]

1 ? t ? 4 ? t 2 ? 1 ,当且仅当 t ? ? 2 时取等号 2

(4 分)

6 ? y ? x? ? 44 48 ? 5 2 (2)由 ? 2 得 125x ? 240 x ? 44 ? 0 , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? (6 分) 125 25 ? x ? y2 ? 1 ? ?4
6 ?? 6? ? x1 ? ?? x2 ? ? x1 x2 ? 6 ? x1 ? x2 ? ? 36 ? y1 y2 5 ?? 5? 5 25 ? ?? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

所以 k AM k BM

44 6 48 36 ? ? ? 125 5 25 25 ? ?64 ? ?1 ? ?AMB ? 90o ? 44 48 64 ? 2? ? 4 125 5 (3)直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数.
当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线方程为: y ? k ( x ? t ) ,

(9 分)

(11 分)

? y ? k (x ? t) ? 2 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 整理得 (4k ? 1) x ? 8k tx ? 4k t ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

? ?? ? 0 ? 8k 2 t ? 则 ? x1 ? x2 ? 4k 2 ? 1 ? ? 4k 2t 2 ? 4 x x ? ? 1 2 4k 2 ? 1 ?
所以 k AM k BM ?



又 ?

? y1 ? k ( x1 ? t ) ? y2 ? k ( x2 ? t )

② (13 分)

y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ) t?2 ? ? (常数) (15 分) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4(t ? 2)

?x ? t 1 1 ? 当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ? x 2 得 两交点 A(t , 4 ? t 2 ), B(t , ? 4 ? t2 ) , 2 2 2 ? ? y ?1 ?4
显然 k AM k BM ?

t?2 .所以直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数.(16 分) 4(t ? 2)

21、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)已知 F1 ?

?

2 ,0 和 F2

?

?

2 ,0 ,点 T ?x, y ? 满足

?

TF1 ? TF2 ? 4 , O 为直角坐标原点,
(1)求点 T 的轨迹方程 ? ; (6 分) (2)(理)任意一条不过原点的直线 L 与轨迹方程 ? 相交于点 P, Q 两点,三条直线 OP ,OQ , (10 分) PQ 的斜率分别是 k OP 、 kOQ 、 k PQ , k PQ ? k OP ? k OQ ,求 k PQ ; (文)过点 ?0,1? 且以 2, 2 为方向向量的一条直线与轨迹方程 ? 相交于点 P, Q 两点, OP ,
2

?

?

OQ 所在的直线的斜率分别是 k OP 、 kOQ ,求 k OP ? k OQ 的值;
21、解: (1)

(10 分)

x2 y2 ? ?1 6分 4 2 (2)(理) 、设直线 L 的方程: y ? kx ? t ?t ? 0? 7分 ?y ? kx? t ? 2 1 ? 2k 2 ?x 2 ? 4ktx ? 2t 2 ? 4 ? 0 , 9 分 消去 y 得: ? ?x y2 ?1 ? ? 2 ?4 2t 2 ? 4 x1 x 2 ? 10 分 1 ? 2k 2 t 2 ? 4k 2 1 ? 2k 2 ?y 2 ? 2 yt ? t 2 ? 4k 2 ? 0 , y1 y 2 ? 消去 x 得: ? 1 ? 2k 2 y y y y t 2 ? 4k 2 ? k OP ? k OQ ? 1 ? 2 ? 1 2 ? ? k 2, 2 x1 x1 x1 x 2 2t ? 4

12 分 14 分

?k 2 ?

2 1 ?k ? ? 2 2 2 2
7分 8分

16 分

(文)直线 L 的斜率 k ? 设直线 L 的方程: y ?

2 x ?1 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?4 2 2 联立 ? 消去 y 得: x ? 2 x ? 1 ? 0 所以 x1 x2 ? ?1 , ?y ? 2 x ?1 ? 2 ? 1 2 同法消去 x 得: 2 y ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以 y1 y 2 ? ? 2 y y 1 ? k OP ? k OQ ? 1 2 ? x1 x 2 2

10 分

12 分 16 分

21.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小 题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8 .
2 2

(1)设点 Q( x, y ) 是圆 C 上一点,求 x ? y 的取值范围; (2)如图,定点A(1, 0), M 为圆 C 上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 求 点N 的轨迹的内 接矩形的最大面积. 21.(本题满分 14 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (理) (1)∵点在圆 C 上,∴可设

M A O N

y x O P x

???? ?

??? ? ??? ? ???? ?

C O

A

? ? x ? ?1 ? 2 2 cos? ? ? [0,2? ) ;???????????2 分 ? ? y ? 2 2 sin ? ?
x ? y ? ?1 ? 2 2 (cos? ? sin ? ) ? ?1 ? 4 sin(? ? ) ,?????????????? 4
???4 分 从而

?

x ? y ? [?5,3] .????????????????????????????????6


(2)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴ |NA|=|NM|.???????????????????????8 分 又? | CN | ? | NM |? 2 2 ,?| CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C (-1, 0) , A (1, 0) 为焦点的椭圆.?????????????? 10 分 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴点 N 的轨迹是方程为

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. ?????????????????????????12 分 2
所以轨迹 E 为椭圆,其内接矩形的最大面积为

2 2 .??????????????????14 分
23、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 18 分)第(1)小题满分 4 分, 第(2)小题满分 8 分,第(3)小题满分 6 分。 定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的相 似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 。 4

(3)

若椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 ,判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似,求出 C2 与 C1 的相似比; 16 4

如果不相似,请说明理由; (4) 写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程; 若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、N 关于直线 y ? x ? 1 对称,求实数 b 的取值范围?

(5)

如图:直线 l 与两个“相似椭圆”

x2 y 2 ? ?1 和 a 2 b2

x2 y 2 ? 2 ? ? 2 (a ? b ? 0, 0 ? ? ? 1) 分别交于点 A, B 2 a b
和点 C , D ,证明: AC ? BD 23.解: (1)椭圆 C2 与 C1 相似。-------------------2 分

因为椭圆 C2 的特征三角形是腰长为 4, 底边长为 4 3 的等腰三角形, 而椭圆 C1 的特征三角形 是腰长为 2,底边长为 2 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为

2 :1 -------------------4 分
(2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 (b ? 0) -------------------6 分 4b 2 b 2

设 lMN : y ? ? x ? t ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 中点为 ( x0 , y0 ) ,

? y ? ?x ? t ? 2 2 2 则 ? x2 ,所以 5 x ? 8tx ? 4(t ? b ) ? 0 -------------------8 分 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
则 x0 ?

x1 ? x2 4t t ? , y0 ? 2 5 5

-------------------9 分

因为中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有 即直线 lMN 的方程为 : lMN

t 4t 5 ? ? 1 , t ? ? -------------------10 分 3 5 5 5 : y ? ?x ? , 3

由题意可知,直线 lMN 与椭圆 Cb 有两个不同的交点, 即方程 5 x ? 8(? ) x ? 4[(? ) ? b ] ? 0 有两个不同的实数解,
2 2 2

5 3

5 3

所以 ? ? (

5 40 2 25 ---------- ---------12 分 ) ? 4 ? 5 ? 4 ? ( ? b2 ) ? 0 ,即 b ? 3 3 9

(3)证明: ①直线 l 与 x 轴垂直时,易得线段 AB 与 CD 的中点重合,所以 AC ? BD ;-------------------14 分 ②直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为: y ? kx ? n , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 线段 AB 的中点 ( x0 , y0 ) ,

? y ? kx ? n ? 2 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 knx ? (a2 n2 ? a2 b2 ) ? 0 -------------------15 分 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? 1 a 2 kn x ? ( x ? x ) ? ? ? ? 0 2 1 2 b2 ? a 2k 2 ?? ? 线段 AB 的中点为 2 ? y ? kx ? n ? nb 0 0 ? b2 ? a 2k 2 ?

(?

a 2 kn nb 2 , ) -------------------16 分 b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2

a 2 kn nb 2 同理可得线段 CD 的中点为 (? 2 , ) ,-------------------17 分 b ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2
即线段 AB 与 CD 的中点重合,所以 AC ? BD -------------------18 分


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