nbhkdz.com冰点文库

导数及其应用测试题(详细解答)

时间:2017-07-24


导数及其应用测试题 一、选择题 1.设函数 f ( x)在x0 可导,则 lim

f ( x0 + t ) ? f ( x0 ? 3t ) =( ) t →0 t ' ' ' A. f ( x0 ) B. ?2 f ( x0 ) C. 4 f ( x0 ) D.不能确定 2. (2007 年浙江卷)设 f ′( x ) 是函数 f (

x ) 的导函数,将 y = f ( x) 和 y = f ′( x ) 的图象画在
同一个直角坐标系中,不可能正确的是( y y ) y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

3.2007 年江西卷) ( 设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y = f ( x) 在 x = 5 处的切线的斜率为( ) A. ?

1 5

B. 0

C.

1 5

D. 5 ) D.极值情况不能确定

4.已知函数 f ( x) = x ,在 x = 0 处函数极值的情况是( A.没有极值 5.曲线 y = B.有极大值 C.有极小值

? 1? ) ? 4? x A. x + 48 y ? 20 = 0 B. x + 48 y + 20 = 0 C. x ? 48 y + 20 = 0 D. x ? 4 y ? 20 = 0 3 2 6.已知曲线 y = 400 + x + (100 ? x)(0 ≤ x ≤ 100) 在点 M 处有水平切线,则点 M 的坐 5 1
3 2

在点 R? 8, ? 的切线方程是(

标是( ) . A. (-15,76) B. (15,67) 7.已知函数 f ( x ) = x ln x ,则( A.在 (0,+∞) 上递增 C.在 ? 0, ? 上递增

C. (15,76) )

D. (15,-76)

B.在 (0,+∞) 上递减 D.在 ? 0, ? 上递减

? 1? ? e? 8. (2007 年福建卷)已知对任意实数 x ,有 f ( ? x ) = ? f ( x ),g ( ? x ) = g ( x ) ,且 x > 0 时, f ′( x) > 0,g ′( x) > 0 ,则 x < 0 时( ) A. f ′( x ) > 0,g ′( x ) > 0 B. f ′( x ) > 0,g ′( x ) < 0 C. f ′( x ) < 0,g ′( x ) > 0 D. f ′( x ) < 0,g ′( x ) < 0
二、填空题 9.函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 5 的单调递增区间是_____________. 10.若一物体运动方程如下: s = ?

? 1? ? e?

?3t 2 + 2 ? ?29 + 3(t ? 3) 2 ?

(0 ≤ t < 3) (t ≥ 3)

(1) ( 2)

则此物体在 t = 1 和 t = 3 时的瞬时速度是________.
3 11.曲线 y = ? x + 2 x 在点(-1,-1)处的切线的倾斜角是________.

1

12.已知 f ( x) = x 2 + c ,且 g ( x) = f f ( x) = f ( x + 1) ,设 ? ( x ) = g ( x ) ? λf ( x ) , ? (x )
2

在 ( ?∞,?1) 上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数,则 λ =________. 2 13. (2006 年湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= π r ,周长 C(r)=2 π r,若将 r 看作(0,+ 2 1 1 ∞)上的变量,则( π r )`=2 π r ○,○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆 1 的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式 2 2 ○,○式可以用语言叙述为: . 子: 14. (2007 年江苏卷)已知函数 f ( x ) = x 3 ? 12 x + 8 在区间 [ ?3,3] 上的最大值与最小值分别 为 M , m ,则 M ? m = 三、解答题 15. (1)求曲线 y =
2

.

2x 在点(1,1)处的切线方程; x +1 t ?1 2 (2)运动曲线方程为 S = 2 + 2t ,求 t=3 时的速度. t 1 x2

16. 设函数 f ( x ) 是定义在 [-1, ∪ 0)(0, 上的奇函数, x∈ 1] 当 [-1, 时,f ( x ) = 2ax + 0) (a∈R). (1)当 x∈(0,1]时,求 f ( x ) 的解析式;

(2)若 a>-1,试判断 f ( x ) 在(0,1)上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在 a,使得当 x∈(0,1)时,f(x)有最大值-6. 17.函数 f (x ) 对一切实数 x, y 均有 f ( x + y ) ? f ( y ) = ( x + 2 y + 1) x 成立,且 f (1) = 0 , (1)求 f (0) 的值; (2) 0 ≤ x ≤ 当

1 时, f ( x ) + 3 < 2 x + a 恒成立, 求实数 a 的 2

O

取值范围. 18. (2006 年江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图 所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面,中心 o1 的距离为多少时,帐 篷的体积最大? 19. (2006 年天津卷)已知函数 f ( x ) = 4 x ? 3 x cos θ +
3 2

O

且 0 ≤ θ ≤ 2π . (1)当时 cosθ = 0 ,判断函数 f ( x ) 是否有极值;

3 cos θ ,其中 x ∈ R,θ 为参数, 16

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ ,函数 f ( x ) 在区间 (2a ? 1, a ) 内都 是增函数,求实数 a 的取值范围. 20. (2007 年广东高考压轴题) 已知函数 f ( x) = x 2 + x ? 1 , , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) , α
f '( x) 是 f(x)的导数;设 a1 = 1 , an +1 = an ? f ( an ) (n=1,2,……) f '(an )

(2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围;

(1)求 α , β 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; a ?β (3)记 bn = ln n (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
an ? a

2

选修2– 导数及其应用 选修 –2导数及其应用 一、选择题 1 题号 C 答案 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B

二、填空题 9. (?∞,0) 与 ( 2,+∞) .10.0

3π . 12.4. 4 4 4 4 3 3 2 3 2 2 ′ ′ 13.V 球= π R ,又 π R ) =4π R 故○式可填 π R ) =4π R ,用语言叙述 ( ( 3 3 3
11. α = 为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 14.32. 三、解答题 15.分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x)在 x 0 处的导数就是 分析: 分析 曲线 y=f(x)在点 p ( x 0 , y 0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数. 解: (1) y ' =

2( x 2 + 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2x 2 2?2 = 2 , y ' | x =1 = = 0, 2 2 2 4 ( x + 1) ( x + 1)

即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0.

2x 在(1,1)处的切线方程为 y=1. x +1 t 2 ? 2t (t ? 1) 1 2 ? t ? 1? 2 + 4t = ? 2 + 3 + 4t . (2) S ' = ? 2 ?'+( 2t )' = 4 t t t ? t ? 1 2 26 S ' | t =3 = ? + + 12 = 11 . 9 27 27 1 16.(1)解:设 x∈(0,1] ,则-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+ 2 , x 1 ∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax- 2 ,x∈(0,1]. x 2 1 (2)证明:∵f′(x)=2a+ 3 = 2( a + 3 ) , x x 1 1 ∵a>-1,x∈(0,1] 3 >1,∴a+ 3 >0.即 f′(x)>0. , x x
因此曲线 y =
2

∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数. (3)解:当 a>-1 时,f(x)在(0,1]上单调递增.

5 (不合题意,舍之) , 2 1 当 a≤-1 时,f′(x)=0,x= 3 ? . a
f(x)max=f(1)=-6, ? a=- 如下表:fmax(x)=f( 3 ?

1 2 )=-6,解出 a=-2 2 . x= ∈(0,1). a 2

3

x
f '( x) f ( x)

(-∞, 3 ?

1 ) a

3

?

1 a

(3?

1 ,+∞) a


+

0

最大值

∴存在 a=-2 2 ,使 f(x)在(0,1)上有最大值-6. 17. (Ⅰ)因为 f ( x + y ) ? f ( y ) = ( x + 2 y + 1) x , 令 y = 0, f ( x ) ? f (0) = ( x + 1) x , 再令 x = 1, f (1) ? f (0) = 2, f (0) = ?2 . (Ⅱ)由知 f ( x ) = ( x + 1) x ? 2 ,即 f ( x) = x + x ? 2 .
2

由 f ( x) + 3 < 2 x + a 恒成立,等价于 a > f ( x ) ? 2 x + 3 = x ? x + 1 = ( x ? ) +
2 2

1 2

3 恒成 4

立,即 a > [( x ? ) + ]max .
2

1 2

3 4

1 1 2 3 1 2 3 时, [( x ? ) + ]max = [(0 ? ) + ] = 1 . 2 2 4 2 4 故 a ∈ (1, +∞ ) . 18.解:设 OO1 为 x m ,则 1 < x < 4 .
当0 ≤ x ≤ 由题设可得正六棱锥底面边长为:

3 2 ? ( x ? 1) 2 = 8 + 2 x ? x 2 , m ) (
故底面正六边形的面积为:

6?

3 3 3 ? ( 8 + 2x ? x 2 ) 2 = ? (8 + 2 x ? x 2 ) , m 2 ) ( 4 2

帐篷的体积为:

3 3 1 3 (8 + 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) + 1] = (16 + 12 x ? x 3 ) ( m 3 ) 2 3 2 3 求导得 V' x) ( = (12 ? 3 x 2 ) .令 V' x) 0 , ( = 2 解得 x = ?2 (不合题意,舍) x = 2 , , ( > 为增函数; 当 1 < x < 2 时, V' x) 0 , V(x) 当 2 < x < 4 时, V' x) 0 , V(x) ( < 为减函数. ∴当 x = 2 时, V(x) 最大. 3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m . 19. (Ⅰ)解:当 cos θ = 0 时, f ( x ) = 4 x 3 , 则 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内是增函数,故无极值. cos θ (Ⅱ)解: f '( x ) = 12 x 2 ? 6 x cos θ ,令 f '( x ) = 0 ,得 x1 = 0, x2 = . 2 V(x) =
由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论. ① 当 cos θ > 0 时,随 x 的变化 f '( x ) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表:

4

x

(?∞, 0)
+ ↗

0

(0,


cos θ ) 2

cos θ 2
0 极小值

(
+

cos θ , +∞) 2

f '( x) f ( x)

0 极大值



cos θ cos θ 处取得极小值 f( ) ,且 2 2 cos θ 1 3 f( ) = ? cos3 θ + θ . 2 4 16 cos θ 1 3 3 要使 f ( ) > 0 ,必有 ? cos θ (cos 2 θ ? ) > 0 ,可得 0 < cos θ < . 2 4 4 2 3 π π 3π 11π 由于 0 ≤ cos θ ≤ ,故 < θ < 或 <θ < 2 6 2 2 6 ②当时 cos θ < 0 ,随 x 的变化, f '( x ) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表: x 0 (0, +∞ ) cos θ cos θ cos θ (?∞, ) ( , 0) 2 2 2 + 0 0 + f '( x) 极大值 极小值 f ( x) 3 因此,函数 f ( x)在x = 0 处取得极小值 f (0) ,且 f (0) = cos θ . 16 若 f (0) > 0 ,则 cos θ > 0 .矛盾.所以当 cos θ < 0 时, f ( x ) 的极小值不会大于零. 综 上 , 要 使 函 数 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内 的 极 小 值 大 于 零 , 参 数 θ 的 取 值 范 围 为 π π 3π 11π ( , )∪( , ). 6 2 2 6 cos θ (III)解:由(II)知,函数 f ( x ) 在区间 ( ?∞, +∞ ) 与 ( , +∞) 内都是增函数. 2 由题设,函数 f ( x)在(2a ? 1, a ) 内是增函数,
因此,函数 f ( x ) 在 x = 则 a 须满足不等式组

?2a ? 1 < a, ? ? 1 ?2a ? 1 ≥ 2 cos θ . ? π π 3π 11π 3 由(II) ,参数时 θ ∈ ( , ) ∪ ( , ) 时, 0 < cos θ < 。 6 2 2 6 2 1 3 4+ 3 要使不等式 2a ? 1 ≥ cos θ 关于参数 θ 恒成立,必有 2a ? 1 ≥ ,即 ≤a. 2 4 8 4+ 3 综上,解得 a ≤ 0 或 ≤ a < 1. 8 4+ 3 所以 a 的取值范围是 (?∞, 0) ∪ [ ,1) . 8

? 2 a ? 1 < a, 或 ? ?a ≤ 0.

20.解析: (1)∵ f ( x) = x 2 + x ? 1 , α , β 是方程 f(x)=0 的两个根 (α > β ) ,

5

?1 + 5 ?1 ? 5 ,β = ; 2 2 (2) f '( x) = 2 x + 1 ,

∴α =

an +1

1 1 5 an (2an + 1) + (2an + 1) ? 2 an + an ? 1 4 4 = an ? = an ? 2 2an + 1 2an + 1

5 1 1 = (2an + 1) + 4 ? , 4 2 an + 1 2

∵ a1 = 1 ,∴有基本不等式可知 a2 ≥ ∴ a2 >

5 ?1 5 ?1 > 0 (当且仅当 a1 = 时取等号) , 2 2

5 ?1 > 0, 2 5 ?1 5 ?1 同样 a3 > ,……, an > = α (n=1,2,……) , 2 2 (a ? α )(an ? β ) an ? β (3) an +1 ? β = an ? β ? n = (an + 1 + α ) , 2an + 1 2an + 1

而 α + β = ?1 ,即 α + 1 = ? β ,
an +1 ? β = ( an ? β ) 2 , 2 an + 1 (an ? α ) 2 , bn +1 = 2bn , 2an + 1

同理 an +1 ? α = 又 b1 = ln

1? β 3+ 5 3+ 5 = ln = 2 ln . 1? α 2 3? 5 3+ 5 . 2

Sn = 2(2n ? 1) ln

6


第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。单元综合测试三(第三章) 时间:90 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) ...

高三导数及其应用测试题及答案解析

高三导数及其应用测试题及答案解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 ...

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(详细答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应用》一、选择题 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取...

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(详细答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应用》一、选择题 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取...

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(详细答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学 《导数及其应用》一、选择题 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取...

《导数及其应用》章节测试题及答案

导数及其应用》章节测试题及答案_工学_高等教育_教育专区。导数的应用选修2-2 单元测试题一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题 1.函数...

第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题(答案)_数学_高中教育_教育专区。第一章导数及其应用测试题一、 选择题 1.设 y ? 1? x2 ,则 y ' ? ( sin x ). A. ?...

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(详细答案)_数学_高中教育_教育专区。高二数学(文) 《导数及其应用》复习题 一、选择题 1.函数 y=x2cosx 的导数为???【 A 】 A. y...

导数及其应用同步练习及答案

导数及其应用同步练习及答案_数学_高中教育_教育专区。第一章 导数及其应用 1....0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1. 当 0<x<1 时, V ?( x) ? ...

导数及应用试题及答案

导数及应用试题及答案_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应用》试题及答案一、...导数知识点归纳及应用 13页 免费 导数应用测试题及参考答... 7页 免费 ...