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2.5 独立重复实验与二项分布-王后雄学案

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张喜林制 2.5 独立重复试验与二项分布 教材知识检索 考点知识清单 1.独立重复试验是 的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 2.在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生 k 次的概率为 P(? ? k ) ? A 发生的次数是一个随机变量,其分布列为 ,记为 种结果,即要么发生,要么不 (p 为事件 A 发生的概率) ,事件 要点核心解读 1.n 次独立重复试验及其概率 一般地,由 n 次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立的状态,即 A 与 A, 每次试验中 P( A) ? p ? 0. 我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验,也称为伯努利试验, 如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率 为 k k Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k (k ? 0,1,2,?, n) ? ① [注意] (1)对独立重复试验而言: ① 每次试验是在同样条件下进行的; ②每次试验的结果是相互独立的; ③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生,并且在任何一次试验中,事件发生的概 率均相等. (2)在①式中,n 是独立重复试验的次数,p 是一次试验中某事件 A 发生的概率,k 是在 n 次独立重复 试验中事件 A 恰好发生的次数,只有弄清公式中,n,p,k 的意义,才能正确地运用公式. (续) (3)独立重复试验是相互独立事件的特倒,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好” 字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便. 2.二项分布 一般地,在 n 次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率均为 p(0 ? p ? 1), 即 P( A) ? p, P( A) ? 1 ? p ? q ? 由于试验的独立性,n 次试验中,事件 A 在某指定的 k 次发生,而在其 余(n 一 k 次不发生的概率为 p q k n?k k 又由于在 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的方式有 C n 种,所以由 概率的乘法公式可知,n 次试验中,事件 A 恰好发生 k (0 ? k ? n) 次的概率为 kk Pn (k ) ? Cn pqn?k , k ? 0,1,2,?, n, 它恰好是 (q ? p) n 的二项展开式中的第(k+1)项, 若随机变量 X 的分布列为 k k n ?k P( X ? k ) ? Cn p q , 其 中 0 ? p ? 1, p ? q ? 1, k ? 0,1,2,?, n, 则 称 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ( binomial distribution),记作 X ~ B(n, p) ? [注意] (1)两点分布与二项分布的区别与联系.在二项分布中,n 次独立重复试验每次试验的条件相 同,对每次试验来说,只考虑两个可能的结果,发生与不发生,或者说每次试验服从相同的两点分布. (2)二项分布是概率论中最重要的几种分布之一,在实际应用和理论分析中都有重要的地位. 判断一个随机变量是否服从二项分布, 关键有二:其一是独立性,即一次试验中,事件发生与不发生, 二者必居其一;其二是重复性,即试验独立重复地进行了 n 次. 3.独立重复试验与二项分布的应用及常见模型 (1)独立事件的概率、n 次独立重复试验的概率及二项分布是高考考查的重点内容.对这部分知识的考 查常与其他知识结合在一起,有一定的综合性.试题以中档

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