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湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理科)函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何测试卷

时间:2014-04-14


2014 届高三上数学测试题(13) (理科)
考查范围:函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何 命题人:张智
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 ,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.集合 A ? ?0,2, a?, B ? 1, a 2 ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16?,则 a

的值为 (B A.2 B.4 C.-2 D.-4

? ?

)

2.复数 z ? 1 ? i, 则 A.

?? ? 3.“ ? ? ? , ? ? ”是“方程 x2 ? y 2 cos ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线”的( A ) ?2 ? A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[答案]A(教材选修 2-1 P 80 页第 4 题改编)
4.设非零向量 a、 b、 c ,满足 | a |?| b |?| c | , | a ? b |?| c | ,则 sin ? a, b ? = ( A. ?

1 3 ? i 2 2

1 ? z ?D z 1 3 B. ? i 2 2

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

???

?

?

?

? ?

?

? ?

)

3 2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 【答案】 D.法一: 【解析】 ∵ | a ? b |?| c | ∴ | a ? b |?| c |?| a | , ∴解得:2a ? b ? ?b ? ? | b |2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 a ?b a ?b 1 ∴ cos ? a, b ?? ? ? ? ? 2 ? ? ∴ sin ? a, b ?? 法二:利用向量几何意义画图求解. 2 2 | a || b | | b |
B. C. ? D. 5. 已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0) 是圆 C : x ? y ? 1 内任意一点,点 P( x, y ) 是圆上任意一
2 2

1 2

1 2

3 2

点,则实数 ax ? by ? 1 ( A A.一定是负数 C.一定是正数

) B.一定等于 0 D.可能为正数也可能为负数

6.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
2013

?
2

) 的部分图像如图,



? f ( 6 ) ?(
n ?1

n?

) B.

A. ?1

1 2

C. 1

D. 0

6.【答案】C【解析】根据图像 得 1 ? sin(2 ?

), 6 2 6 6 ? 2? 1 3? 1 4? 5? 1 6? 1 f ( ) ? 1, f ( ) ? , f ( ) ? ? , f ( ) ? ?1, f ( ) ? ? , f ( ) ? , 6 6 2 6 2 6 6 2 6 2 函数的最小正周期是 ? ,在一个周期内的各个函数值之和为 0 , 2013 ? 6 ? 335 ? 3 , 2013 n? f ( ) ? f (2011) ? f (2012) ? f (2013) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 1 。 ? 6 i ?1
1

?

1 2? 5? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? 2 ,把点 ( ,1) 的坐标代入, 4 ? 12 6 6

? ? ) ,结合 ? ?

?

得? ?

?

,故 f ( x) ? sin(2 x ?

?

?kx ? 2, x ? 0 7.已知函数 f ( x) ? ? ? k ? R? ,若函数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则实 ?lnx, x ? 0
数 k 的取值范围是 D
A. k ? 2 B. ?1 ? k ? 0 C. ?2 ? k ? ?1 D. k ? ?2

? x ? 2 y ? ?2 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 2 y ? 3 , 若 x 2 ? 4 y 2 ? a 恒成立, 则实数 a 的最大值为( C ) ?x ? y ? 1 ?
A.

1 2

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

9. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于 半径为 3 的球, 则该棱柱体积的 ... 最大值为( )

2 3 3 3 B. 3 3 C. D. 6 3 3 2 9【答案】 B(教材选修 4-5 P 【解析】设该三棱柱的底面边长为 a ,高为 h , 10 页第 14 题改编)
A.

a a ? a ? ?h? 则底面正三角形的外接圆半径是 ,依题意有 ? ? ? ?? ? ? ? 2sin 60 3 ? 3? ?2?

2

2

? 3?

2

,即

a 2 a 2 h2 a 2 a 2 h2 a 2 h2 a 2 h2 ? ? ,当且仅当 ? ? 1 ,1 ? ? ? ? 3 3 ? ,即 a ? 6 ,h ? 2 18 18 12 18 18 12 9 12 18 12 3 2 3 时取等号,此时 a 2 h 取得最大值,因此该棱柱的体积 a h 的最大值是 ? 6? 2 ? 3 3 . 4 4 10.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB ? CD ,且 AB ? 2CD ,设 ? ? DAB = ? , ? ∈(0, ),以 A, B 为焦点且过点 D 的双曲线 2 的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 , 设 e1 ? f (? ), e1e2 ? g (? ),则f (? ), g (? ) 的大致图像是( D )

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 ....... 11. 已知 sin(? ?

?

3 ) ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 cos 2? ? 4 5

24 25



2

12.圆 C1 的方程为 ( x ? 3) ? y ?
2 2

4 ,圆 C2 的方程 25 1 ( x ? 3 ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? (? ? R) ,过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、 25
12.解析:圆 C2 的圆心的轨迹方程是 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1,当∠MPN 取最大值时,是 P 点

PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 最大值为_____________.

4 2 ? , r1 ? ,所以 ?MPN ? . 5 5 3 0 13.在直角三角形 ABC 中, ?A ? 90 ,过 A 作 BC 边的高 AD , 1 1 1 ? ? 有下列结论 。请利用上述结论,类似 2 2 AD AB AC 2 地推出在空间四面体 O ? ABC 中,若 0 A ? OB, OA ? OC, 1 1 1 1 OB ? OC , O 点到平面 ABC 的高为 OD , ? ? ? 则 2 2 2 OD OA OB OC 2
距离圆 C1 上的点的距离最小的时候,此时 d ?

.

14. 某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两 夹角为 120° ;二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来

1 的线段;且这两条线段与原线段两两夹角为 120° ; ? ;依次规律得到 n 级分形图. 3
则(1) n 级分形图中共有 条线段. ( 2 ) n 级分形图中所有线段长度之和 为 .

14.[ 答 案 ] ( 1 )

3 ? 2n ? 1? ;( 2 )

? ? 2 ?n ? (1)记 n 级分形图 9 ?1 ? ? ? ? ,依题意, 3 ? ? ? ? ? ?
中共有 an 条线段,则有 a1 ? 3 , ? , an ? an?1 ? 3 ? 2n?1 ,由累加法得

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?? (an ? an?1 ) ? 3(1 ? 2 ? ?? 2n?1 ) ? 3 ?
(2) n 级分形图中所有线段的长度和等于
n

1 ? 2n ? 3(2n ? 1) 1? 2

?2? 3 ?1 ? ? ? ? 3 n ?1 ? ? 2 ?n ? 1 ?1? ?3? ? 9 ?1 ? ? ? ? 3 ?1 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 3 ? 2n?1 ? ? ? ? 2 3 ? 3? ? ? ?3? ? ? 1? 3
(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(几何证明选讲)如图 3,圆 O 的半径为 1, A 、 B 、 C 是圆周上的三点,满足 ?ABC ? 30? , 过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ,则 PA ? __________.

3

15. 3

解析: 3 .连接 OA ,则 ?AOC ? 60? , ?OAP ? 90? ,因为 OA ? 1 ,所以 PA ? 3 .

16. (坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线

? x ? 2t ? l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ,则 4 ? y ? 1 ? 4t
直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 16.

2 30 5



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知
2

? ? a ? (5 3 cos x ,cos x ), b ? (sin x , 2cos x ), 设 函 数
0 0

? ? ? 3 ? ? ? ? )当 x ? [ , ] ,求函数 f ( x) 的的值域; (Ⅱ )当 x ? [ , ] 时, f ( x) ? a ? b? | b |2 ? . (Ⅰ 2 6 2 6 2
若 f ( x ) =8, 求函数 f ( x ?

?

7

12

) 的值;
0 1

? ? ? 3 3 解: (Ⅰ ) f ( x ) ? a ? b ? | b |2 ? ? 5 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 4cos 2 x ? sin 2 x ? …2 分 2 2
2 6

? 5 3 sin x cos x ? 5cos 2 x ?
4分

5 5 1 ? cos 2 x 5 ? ? 3 sin 2 x ? 5 ? ? ? 5sin(2 x ? ) ? 5 …… 2 2 2 2 6

7? 1 ? ,? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ……5 分 6 2 2 6 6 2 6 ? ? 5 ……………6 分 ? ? x ? 时,函数 f ( x ) 的值域为 [ ,10] 6 2 2 ? ? 3 ? ? ? ? 7? (Ⅱ ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ? 5 ? 8, 则 sin(2 x ? ) ? , ? x ? , 得 ? 2 x ? ? ; 2 2 6 6 6 6 5 6 ? 4 所以 cos(2 x ? ) ? ? , ………8 分 6 5


?

? x?

?

,得

?

? 2x ?

?

?

f (x ?

?
12

) = ? 5sin 2 x ? 5 ? 5sin(2 x ?

?

? 3 3 ? )?5 ? ? 7. 6 6 2

…………12 分

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 边 a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边, 且满足 b cos C ? (3a ? c) cos B .
4

(Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值. 18.解:(Ⅰ)由正弦定理和 b cos C ? (3a ? c) cos B ,得

??? ? ??? ?

sin B cos C ? (3sin A ? sin C ) cos B , 化简,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B , (B ? C) ? 3sin A cos B , 即 sin 故 sin A ? 3sin A cos B .
因为 sinA≠0,

1 . ………………………………………………………6 分 3 ??? ? ??? ? (Ⅱ )因为 BC ? BA ? 4 ,
所以 cos B = 所以 BC ? BA ?| BC | ? | BA | ? cos B ? 4 . 所以 BC ? BA ? 12 ,即 ac ? 12 . 又因为 cos B =
2

??? ? ??? ?



a 2 ? c2 ? b2 1 ? , 2ac 3
2

整理,得 a ? c ? 40 .



?a 2 ? c 2 ? 40, 联立① ② ? , ?ac ? 12,
解得 ?

?a ? 2, ?a ? 6, 或? ………………………………………………………12 分 c ? 6 , c ? 2 . ? ?
1 1 , an ?1 ? (n ? N *) 2 2 ? an

19. (本题满分14分)数列 {an } 满足 a1 ?

(Ⅰ )求证: {

1 } 为等差数列,并求出 {an } 的通项公式; an ? 1

(Ⅱ )设 bn ?

m 1 成立,求整 ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,对任意 n ? 2 都有 B3n ? Bn ? 20 an

数 m 的最大值. 19. 解 : ( 1 ) an ?1 ?

1 2 ? an

1 ? an ? 1

1 1 ?1 2 ? an

?

2 ? an 1 ? ?1 ? an ? 1 an ? 1



1 ? ?1 an ?1 ? 1 an ? 1 ? 1 1 =-2+ ( n-1 ) ×( -1 ) =- ( n+1 ) } 为 首次为 -2 , 公差 为 -1 的等差 数列 ∴ an ? 1 an ? 1
5

1

∴{

∴an ?

n n ?1 n ?1 1 1 1 1 (2) bn ? ? 1 ? 令 Cn ? B3n ? Bn ? ? +? + n n n ? 1 n+2 3n

∴Cn ?1 ? Cn ? =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? +? + ? ?? ? = ? ? + ? n ? 1 3n +2 3n+3 3n+1 n ? 2 n +3 3(n+1) n ? 1 3n

1 2 1 2 2 ∴ Cn+1-Cn>0 ∴ {Cn}为单调递增数列 ? ? ? ?0 3n +2 3n+3 3n+1 3n+3 3n+3 1 1 1 1 19 m 19 ∴( B3n ? Bn ) min ? B6 ? B2 ? ? ? ? ? ∴ ∴ m<19 又 m ? N ? ∴ m 的最大值 ? 3 4 5 6 20 20 20
为 18 20. (本题满分 14 分)等边三角形 ABC 的边长为 3 ,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点, 且满足

AD CE 1 .将 △ ADE 沿 DE 折起到 △ A1 DE 的位置,使二面角 ? ? (如图 1 ) DB EA 2
A

A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如
图 2) . (Ⅰ )求证: A1 D ? 平面 BCED ; (Ⅱ ) 在线段 BC 上是否存在点 P , 使直线 PA1 与 平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出 PB 的 长,若不存在,请说明理由. B D

A1

E C B 图1

D E C 图2

20. 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? ? ,所以 AD ? 1 , AE ? 2 . DB EA 2
2 2 ?

在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE , 所以 AD ? DE . 折叠后有 A1 D ? DE . 因为二面角 A1 ? DE ? B
2 2 2

是 直 二 面 角 , 所 以 平 面 A1 DE ? 平 面 BCED . 又 平 面 A1 DE ? 平 面

BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE ,所以 A1 D ? 平面 BCED .
(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的

A1

D 角为 60 .如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P .
?

E H B P C

由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED ,所以 A1 D ? PH .又
6

A1 D ? BD ? D ,所以 PH ? 平面 A1 BD .
所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角. 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ?

x , 2

PH ?

3 1 x .在 Rt △ PA1 H 中, ?PA1 H ? 60? ,所以 A1 H ? x . 在 Rt △ A1 DH 中, 2 2

1 A1 D ? 1 , DH ? 2 ? x . 2 5 1 ? ?1 ? ? 由 A1 D ? DH ? A1 H ,得 1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? .解得 x ? ,满足 0 ? x ? 3 ,符合 2 2 ? ?2 ? ?
2 2 2

2

2

2

题意. 所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? 解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立 空间直角坐标系 D ? xyz 如图.设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? ,则 BH ? a , D B x H P C E y

5 . 2

z

A1

PH ? 3a , DH ? 2 ? a .
所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .

?

?

?

?

所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .因为 ED ? 平面 A1 BD ,所以平面 A1 BD 的一个法向量为

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE ???? DE ? 0, 3, 0 .因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,所以 sin 60? ? ???? ???? PA1 DE

?

?

?

3a 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3

?

3 5 , 解得 a ? . 4 2

5 , 满足 0 ? 2a ? 3 , 符合题意. 所以在线段 BC 上存在点 P , 使直线 PA1 与 2 5 平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? . 2 21.(本题满分 13 分)
即 PB ? 2a ?

x2 y2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , a b 2

y
C

(2,2) 且过点 .
(1)求椭圆的标准方程;
7
D A O

B

x

第 20 题图

(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若
k AC ? k BD ? ? b2 , a2

(i) 求 OA ? OB 的最值. (ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值; 21. 解:(1)由题意 e ?
4 2 c 2 , 2 ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? a b a 2

解得 a 2 ? 8, b2 ? 4 ,椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m 联立 ? 2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx? 2m2 ? 8 ? 0 2 ?x ? 2 y ? 8
2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

----------①

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?
? kOA ? kOB ? ? b2 1 ?? 2 a 2
? y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2

=k2

2m 2 ? 8 ? 4km m2 ? 8k 2 2 ? km ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ?? ? ? ?(m2 ? 4) ? m2 ? 8k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
? 4k 2 ? 2 ? m2

(i) OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2

8

?

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? ? ?? ? ? ?? ?? 2 ?2 ?4 O ?A O ?B ? 2
当 k=0(此时 m 2 ? 2 满足① 式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA? OB 的最小值为-2.
??? ? ??? ? 又直线 AB 的斜率不存在时 OA ? OB ? 2 ,所以 OA ? OB 的最大值为 2.

(ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 ? ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 m2 m2

? S四边形ABCD ? 4S?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值 1 ? ? 22.已知 f ( x) ? (1 ? x) (1 ? ) (? ? 0, ? ? 0, x ? 0) 。 x
(1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若 y ? 0 ,求证: (

? ??

)? ? ? ? ( )? ( ) ? ; x? y x y

?

?

(3)若 ?1 , ?2 ,?, ?n , ?1, ?2 , ?, ?n 均为正数,求证:

(

?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ?? ) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n
1

2 ???? n

?(

? ?1 ? ? 2 ? ) ? ( ) ??( n )? ?1 ?2 ?n
1 2

n

9

10


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