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2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(2)

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良乡中学数学组 任宝泉

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,老 来 么 也 崖 学 作 舟

普通高中课程标准数学2-1(选修)

第二章 圆锥曲线与方程

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程 研究曲线的性质(2)
良乡中学数学组 制作:任宝泉

2012年7月31日

一、复习引入
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue

1.曲线的方程和方程的曲线的概念: 在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 F(x,y)=0的实数解满足下列关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 这个方程叫做曲线的方程;这个曲线叫做方程的曲线。 根据已知条件,求出表示平面曲线的方程 2.解析几何 通过方程,研究平面曲线的性质 Bqr6401@126.com

二、提出问题
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如何建立曲线的方程?如何利用方程研究 曲线的性质?
曲线 满足某种条件的点的集合或轨迹。 (x,y) 坐标法 F(x,y)=0

借助坐标系研究几何图形的方法。

数形结合的完美体现!!!
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三、概念形成
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概念1.利用方程研究曲线的性质
例子:以方程|x|·|y|=1为例进行研究。 利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面进行 1.曲线的组成和范围: 研究所求曲线是由那些基本曲线组成的。在某些情况下可 以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围。
方程|x|·|y|=1 1.曲线的组成和范围 由方程|x|·|y|=1可知,此曲线方程可转化为xy=1或xy=-1 即由 y ?

1 x



y ? ?

1 x

所表示的曲线组成。
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由方程可知其存在范 围是x≠0,y≠0。

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三、概念形成
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概念1.利用方程研究曲线的性质
例子:以方程|x|·|y|=1为例进行研究。 利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面进行 2.曲线与坐标轴的交点: 研究所求曲线与坐标轴是否相交,如果相交,求出交点坐 标,因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点。
方程|x|·|y|=1 2.曲线与坐标轴的交点 由方程|x|·|y|=1可知,此曲线与x轴,y轴无交点。 因为方程组:?
? | x | ? | y |? 1 ?y ? 0 ? | x | ? | y |? 1 ?x ? 0
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或 ?

无解。

这说明方程对应的曲 线被两坐标轴分开。
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三、概念形成
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概念1.利用方程研究曲线的性质
例子:以方程|x|·|y|=1为例进行研究。 利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面进行 3.曲线的对称性: 研究所求曲线是否具有对称性,对绘制曲线提供帮助。体 现着图形的美学价值。
方程|x|·|y|=1 3.曲线的对称性 在方程|x|·|y|=1中,以-x代替x,这个方程并未改变,因 方程的图象关于y轴对称; 在方程|x|·|y|=1中,以-y代替y,这个方程并未改变,因 方程的图象关于x轴对称; 在方程|x|·|y|=1中, 以-x代替x,同时以-y 代替y,这个方程并未 改变,因此方程的图象 关于原点对称; 经过以上分析,这个方 程所表示的曲线既是轴 对称又是中心对称图 形。
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想一想,为什么?

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三、概念形成
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概念1.利用方程研究曲线的性质
例子:以方程|x|·|y|=1为例进行研究。 利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面进行 4.曲线的变化情况: 研究所求曲线的变化趋势,y随x的增大而增大或减小的变 化情况。
方程|x|·|y|=1 4.曲线的变化情况 由曲线的对称性,我们只考虑第一象限的情况(x>0,y>0)。 由方程可知 当变量x逐渐增大时,变量y的值逐渐减小,曲线无限地靠近 x轴;当变量x逐渐变小时,变量y的值逐渐增大,曲线无限 靠近y轴。
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1

实质上,x,y轴是曲线 的渐近线。

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三、概念形成
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概念1.利用方程研究曲线的性质
例子:以方程|x|·|y|=1为例进行研究。 利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面进行 5.画出方程的曲线: 根据方程画出曲线的大致形状,在画曲线时应充分利用前 面研究的性质,通过描点及对称性进行绘图。
方程|x|·|y|=1 5.画出方程的曲线 列表

x y

… …

1 3

1 2

1 1

2
1 2

3
1 3

… …

3

2

5

4

3

根据列表画出第一象限 的大致图像,再根据对 称性画出方程表示的整 个曲线。

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四、应用举例
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例1.已知两个定点A,B的距离为6,动点M满足 ???? ???? M A ? 2 M B ? ? 1 ,求点M的轨迹方程并根据方程研究曲线 的性质。
例1.已知两个定点A,B的距离为6,动点M满足 M A ? 2 M B ? ? 1 求点M的轨迹方程并根据方程研究曲线的性质。 取A、B的中点为坐标原点,AB所在直线 为x轴建立直角坐标系,如图所示, 设动点M(x,y),A(-3,0),B(3,0)
S1:建立直角坐标系, 设动点坐标: S2:写约束条件

????

????

???? ???? S3:列方程 依题意有 P ? { M | M A ? 2 M B ? ? 1} S4:化简 ???? ? M A ? ( ? 3, 0) ? ( x , y ) ? ( ? 3 ? x , ? y ) S:证明: ???? 2 M B ? 2[(3, 0) ? ( x , y )] ? (6 ? 2 x , ? 2 y ) y ???? ???? M ( x, y ) ? M A ? 2 M B ? ( ? 3 ? x , ? y ) ? (6 ? 2 x , ? 2 y )

? 2 x ? 2 y ? 18 ? ? 1 17 2 2 化简得 x ? y ? 。 2
2 2

A

B

x

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四、应用举例
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例2.过点P(2,4)作直线 l ? l , 交x轴于点A,l l1 1 2 2 于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程。

交y轴

例2.过点P(2,4)作直线 l1 ? l 2 ,1 交x轴于点A,l 2 l 于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程。 解法一(参变量法):设M(x,y),则: 若 l1 的斜率不存在,则A(2,0),B(0,4),所以M(1,2); 若 l1 的斜率存在,可设 由方程可得:
A(2 ? 4 k , 0 ), B ( 0 , 4 ? 2 k ) l 1 : y ? 4 ? k ( x ? 2 ), l 2 : y ? 4 ? ?
? ?x ? 1? k ? ? ?y ? 2? 1 ? k ? 2

交y轴

例2.过点P(2,4)作直线 l1 ? l 2 ,1 交x轴于点A,l 2 l 于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程。 解法二(向量法):设M(x,y),则: 则A(2x,0),B(0,2y);
??? ? ??? ?

交y轴

例2.过点P(2,4)作直线 l1 ? l 2 ,1 交x轴于点A,l 2 l 于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程。 解法三(轨迹法):设M(x,y),则:

交y轴

1 k

由图可知:MP与MO分别是Rt⊿ABP与Rt⊿ABO的斜边中线,因此 有|MP|=|MO|。 所以
( x ? 2) ? ( y ? 4) ?
2 2

( x ? 2)

又 P A ? ( 2 x ? 2, ? 4 ), P B ? ( ? 2, 2 y ? 4 ) 由题意可得
??? ??? ? ? PA ? PB ? 0

x ? y
2

2

y
B

l1

l2

y
B(0,2y)

l1



P(2,4) M(x,y)

( 即: 2 x ? 2, ? 4 ) ? ( ? 2, 2 y ? 4 ) ? 0 ? 2( 2 x ? 2 ) ? 4( 2 y ? 4 ) ? 0

l2

化简得: 点M的轨迹方程为x+2y-5=0。

y
B

l1

l2

P(2,4) M(x,y)

P(2,4) M(x,y)

由方程组消去k得x+2y-5=0。
O

A

x

化简得x+2y-5=0。

O

A(2x,0)

x

O

A

x

参变量法

向量法

轨迹法

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五、课堂练习
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课本第38页,练习A,1,2,3

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六、课堂总结
普 通 高 (1)利用方程研究曲线的性质主要从以下几个方面研究: 中 1.曲线的组成和存在范围:根据方程探讨曲线的基本形状 课 和图像的存在范围(横纵坐标的取值范围); 程 2.曲线与坐标轴的交点:根据方程探讨曲线与坐标轴的交点 标 即与y=0(x轴)、x=0(y轴)的交点,从而确定关键点的位置; 准
3.曲线的对称性:研究所求曲线是否具有对称性,对绘制 曲线提供帮助。体现着图形的美学价值; 4.曲线的变化情况:研究所求曲线的变化趋势,y随x的增 大而增大或减小的变化情况; 5.画出方程的曲线:方程的直观表述。 Bqr6401@126.com
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七、布置作业
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课本第38页,练习B,1,2,3

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下课
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