nbhkdz.com冰点文库

高三训练题-数列的通项与求和(附答案)


高三训练题-数列的通项与求和 1. 已知数列 ?a n
A. n 2 ? 1

?中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? 2an ?1 ? 1 ,则 an ? (
B. n 2 ? 2n ? 2 C. 2n ? 1



D. 2n ?1 ? 1

2. 设 数 列

{a n } 的 通 项 公 式 an ?
( A. )

1 1 1 1 , 那 么 a n ?1 ? a n 等 于 ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n
1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2 1 * 3. 已 知 数 列 ?an ? 对 于 任 意 m, n? N , 有 am ? an ? am , 若 a1 ? , 则 a40 等 于 ? n 4
B. C. D. ( A.8 ) B.9 C.10 D.11

1 2n ? 1

1 2n ? 2

4. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?2010 ,
A. ?2008 B. ?2012 C.2008

S 2011 S 2008 ? ? 3 ,则 a2 ? ( 2011 2008
D.2012



5. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? A.
2 5

2an , (n ? N ? ) ,则 a5 ? ( an ? 2

) D.
1 2

B.

1 3

C.

2 3

6. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n , 第 k 项满足 5 ? ak ? 8 , 则 k 等于( A. 6 B.7 C.8 D.9



7. 已知正项数列 {an } 为等比数列且 5a2 是a4 与3a3 的等差中项,若 a2 ? 2 ,则该数列的前
5 项的和为 A. ( )

31 33 B.31 C. D.以上都不正确 4 12 8. 设数列 {an } 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, {bn } 是以 1 为首项,2 为公比的等比
数列,则 ab 1 ? ab2 ? … ? ab10 ? A.1033 B.1034 ( ) C.2057 D.2058

9.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的 前 n 项和 Sn=( n2 7n A. 4 + 4 ). n2 5n B. 3 + 3 n2 3n C. 2 + 4 D.n2+n

?Sn? 10.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 Sn,则数列? n ?的前 ? ?

10 项的和为( A.120 C.75

). B.70 D.100

? 11 . (2012 上海理)设 an ? 1 , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1 , S2 ,?, S100 中,正数的个 sin n n 25

数是 A.25.

( B.50. C.75. D.100.



12. (2012 大纲理)已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ?

?

1 ? ?的 a a ? n n ?1 ?
( )

前 100 项和为 A.

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

二、填空题

(每题 4 分,总计 16 分)
1 2 2 n ? n ? 3 ,则这个数列的通项公式为_______ 4 3

13. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ?

14. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 1 则数列的通项公式 an ? _____

? 59 ,n ?1 ? ?2, n ? 1 13. a n ? ? 12 14. an ? ? 6n ? 5 ?2n ? 1.n ? 1 ? ,n ?1 ? 12
15 (2012 江西文) 等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,公比不为 1。 若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N
*

都有 an? 2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S 5 ? _________________。

16. (2012 新课标理)数列 {a n } 满足 an ?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 _______
17.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,

?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 ?5?
18. (2012 江西理)已知数列{an}的前 n 项和 Sn

1 ? ? n2 ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

(1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

18、 【解析】

1 2 1 1 n ? kn 取 最 大 值 , 即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 故 2 2 2 9 7 9 k ? 4 ,从而 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n (2) 因为 bn ? ? n?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
解 : (1) 当 n ? k ? N 时 , Sn ? ?
?

【点评】 本题考查数列的通项,递推、 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

? S1 ( n ? 1), 来实现 an 与 S n 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 S ? S n n ? 1 ?

意 an ? Sn ? Sn ?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减 法求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列. 19.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 4, n ? 1, ? ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 ?5?

考向三

裂项相消法求和

20. (2012 天津理)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 S n ,{ bn }是等比数列,且 a1 =

b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an ?1b2 +? +anb1 , n ? N + ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N + ) .

20、 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前 n 项和公

式、 数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、 推理论证的能力. (1) 设 等 差 数 列 ? an ? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由条件得方程组 ? ,故 ?? 3 q ? 2 ? ? 8 ? 6 d ? 2 q ? 10 ? ?
3

an ? 3n ? 1, bn ? 2n (n ? N * )
( 2 )

Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n?1 ? n?2 ? n?1 ? cn ? cn?1 n ?1 2 2 2 2
Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ? ? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn ?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ? 12 ? Tn ? 12 ? 10bn ? 2an

a a2 ? ? ? nn ) 2 2 ?1

【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用, 但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空 间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.

1? ? 21 在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n=an?Sn-2?. ? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn= Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1
? n?

?1? [审题视点] 第(1)问利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)后,再同除 Sn-1· Sn 转化为?S ?的等差

数列即可求 Sn. 第(2)问求出{bn}的通项公式,用裂项相消求和. 1? ? 解 (1)∵S2 n=an?Sn-2?,an=Sn-Sn-1(n≥2), ? ? 1? ? ∴S2 n=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, ? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意 Sn-1· Sn≠0, 1 1 ①式两边同除以 Sn-1· Sn,得S - =2, n Sn-1
?1? 1 1 ∴数列?S ?是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列. S1 a1 ? n?

1 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . 2n-1 n (2)又 bn= Sn 1 = 2n+1 ?2n-1??2n+1?

1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ? ? ∴Tn=b1+b2+…+bn

1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 =2??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1? n =2?1-2n+1?= . ? ? 2n+1 22(2011· 辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? ? an ? ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? ?

[审题视点] 第(1)问列出关于首项 a1 与公差 d 的方程组可求解;第(2)问观察数列
? an ? ? ? ? n-1?的通项采用错位相减法. ?2 ? ? ?



?a1+d=0, (1)设等差数列{an}的公差为 d ,由已知条件可得 ? 解得 ?2a1+12d=-10,

?a1=1, ? ?d=-1. 故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? ? an ? ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ? ? ?

an 2-n 1 n ∵ n-1= n-1 = n-2- n-1, 2 2 2 2 1 1 1 ? ? 2 3 n ? ? ∴Sn=?2+1+2+22+…+2n-2?-?1+2+22+…+2n-1?. ? ? ? ? 2 3 n 记 Tn=1+2+22+…+ n-1, 2 1 1 2 3 n 则2Tn=2+22+23+…+2n, 1 1 1 1 n ①-②得: Tn=1+ + 2+…+ n-1- n, 2 2 2 2 2 1 1-2n 1 n ∴2Tn= - 1 2n. 1-2 1? n ? 即 Tn=4?1-2n?- n-1. ? ? 2 ① ②

? ?1? ? 2?1-?2?n? 1? ? ? ?? n ? ?1-2n?+ n-1 ∴Sn= 1 -4? ? 2 1-2 1? 1? n ? ? =4?1-2n?-4?1-2n?+ n-1 ? ? ? ? 2 = 2
n-1.

n


高三训练题-数列的通项与求和(附答案)

高三训练题-数列的通项与求和(附答案)_数学_高中教育_教育专区。高三训练题-数列的通项与求和 1. 已知数列 ?a n A. n 2 ? 1 ?中, a1 ? 1 ,当 n ...

高三数学专项练习05、06(等差等比数列及数列的通项与求和)

等差等比数列练习题(含答案... 8页 免费 求数列通项公式与数列求和... 6页...高三数学专项训练 高三数学专项练习 高三数学专项练习 5 专项练 (等差数列、等比...

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列...2 答案: an ? 3 ? ( ) 2 an ,求其通项公式。 3 2 3 n ?1 练习:...

高三第二轮复习专题测试题(8)(数学-数列的通项与求和)

高三第二轮复习专题测试题(8)(数学-数列的通项与求和) 隐藏>> 第8讲 1.已知函数 f ( x) ? ? 数列的通项与求和 ? 2 ?n (当n为奇数时) 且 an ? ...

【精品】高考数学专题训练-数列通项与求和

【精品】高考数学专题训练-数列通项与求和 隐藏>> 数列通项与求和李贸易版权所有,不得转载 (一)基本知识点 1、数列通项的求法 (1)、猜想法:先求出数列的前...

数列求和方法复习及练习题与答案

数列求和方法复习及练习题与答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。该资料是学习数列求和方法的好资料,并附有针对性练习题答案,欢迎广大师生使用数列...

高三年级数学扩优训练题(六)——数列的通项与求和

高三年级数学扩优训练题(六)——数列的通项与求和高三年级数学扩优训练题(六)——数列的通项与求和隐藏>> 武汉市第四十九中学 2008 届高三文科数学 高三年级数...

数列求和与求通项专题复习(含答案)

数列求和与通项专题复习(含答案)_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。重庆...2 1 1 1 1 1 1 【训练 2】 求和 Sn=1+?1+2?+?1+2+4?+…+?1+...

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。全面包括数列通项的各种方法,练习题答案解析全面 盛阳教育 SHENG YANG EDUCATION 高中...

高考数学单元复习测试题28-数列的通项与求和

高考数学单元复习测试题28-数列的通项与求和_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时训练 19 数列的通项与求和 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟....