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2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(1)

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良乡中学数学组 任宝泉

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,老 来 么 也 崖 学 作 舟

普通高中课程标准数学2-1(选修)

第二章 圆锥曲线与方程

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程 研究曲线的性质(1)
良乡中学数学组 制作:任宝泉

2012年7月31日

一、复习引入
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue

1.曲线的方程和方程的曲线的概念: 在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 F(x,y)=0的实数解满足下列关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 这个方程叫做曲线的方程;这个曲线叫做方程的曲线。 根据已知条件,求出表示平面曲线的方程 2.解析几何 通过方程,研究平面曲线的性质 Bqr6401@126.com

二、提出问题
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如何建立曲线的方程?如何利用方程研究 曲线的性质?
曲线 满足某种条件的点的集合或轨迹。 (x,y) 坐标法 F(x,y)=0

借助坐标系研究几何图形的方法。

数形结合的完美体现!!!
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三、概念形成
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概念1.求曲线的方程的一般步骤
例子:设A、B两点的坐标是A(-1,-1)、B(3,7),求线段AB的 垂直平分线方程。

利用求直线方程方法
例1.设A、B两点的坐标是A(-1,-1)、B(3,7),求线段AB的垂直 平分线方程。 法一: 解:∵ 运用现成的结论──直线方程的知识来求. y
k AB ? 7 ? ( ? 1) 3 ? ( ? 1) ?2

利用求轨迹方程方法
例1.设A、B两点的坐标是A(-1,-1)、B(3,7),求线段AB的垂直 平分线方程。 法二:
我们的目标就是要找x与y的关系式 运用求轨迹方程的方法──一般性求法 先找曲线上的点满足的几何条件 将几何条件坐标化 将方程式化简

B
1 2

解:设M(x,y)是线段AB的垂直 平分线上的任一点, 则|MA|=|MB|, 所以:
( x ? 1) ? ( y ? 1) ?
2 2

y M

B

∴所求直线的斜率

k ?

又∵线段AB的中点坐标 是
( ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 2 2

即(1,3) 0 A x

( x ? 3) ? ( y ? 7 )
2

2

∴线段AB的垂直平分线的方程为
y?3? ? 1 2 ( x ? 1)

x ? 2 x ? 1 ? y ? 2 y ? 1 ? x ? 6 x ? 9 ? y ? 14 y ? 49
2 2 2 2

即x+2y-7=0

所以 x ? 2 y ? 7 ? 0

0 A

x

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三、概念形成
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概念1.求曲线的方程的一般步骤
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的 曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种 方法有一般性。
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:

1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(x,y);
2.写出适合的约束条件P的几何点集: P={M|P(M)}; 3.用坐标表示条件P(M),列出方程F(x,y)=0; 4.化简方程F(x,y)为最简形式; 5.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上(查漏除 杂)

以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化。 Bqr6401@126.com

四、应用举例
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例1.设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1,求 动点M的轨迹方程。

例1.设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1,求动 点M的轨迹方程。 取两条互相垂直的直线为坐标轴,建立 平面直角坐标系xOy,如图所示, 设动点M(x,y) 过点M分别作x轴,y轴的垂线,垂足分 别为E,F。所以有 P={M||ME|· |MF|=1} 因为|ME|=x,|MF|=y,所以点M的轨迹 方程为|x|· |y|=1。 化简得xy=1或xy=-1 请同学们试着画出此方程图形表示的图形。
S1:建立直角坐标系, 设动点坐标: S2:写约束条件 S3:列方程 S4:化简 S:证明:

F E

M ( x, y )

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四、应用举例
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例2.已知一条直线 l 和它上方的一个点F,点F到 l 的距离是 2。一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到F的距离减去 到 l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方 程. 分析:建立坐标系时,要充分利用已知条件中的定点、定直 线,使问题中的几何特征显现出来,从而使曲线方程的形式 更简单。
例2.已知一条直线 l 和它上方的一个点F,点F到 l 的距离是2。 一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到F的距离减去到 l 的 距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 解:建立如图所示的坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y) 作MB⊥x轴,垂足为B,则点M属于 P ? { M || M F | ? | M B |? 2} 即
x ? ( y ? 2) ? y ? 2①
2 2

将①式移项平方化简得 y ?

1

y

x

2

8 因为曲线在x轴上方,所以y>0. 虽然原点O的坐标(0,0)是这个方 程的解,但不属于已知曲线
所以曲线的方程应是 y ?
1 8 x ( x ? 0)
2

.M(x,y)

F.(0,2)
O

B

x

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四、应用举例
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课堂检测 (1)求到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程。 (2)已知点M到x轴的距离和到点F(0,4)的距离相等,求点M 的轨迹方程。 (3)已知两点A(2,0),B(-2,0),P到A的距离是它到B的距离的 2倍,求点P的轨迹方程.

(1 ) x ? y
2

2

? 4

(2) x

2

? 8 x ? 16
2 2

( 3 )( x ? 6 ) ? y
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? 32

五、课堂练习
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课本第38页,练习A,1,2,3

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六、课堂总结
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(1)求曲线方程的一般步骤: 1.建系:建立适当的坐标系,用 M(x,y) 表示曲线上任意 一点; 2.几何列式:写出满足条件的点M的集合{M|P(M) }; 3.代数方程:将M点坐标(x,y)代入几何条件,列出方 程F(x,y) =0; 4.化简:化方程为最简形式; 5.证明:验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的 轨迹。 Bqr6401@126.com

六、课堂总结
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(2)求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使过程变 得简洁。(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当困难的, 这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分析,会更容易发现 问题中的代数关系,从而列出方程。(相关点坐标分析法, 代入法)

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七、布置作业
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课本第38页,练习B,1,2,3

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下课
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