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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第五章 第五节 数列的综合问题重点精选课件 文

时间:2014-09-04


第五节

数列的综合问题

考 纲 展 示
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或 等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关一:了解考情,熟悉命题角度
【考情分析】
数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点,多为解答

>
题,难度偏大,属中高档题.

【命题角度】
高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度: (1)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;

(2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题
闯关二:典题针对讲解——以数列为载体考查不等式的恒成立问题
[例] (2013·江西高考)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:
2 2 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 2 2 n +2 a n

证明:对于任意的 n∈N*,都有 Tn<

5 . 64

2 2 2 解:(1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得[Sn-(n +n)](S n+1)=0.

由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n.于是 a1=S1=2, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n. 1 1 - n+1 n+1 1 n2 2 n + 2 (2)证明:由于 an=2n,故 bn= = = . 2 2 2 2 16 n+2 an 4n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= 1- 2+ 2- 2+ 2- 2+…+ - + - 16 3 2 4 3 5 n-1 2 n+1 2 n2 n+2 2 1 1 1 1 - 1 + 1 1+ 2- 1 5 2 n+1 2 n+2 2 < = 22 = . 16 16 64

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关三:总结问题类型,掌握解题策略
数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略 (1)数列与不等式的恒成立问题. 此类问题常构造函数,通过函数的单调性、极值等解决问题. (2)与数列有关的不等式证明问题. 解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、 综合法、分析法、放缩法等.

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1.已知函数 f(x)=ln x-x,数列{an}满足 a1= ,an+1=
1 2 1 . 2-an (1)求证:f(x)≤-1; 1 (2)证明数列 an-1 为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (3)求证不等式 a1+a2+…+an<n+ln 2-ln(n+2).

1-x 1 证明:(1)令 g(x)=f(x)+1=ln x-x+1,g′(x)= -1= , x x 当 0<x<1 时,g′(x)>0,当 x>1 时 g′(x)<0,故 g(x)在 x=1 处取得极大值, 也是最大值,所以 g(x)≤g(1)=0,故 f(x)≤-1. an-1 1 1 1 1 (2)因为 an+1= ,∴an+1-1= -1= ,∴ = -1, 2-an 2-an an+1-1 an-1 2-an 1 1 即数列 an-1 是首项为 =-2,公差 d=-1 的等差数列, a1-1 1 n ∴ =-n-1,∴an= . an-1 n +1

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1 (3)∵an=1- , n+1 1 1 1 + +…+ 1 1 1 n+1 . ∴a1+a2+…+an=1- +1- +…+1- =n- 2 3 2 3 n+1 n+2 1 由(1)知当 x>1 时,f(x)+1<0,即 ln x<x-1,令 x= = +1, n+1 n+1 n+2 1 n+2 1 1 1 1 3 4 得 ln < +1-1= ,∴ln +ln +…+ln < + +…+ , 2 3 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 2 3 1 1 1 + + … + 1 1 1 n+1 <n+ln 2-ln(n+2), ∴ln(n+2)-ln 2< + +…+ , ∴n- 2 3 2 3 n+1 ∴a1+a2+…+an<n+ln 2-ln(n+2).

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
2. 已知数列{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4=- ,
且对于任意的 n∈N*,有 Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)已知 bn=n(n∈N*),记 Tn= a1 + a2 + a3 +…+ an , 若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 7 16

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解:(1)设数列{an}的公比为 q.∵S1,S3,S2 成等差数列, 1 ∴2S3=S1+S2,∴2a1(1+q+q2)=a1(2+q),解得 q=- , 2 1 - 7 1 又 a1+a4=a1(1+q3)=- ,∴a1=- ,∴an=a1qn- 1= 2 n. 16 2

高频考点全通关——数列与函数、不等式的综合问题 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1 bn - n (2)∵bn=n,an= 2 ,∴ an =n·2n,∴Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①

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2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n 1, 2-2n 1 -n·2n+1 ∴Tn=- 1-2 =(n-1)·2n+1+2.若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于 n≥2 恒成立, 则(n-1)2≤m[(n-1)·2n 1+2-n-1],(n-1)2≤m(n-1)·(2n 1-1), ∴m≥ n -1 x-1 ,令 f ( x ) = ,可判断 f(x)在 x∈[2,+∞)上是减函数. +1 +1 n x 2 -1 2 -1
+ + + +

1 ,+∞ n-1 1 1 则 f(n)= n+1 的最大值为 f(2)= ,∴m≥ .故实数 m 的取值范围为 7 . 7 7 2 -1

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