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1977年黑龙江省高考数学试卷


1977 年黑龙江省高考数学试卷 一、解答题(共 16 小题,满分 100 分) 1. 分) (6 (1977?黑龙江)解方程 . 2. 分) (6 (1977?黑龙江)解不等式|x|<5. 3. 分) (6 (1977?黑龙江)已知正三角形的外接圆半径为 4. 分) (6 (1977?黑龙江) . cm,求它的边长.

5. 分) (6 (1977?黑龙江)

cos78°?cos3°+cos12°?sin3°(不查表求值) . 6. 分) (6 (1977?黑龙江) .

7. 分) (8 (1977?黑龙江)解方程



8. 分) (8 (1977?黑龙江)求数列 2,4,8,16,…前十项的和. 9. 分) (8 (1977?黑龙江)圆锥的高为 6cm,母线和底面半径成 30° 角,求它的侧面积. 10. 分) (8 (1977?黑龙江)求过点(1,4)且与直线 2x﹣5y+3=0 垂直的直线方程. 11. 分) (8 (1977?黑龙江)如果△ABC 的∠ 的平分线交 BC 于 D,交它的外接圆于 E,求证 A AB?AC=AD?AE. 12. 分) (8 (1977?黑龙江)前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召,1975 年造林 200 亩, 又知 1975 年至 1977 年这三年内共造林 728 亩,求后两年造林面积的年平均增长率是多少? 13. 分) (8 (1977?黑龙江)解方程 lg(2x+2x﹣16)=x(1﹣lg5) . 14. 分) (8 (1977?黑龙江)已知三角形的三边成等差数列,周长为 36cm,面积为 54cm2,求三边的 长. 15. (1977?黑龙江)如图,AP 表示发动机的连杆,OA 表示它的曲柄.当 A 在圆上作圆周运动时,P 在 x 轴上作直线运动,求 P 点的横坐标.为什么当 α 是直角时,∠ 是最大? P

16. (1977?黑龙江)求曲线 y=sinx 在[0,π]上的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

1977 年黑龙江省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、解答题(共 16 小题,满分 100 分) 1. 分) (6 (1977?黑龙江)解方程 . 考点: 专题: 分析: 解答: 方根与根式及根式的化简运算. 计算题. 令被开方数大于等于 0,将方程两边平方得到不等式组,解不等式组求出方程的解. 解:原方程同解于

点评:

解得 x=4 故 x=4 是原方程的根. 本题考查解无理方程时,常通过平方将根号去掉,但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开 方数大于等于 0.

2. 分) (6 (1977?黑龙江)解不等式|x|<5. 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 绝对值不等式的解法. 计算题. 先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解. 解:∵ |x|<5. ∴ ﹣5<x<5. 此题考查绝对值不等式的解法,解题的关键是去掉绝对值,此类题目是高考常见的题型. cm,求它的边长.

3. 分) (6 (1977?黑龙江)已知正三角形的外接圆半径为 考点: 专题: 分析: 解答:

圆周角定理. 计算题. 利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可. 解:设正三角形的边长为 a, 则 它的边长为 18cm. .

点评:

本题主要考查圆中的有关线段,方法是利用直角三角形进行计算.属于基础题. .

4. 分) (6 (1977?黑龙江) 考点: 专题: 分析:

方根与根式及根式的化简运算. 计算题. 先化简 m2﹣2ma+a2=(m﹣a)2 再利用 求值公式求得.

解答:

解:当 m≥a 时, 当 m<a 时,

=m﹣a. =a﹣m.

点评:

从形式上观察,确定问题的转化.

5. 分) (6 (1977?黑龙江)cos78°?cos3°+cos12°?sin3°(不查表求值) . 考点: 分析: 解答: 两角和与差的正弦函数. 先根据诱导公式将 cos78° 化为 sin12° ,再根据两角和与差的正弦公式可得答案. 解:原式=sin12°?cos3°+cos12°?sin3° =sin15° =sin(45° ﹣30° ) =sin45° cos30° ﹣cos45° sin30° = 点评: .

本题主要考查两角和与差的正弦公式,属基础题. .

6. 分) (6 (1977?黑龙江) 考点: 专题: 分析: 解答: 反三角函数的运用. 计算题. 先求出 解:由已知 因为 sin 所以 答: 点评: = . = 的值,为 =

再利用反正弦求出那个角的正弦值为

,可知此角为

本题考查反三角函数,此是一反正弦求角的题,解决此类问题一般是逆向求解,欲求三角函数 值对应的角,先找那个角的三角函数值等于这个 值.

7. 分) (8 (1977?黑龙江)解方程 考点: 专题: 分析: 解答:



点评:

有理数指数幂的化简求值. 计算题. 将方程中的各项化为同底数的,通过等价变形,求出未知数的值. 解:方程即:3x+1﹣3x=18, 3x(3﹣1)=18 ,3x=9=32,∴ x=2. 本题考查有理指数幂的化简求值.

8. 分) (8 (1977?黑龙江)求数列 2,4,8,16,…前十项的和.

考点: 专题: 分析:

等比数列的前 n 项和. 计算题. 由题设可知, .

解答:

解:由题设可知,此等比数列的首项 a1=2 公比 q=2, ∴ .

点评:

本题考查等比数列的前 n 项和公式,解题时注意此等比数列的首项 a1=2 公比 q=2.

9. 分) (8 (1977?黑龙江)圆锥的高为 6cm,母线和底面半径成 30° 角,求它的侧面积. 考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题. 通过圆锥的高为 6cm,母线和底面半径成 30° 角,求出圆锥的底面半径,圆锥的母线,然后求 出它的侧面积. 解:由题设条件可知, 圆锥底面半径 R= , 圆锥母线 ∴ 侧面积 , .

点评:

本题是基础题, 考查圆锥的几何体的特征, 正确求出圆锥的母线长, 底面半径, 是解题的关键, 考查计算能力.

10. 分) (8 (1977?黑龙江)求过点(1,4)且与直线 2x﹣5y+3=0 垂直的直线方程. 考点: 专题: 分析:

两条直线垂直的判定;直线的一般式方程. 计算题. 本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定,要求过点(1,4)且与直线 2x﹣5y+3=0 垂直的直线方程.我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1,求出直线的斜率, 再将已知点代入即可求解. 解:因为直线 2x﹣5y+3=0 的斜率为 , 所以所求直线的斜率为 .

解答:

点评:

所求直线的方程为 5x+2y﹣13=0. 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及 点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与 坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否 为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

11. 分) (8 (1977?黑龙江)如果△ABC 的∠ 的平分线交 BC 于 D,交它的外接圆于 E,求证 A AB?AC=AD?AE. 考点: 专题: 分析:

相似三角形的判定;与圆有关的比例线段. 证明题. 欲证比例线段 AB?AC=AD?AE,可通过证明三角形相似得到,连接 BE(如图) ,利用同弧所对

解答:

的圆周角相等和∠ 的平分线结合即可证明. A 证明:连接 BE(如图) ∵ CAE=∠ ∠ EAB,∠ ACB=∠ AEB, ∴ ACD∽ AEB, △ △ ∴ .

∴ AB?AC=AD?AE.

点评:

本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定,证明乘积式的问题可转化证明比例 式,最终转化为证明两个三角形相似得到.

12. 分) (8 (1977?黑龙江)前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召,1975 年造林 200 亩, 又知 1975 年至 1977 年这三年内共造林 728 亩,求后两年造林面积的年平均增长率是多少? 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的应用;等比数列的性质. 计算题;应用题. 设后两年造林面积的年平均增长率为 x,依照题意可得 200+200(1+x)+200(1+x)2=728, 200(1+x)2+200(1+x)﹣528=0,解方程可知后两年造林面积的年平均增长率. 解:设后两年造林面积的年平均增长率为 x, 依照题意可得 200+200(1+x)+200(1+x)2=728, 200(1+x)2+200(1+x)﹣528=0, (1+x)2+(1+x)﹣2.64=0, [(1+x)﹣1.2][(1+x)+2.2]=0, 1+x=1.2,x=0.2=20% 1+x=﹣2.2,x=﹣3.2(不合题意,舍去) 故后两年造林面积的年平均增长率为 20%. 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,合理地建立方程.

点评:

13. 分) (8 (1977?黑龙江)解方程 lg(2x+2x﹣16)=x(1﹣lg5) . 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

对数的运算性质. 计算题. 解对数方程与解对数不等式类似,首先要将等号两边化成底数相等的对数式,观察到已知方程 的表达式中出现的对数为常用对数,故将两边都化为常用对数式,然后再根据对数相等则真数 也相等的原则,转化的一般方程. 解:∵ lg(2x+2x﹣16) =x(1﹣lg5) =xlg2 =lg2x, ∴ 原方程可化为:2x+2x﹣16=2x∴ 2x=16 ∴ x=8. 解对数方程一般分以下几个步骤:① 首先要将等号两边化成底数相等的对数式,② 然后再根据

对数相等则真数也相等的原则,转化的一般方程.③ 解方程④ 代入验证,排除增根. 14. 分) (8 (1977?黑龙江)已知三角形的三边成等差数列,周长为 36cm,面积为 54cm2,求三边的 长. 考点: 分析: 数列的应用;等差数列的性质. 设三角形三边的长分别为 a﹣d,a,a+d,则依题意有 ,解这个方程组后能够求出此三角形的三 边长. 解:设三角形三边的长分别为 a﹣d,a,a+d, 则依题意有 由(1)得 a=12(cm) . 代入(2)得 ,

解答:

点评:

36﹣d2=27,d2=9d=± 3 故此三角形的三边长分别为 9cm,12cm,15cm. 本题考查数列的性质及其应用,解题时要注意公式的合理选用.

15. (1977?黑龙江)如图,AP 表示发动机的连杆,OA 表示它的曲柄.当 A 在圆上作圆周运动时,P 在 x 轴上作直线运动,求 P 点的横坐标.为什么当 α 是直角时,∠ 是最大? P

考点: 专题: 分析:

在实际问题中建立三角函数模型. 计算题. 过 A 作 AB⊥ OP,设 x 为点 P 的横坐标,根据 OP=OB+BP 表示出 x 的表达式,根据虽然∠ P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样,可得到∠ 的最大值是一样,即只需 P 0≤α≤π 内∠ 变化的情况, P 根据正弦定理可知 , 因为当

时 sinα 的值最大,

解答:

进而可得到 sin∠ 的值也最大,再由正弦函数的性质可知此时 P 最大. P 解:过 A 作 AB⊥ OP 设 x 为点 P 的横坐标,则 x=OP=OB+BP= 因为∠ 随连杆位置的变化而改变, P 但连杆上下摆动的幅度是一样的, 所以∠ 的最大值是一样的. P 故可以考虑 0≤α≤π 内∠ 变化的情况, P 由正弦定理得 在 0≤α≤π 内,



时,sinα 的值最大,

因而 sin∠ 的值也最大 P ∵ OA<AP, ∴ P<α,即∠ 总是锐角. ∠ P 在 内,

sin∠ 是单调上升的, P 所以 点评: 时,∠ 最大. P

本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用.三角函数的内容比较散,公式比较多,不容 易记忆,一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用.

16. (1977?黑龙江)求曲线 y=sinx 在[0,π]上的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 考点: 专题: 分析: 解答:

定积分. 计算题. 欲求曲线 y=sinx 在[0,π]上的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积,可利用定积分 计算,即求出被积函数 y=πsin2x 在 0→π 上的积分即可. 解:设旋转体的体积为 V, 则 .

= 故旋转体的体积为: 点评: .

=

本小题主要考查定积分、 定积分的应用、 三角函数的导数、 三角函数的二倍角公式等基础知识, 考查考查数形结合思想.属于基础题.


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