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数列求和讲义1

时间:2012-05-09


讲义 51:数列求和复习 一 数列求和常用方法: 1.公式法 公式法: 公式法 (1)等差数列 {an } 的前 n 和公式

等比数列求和问题,或通过拆项或并项或错 位相减或倒序相加求和. 二 例题选讲 例 1.已知数列 {an } 为 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,….
求数列 {an } 的前 n 项和.

Sn =

( a1 + an ) n = na
2

1

+

n(n ? 1) d 2

(2)等比数列 {an } 的前 n 和公式

, (q = 1) ? na1 ? n Sn = ? a1 ? an q 1? q ?a1 × 1 ? q = 1 ? q , (q ≠ 1) ?
(3) 1 + 2 + 3 + L + n =
2 2 2 2

n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2 3 3 3 3 ] (4) 1 + 2 + 3 + L + n = [ 2

2 变式 1: 已知数列 {an } 为 1, 1+2, 1+2+2 ,

2.倒序相加法 倒序相加法: 倒序相加法

1 + 2 + 22 + 23 , L ,求 {an } 前 n 项和.

将一个数列倒过来排序, 它与原数列相加时, 若有公因式可提,并且剩余的项易于求和, 则这样的数列可用倒序相加法求和.
3.分组转化法: 分组转化法:

分析通项虽不是等差或等比数列,但它是等 差数列和等比数列的和的形式,则可进行拆 分,分别利用基本数列的求和公式求和.
4.错位相减法 错位相减法: 错位相减法

利用等比数列求和公式的推导方法求解,一 般可解决型如一个等差数列 {an } 和一个等比 数列 {bn } 对应项相乘所得数列 {anbn } 的求和.
5.裂项相消法 裂项相消法: 裂项相消法 例 2:S=

把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部 分从而计算和的方法,它适用于通项为
1 1 1 1 = ( ? ) (其 d 中为常数)求前 an ? an +1 d an an +1

12 22 32 102 + 2 2 + 2 2 + L+ 2 2 12 + 102 2 + 9 3 + 8 10 + 1

n 项和.
注意: 非等差、等比数列求和问题,注意观察 通项的形式与特点, 善于将问题转化为等差、

变式 2:S= sin 1 + sin 2 + sin 3 + LL + sin 89
2 o 2 o 2 o 2

o

例 4: 已知数列 {an } 的通项

?6n ? 5 (n为正奇数) ,求其前 n 项和 S n . an = ? n (n为正偶数) ?2

例 3.在数列{an}中,

1 2 n 2 + + ??? + , bn = 又 , n +1 n +1 n +1 a n ? a n+1 求数列{bn}的前 n 项的和. an =

例 5:已知数列 {an } 的首项 a1 =

2 an 2 , an +1 = , an + 1 3

n = 1, 2, 3, ….
(1)证明:数列 {

1 n ? 1} 是等比数列;(2)数列 { } an an

的前 n 项和 Sn .

变式:已知 an +1 = an + ln(1 + ) ,且 a1 = 2 ,求 a8 备用 求和

1 n

1 1 1 1 , , ,L , ,L 1× 3 2 × 4 3 × 5 n(n + 2)


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