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8.1平面向量的坐标运算


提问:
1.关于“三角”问题,高中与初中所研究的方式有何差异? 2.向量的表示方法有哪些?

8.1 平面向量的坐标表示及其运算

8.1 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示 1.分别与x 轴、y 轴正方向相同的两单位向量i 、j 叫做 基本单位向量。 坐标平面上任一向量 a ,如何用这组单位向量i 、j表示呢?

y j y
N(0,y) A(x,y) M(x,0)

y j x

j
O i

O i

x

O i

x

8.1 平面向量的坐标表示
对于坐标平面内任意不过原点的向量呢? 以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确定? 由 a 唯一确定 y
A(x, y)

a

把向量OA叫做向量a的位置向量。

OA ? xi ? y j
向量 a
位置向量OA

a

j O i

A坐标(x ,y)

x

8.1 平面向量的坐标表示
2.平面向量的坐标表示

OA ? xi ? y j

向量OA能表示成两个互相垂直的向量i、 j分别乘以实数x、y 后组成的和式,该和式称为i、 j 的线性组合, 这种向量的表示法 叫做向量的正交分解。

其中i、 j称之为坐标平面上的任意一个向量的基底。

任一向量 ,用这组基底可表示为: 平面上任意一个向量 a可以表示成两个互相垂直的向量i, j的唯一的一个线性组合. A(x, y) 有且只有一对实数x、y,使得

a

y

a =xi +yj.

a

0) 显然i =(1 ,

j =( 0 , 1 ) 0 =( 0 , 0) j

a

(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a ? ( x, y) O i

x

8.1 平面向量的坐标表示
例1.如图,用基底i ,j 分别表示向量a、b 、c 、d ,并 A2 求它们的坐标.

A

坐标的正负由谁来确定?

A1

8.1平面向量的坐标运算
3.平面向量的坐标运算 1.已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),求a+b,a-b. 解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j 即 同理可得 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差

8.1平面向量的坐标运算
2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

?a ? (?x , ?y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标.

向量a的模
y
A(x1, y1)

A( x1 , y1 )

y
B( x2 , y2 )

a

j O i x
O

x
P

a ? x12 ? y12

AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? OP
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

8.1 平面向量的坐标运算
例3.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b, a-b,3a+4b的坐标. 解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

8.1 平面向量的坐标运算
例4. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为(-2,1)、( -1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(x,y)
?  AB ? ( ?1 ? ( ? 2), 3 ? 1) ? (1, 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得

(1,2) ? (3 ? x,4 ? y )
1? 3? x ?  ?    ? ?2 ? 4 ? y ?x ? 2 ?? ?y ? 2

?  顶点D的坐标为( 2, 2)

8.1平面向量共线的坐标表示
1.

? ? 两个非零向量 a与 b 平行(共线)的充要条件是有且 ? ? 只有一个实数 ? , 使得 a ? ?b

2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论?

? ? 这就是说:两个非零向量a // b的充要条件是:

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

平面向量共线的坐标表示
例 题
1. 已知

? a ? (4,2),

? ? ? b ? (6, y),且a // b , 求y

2. 已知 A(?1 ,?1), B(1,3), C (2,5),
求证: A、B、C 三点共线。

3.

? ? 若向量 a ? (?1, x), 与 b ? (? x,2)
方向相同, 求 x.

共线且

例4

推广:若P ? ? ?1),则P的坐标如何表示 . 1P ? ? PP 2 (?为任意实数,且

例5:已知平面上 A、B、C三点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x3 , y3 ), G是?ABC的重心, 求点G的坐标.


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