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广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一上学期期中数学试题

时间:2016-06-15


2012~2013 学年度金山中学高一年级月考

数学试题

2012.10

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.
x 1.已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? x | 2 ? 1 ,则 M ? N =(

/>
?

?

) D. ? x | 0 ? x ? 1 ?

A. ?

B. ?x | x ? 0?

C. ?x | x ? 1 ?

?| x ? 1| ?2,| x |? 1, 1 ? 2.设 f ( x) ? ? 1 ,则 f [ f ( )] =( 2 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2 1 9 4 25 A. B. - C. D. 2 5 13 41

)

3.函数 f ( x) ? (2 ? a 2 ) x ? a 在区间[0,1]上恒为正,则实数 a 的取值范围( A. a ? 0 B. 0 ? a ?



2

C. 0 ? a ? 2

D. a ? 2 )

4.若奇函数 f ( x ) ( x ? R )满足 f (2) ? 2, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (1) ? ( A.0
x

B.1

C. ?

1 2

D.

1 2

5.若函数 y ? a ? ? m ? 1?? a ? 0? 的图象过第一二三象限,则有( ) A. a ? 1 B. a ? 1 , ?1 ? m ? 0 C. 0 ? a ? 1 , m ? 0 D. 0 ? a ? 1 6. 已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?4, 且函数 y ? f ?x ? 4? 为偶函数, ? ?? 上为减函数, 则( ) A. f ?2? ? f ?3? B. f ?2? ? f ?5? C. f ?3? ? f ?5? D. f ?3? ? f ?6? 7.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时,函数 f ( x) 的解析式为 ( ) A. ? x ? x 8.函数 y ?
4

B. x ? x

4

C. ? x ? x

4

D. x ? x

4

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是 ( x

)

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9.函数 f ( x) ? ? A.奇函数

2 ? ? x ? x ( x ? 0) 是( ) 2 x ? x ( x ? 0) ? ?

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

10.已知函数 f ( x) ?

4 ? 1 的定义域是 ?a, b?( a , b 为整数) ,值域是 ?0,1? ,则满足条件 | x | ?2
) C.3 个 D.2 个

的整数数对 ( a, b) 共有( A. 5 个 B.4 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11.已知集合 A ? ?? 1,3,2m ? 1?,集合 B ? 3, m 2 ,若 B ? A ,则实数 m ? 12.函数 y ?

?

?



x ?1 +

1 的定义域 2?x

. .

13.函数 f ( x) ? a x?1 ? 3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是

14. 奇函数 f ( x)在区间 [3,7] 上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为-1,则

2 f ( ?6) ? f( ? 3) =

. .

15.函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域是

16.定义全集 U 的子集 A 的特征函数为 f A ( x) ? ?

中的补集,那么对于集合 A、B ? U ,下列所有正确说法的序号是 (1) A ? B ? f A ( x) ? f B ( x) (3) f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) (2) f CU A ( x) ? 1 ? f A ( x)

?1, x ? A ,这里 CU A 表示 A 在全集 U ?0, x ? CU A
.

(4) f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 14 分)已知集合 A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a}, B ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0},
2

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(1)当 a ? 3 时,求 A ? B, A ? (CU B) ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a, b 为实数, a ? 0 , x ? R ) , 若 f (?1) ? 0 ,且函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) , (1)求 f ( x) 的表达式; (2)当 x ?[?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

19. (本小题满分 14 分)如图:A、B 两城相距 100 km ,某天燃气公司计划在两地之间建 一天燃气站 D 给 A、B 两城供气. 已知 D 地距 A 城 xkm ,为保证城市安全,天燃气站距两城 市的距离均不得少于 10 km . 已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离( km )的平 方和成正比, 当天燃气站 D 距 A 城的距离为 40 km 时, 建设费用为 1300 万元. (供气距离指 天燃气站距到城市的距离) (1)把建设费用 y (万元)表示成供气距离 x ( km )的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小,最小费用是多少?

A

D
(第 19 题图)

B

20 . (本小题满分 14分)定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) 满足:①对任意 x ,

y ? (?1,1) 都有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ;②当 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? 0 . 1 ? xy
(1)判断 f ( x) 在 (?1,1) 上的奇偶性,并说明理由;

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(2)判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性,并说明理由; (3)若 f ( ) ? ?

1 5

1 1 1 1 ,试求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值. 2 2 11 19

21. (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R ,求 f ( x) 的最 小值.
2

高一数学月考答题卷 班别 姓名 座号 分数 一、 选择题(第 1~10 题,每题 5 分,共 50 分, 请将正确答案填入下面表格内) 题号 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11. 12. 13. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15. 16. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 14 分)

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18.(本小题满分 14 分)

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班别 19.(本小题满分 14 分)

姓名

座号

A

D
(第 19 题图)

B

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20.(本小题满分 14 分)

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(21 题在背面作答) 21.(本小题满分 14 分)

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高一数学月考试题参考答案
DCCBB DADAA

11.1 12. 15.

?x x ? ?1且x ? 2?

13. (1,4)

14.-15

? ??,4?

16. (1) (2) (3)

17. 解: (1) 当 a ? 3 时,A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 1或x ? 4}

CU B ? {x 1 ? x ? 4} …………3 分 A ? B ? {x ? 1 ? x ? 1或4 ? x ? 5}, A ? (CU B) ? {x ? 1 ? x ? 5} …………7 分
(2)当 a ? 0时, A ? ? , 显然A ? B ? ? …………8 分

当a ? 0时, A ? ? , A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a},

B ? {x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 1或x ? 4}
由 A ? B ? ? ,得 ?

?2 ? a ? 1 ?2 ? a ? 1 ………… 10 解 0 ? a ? 1. …………12 分 解得 0 ??a ? 1.分 解得 ?2 ? a ? 4 ?2 ? a ? 4
…………14 分

故实数 a 的取值范围是 (??,1)

18.解: (1)因为 f (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ? 0 . 因为 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ,所以 ?

?a ? 0,
2 ?? ? b ? 4a ? 0.

…………3 分 …………6 分

所以 b2 ? 4(b ? 1) ? 0 . 解得 b ? 2 , a ? 1 . 所以 f ( x) ? ( x ? 1)2 . (2)因为 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? 2x ? 1 ? kx ? x ? (2 ? k ) x ? 1
2 2

= (x ? 所以当

2?k 2 (2 ? k ) 2 ) ?1? , 2 4

…………8 分

k ?2 k ?2 ≥2或 ≤ ?2 时 g ( x) 单调.…………12 分 2 2
…………4 分

即 k 的范围是 (??,?2] 或 [6,??) 时, g ( x) 是单调函数. …………14 分
2 2 19.解: (1)设比例系数为 k ,则 y ? k[ x ? (100? x) ] (10 ? x ? 90) .

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(不写定义域扣 2 分) 又 x ? 40, y ? 1300, 所以 1300? k (402 ? 602 ) ,即 k ? 所以 y ?

1 , 4

……………6 分 ………8 分

1 2 1 [ x ? (100 ? x) 2 ] ? ( x 2 ? 100 x ? 5000 ) (10 ? x ? 90) . 4 2

(2)由于 y ?

1 2 1 ( x ? 100 x ? 5000 ) ? ( x ? 50) 2 ? 1250 , ………………11 分 2 2 所以当 x ? 50 时, y 有最小值为 1250 万元. …………………13 分
所以当供气站建在距 A 城 50 km , 电费用最小值 1250 万元. …14 分

20. (1)令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 .…………1分 令 y ? ? x , 则 f ( x) ? f (?x) ? 0 ? f (?x) ? ? f ( x) ? f ( x) 在 (?1,1) 上 是 奇 函 数.…………4分 (2)设 0 ? x1 ? x2

? 1,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ), 1 ? x1 x2

0 ? x1 x 且 ?1 1? ? 2 ?
而 x1 ? x2 ∴ f(

x1 ? x2 ?1 0 1 ? x1 x2

x1 ? x2x1 ? x2 ?? 1x ? ,则 0. ?1 1? ? ?0 ?0 ? 0 , 0 ? x1 x2 0 1 x2 ? ? x1 x2 1 ? x1 x1 2

x1 ? x2 ) ? 0 .即 当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 1 ? x1 x2 ∴ f ( x) 在 (0,1) 上单调递减.…………9分 1 1 ? 1 1 1 1 2 5 ) ? f (1) , (3)由于 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f ( 1 2 5 2 5 3 1? 2?5 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) , f ( ) ? f ( ) ? f ( ), 3 11 4 4 19 5 1 1 1 1 ∴ f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 f ( ) ? ?1.…………14分 2 11 19 5 1 2 3 2 21.解:①当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? 2 4 1 当 a ? ,则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上单调递减,从而函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 2 f (a) ? a 2 ? 1. 1 1 3 1 若a ? , 则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a , 且 f ( ) ? f (a) . …………4 2 2 4 2


3 4 1 1 3 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ? f (a ) 2 2 4 2
2 2 ②当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

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1 ,则函数 f ( x) 在 [a,??) 上单调递增,从而函数 f ( x) 在 [a,??) 上的最小值为 2 f (a) ? a 2 ? 1.…………8 分 1 3 综上,当 a ? ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a ,…………10 分 2 4 1 1 2 当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? 1 ,…………12 分 2 2 1 3 当 a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a .…………14 分 2 4
若a ? ?

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