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《金版新学案》新课标人教A版必修1教学课件:2.1.1.1 第1课时 根 式


第二章 基本初等函数(Ⅰ)

必修1 第二章

基本初等函数(I)

栏目导引

2.1 指数函数

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基本初等函数(I)

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2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式

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基本初等函数(I)

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1.理解n次方根及根式的 概念. 2.正确运用根式运算性 质进行运算变换.

1.利用根式的运算性 质对式子进行化简.( 重点) 2.已知条件的求值问 题.(难点)

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基本初等函数(I)

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1.开平方与平方根,若 x2=a(a≥0),则求 x 的运算叫开平方,x=± a叫 a 的平方根,其中 a叫 a 的算术平方根. 2.开立方与立方根,若 x3=a,则求 x 的运算 3 3 叫开立方,记为 a, a叫 a 的立方根.

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基本初等函数(I)

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3.二次根式及性质: a(a≥0)叫二次根式,且 a2=|a| ?a ?a≥0? =? ?-a ?a<0? 三次根式: a叫 a 的三次根式. 4.二次根式与三次根式的运算性质 |a| a (1) a2=___;(2)( a)2=__(a>0); 3

a a (3) a =__;(4)( a)3=__.
3

3

3

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基本初等函数(I)

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1.根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 xn=a 如果______,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示 n a ①当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为___,a ∈R.

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基本初等函数(I)

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n ②当 n 是偶数时,a 的 n 次方根表示为± a,a [0,+∞) ∈__________. (3)根式 n 根指数 式子 a叫做根式,这里 n 叫做_______,a 叫 被开方数 做_________.

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基本初等函数(I)

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2.根式的性质 n (1) 0=0(n∈N*,且 n>1); n n * (2)( a) =a(n∈N ,且 n>1); n n (3) a =a(n 为大于 1 的奇数); a ?__ ?a≥0? n n (4) a =|a|=? (n 为大于 1 的偶 -a ?____ ?a<0? 数).

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基本初等函数(I)

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1.下列各式正确的是( A. ?-4? =-4 C. 32=3
2

) 4

B. m4=m D.a0=1

解析: 4

根据根式的性质可知 C 正确.

m4=|m|,a0=1 条件为(a≠0),故 A、B、D 错.
答案: C

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基本初等函数(I)

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2. 16运算的结果是( ) A.2 B.-2 C.± 2 D.以上都不对 4 4 4 解析: 16= 2 =2.故选 A.
答案: A

4

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基本初等函数(I)

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3.计算下列各式的值: 3 (1) -53=________. (2)设 b<0,( -b)2=________.
答案: (1)-5 (2)-b

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基本初等函数(I)

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4.求
解析: 1 + 2 3 = . 2

1 3 3 3 6 - 3 + 0.125的值. 4 8
原式= 3 ?5? ? ?2 ? ? - ?2? 3 ?3? ? ?3 ? ? + ?2?
?1? 5 3 ? ?3 ? ? = - 2 2 ?2?

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基本初等函数(I)

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直接利用根式的性质化简 化简下列各式: (1) ?-2?4; 5 (2) ?2-π?5; 4 (3) ?x+1?4; 3 (4) ?x-6?3.
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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4

由题目可获取以下主要信息: n n ①所给形式均为 a 的形式; n n ② a 形式中 n 分为奇数和偶数两种. 解答本题可依据根式的性质 n n ?|a| n为大于1的偶数 a =? ,完成化简. ?a n为大于1的奇数

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基本初等函数(I)

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[解题过程] (1) ?-2?4=2; 5 (2) ?2-π?5=2-π; ?x+1 ?x≥-1? 4 4 (3) ?x+1? =|x+1|=? ; ?-x-1 ?x<-1? (4) ?x-6?3=x-6.
[题后感悟] 解决根式的化简问题,首先要分 清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根 式的性质进行解答.

4

3

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基本初等函数(I)

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1.下列各式总能成立的是( A.( a- b)4=a-b 4 B.( a+b)4=a+b 4 4 C. ?a-b? =a-b 4 D. ?a+b?4=a+b 4 4

)

答案:

B

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基本初等函数(I)

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2.化简下列各式: 3 (1) -27; 6 (3) ?3-π?6; 3 3 (3)( -9) ; (4) ?a-b?2(a>b).

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解析: (1) -27= ?-3?3=-3. 6 6 6 (2) ?3-π? = ?π-3?6=π-3. 3 (3)( -9)3=-9. (4) ?a-b?2=a-b(a>b).

3

3

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基本初等函数(I)

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有条件根式的化简 设-2<x<2,求 x2-2x+1- x2+4x+4 的值.
去根号,化为含绝对值的形式―→讨论x取值, 去绝对值―→分别化简得结论

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基本初等函数(I)

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[解题过程] 原式= ?x-1?2- ?x+2?2 =|x-1|-|x+2| ∵-2<x<2 ∴当-2<x<1 时, 原式=-(x-1)-(x+2)=-2x-1 当 1≤x<2 时,原式=x-1-(x+2)=-3
?-2x-1 ?-3<x<1? ∴原式=? ?-3 ?1≤x<2?

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基本初等函数(I)

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[题后感悟] 为使开偶次方后不出现符号错误, 第一步先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝 对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨 论.

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基本初等函数(I)

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3.本例中,若将“-2<x<2”变 为 x∈R,则结果是什么?

解析: 原式=|x-1|-|x+2| 当 x>1 时,原式=x-1-(x+2)=-3; 当-2≤x≤1 时,原式=1-x-(x+2)=-2x -1; 当 x<-2 时,原式=1-x-(-x-2)=3.
?-3 ?x>1? ? ∴原式=?-2x-1 ?-2≤x≤1? ? ?3 ?x<-2?
必修1 第二章 基本初等函数(I)
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1-a2+ a2-1+3a 4.求 的值. 1-a ?1-a2≥0 ? 2 解析: 要使原式有意义,须使?a -1≥0 ? ?a-1≠0

4

∴a=-1 -3 3 原式= =- . 2 1-?-1?

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基本初等函数(I)

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准确认识根式记号 a (1)n∈N,且 n>1. n (2)当 n 为大于 1 的奇数时, a对任意 a∈R 都 有意义,它表示 a 在实数范围内惟一的一个 n ? ? n ?n ? 次方根? a? =a. ? ?

n

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基本初等函数(I)

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(3)当 n 为大于 1 的偶数时, a只有当 a≥0 时 n 有意义,当 a<0 时无意义. a(a≥0)表示 a 在实 n 数范围内的一个 n 次方根,另一个是- a, ? ? n ?n ? ?± a? =a. ? ? n n (4)式子 a 对任意 a∈R 都成立.

n

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基本初等函数(I)

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◎计算: ?1+ 2? + ?1- 2?4.
3

3

4

【错解】 ?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2) +(1- 2)=2.
3

3

4

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【错因】

4

?1- 2? ≠1- 2, 而是 ?1- 2?4
4

4

=|1- 2|= 2-1.其出错原因是 an =a(a∈ R)成立的条件是 n 为正奇数, 如果 n 为正偶数, 那么 an=|a|. 3 4 3 【正解】 ?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2) +|1- 2| =1+ 2+ 2-1=2 2. n

n

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