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天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:概率

时间:2014-02-26


天津市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 11:概率
一、解答题 1 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)有甲,乙两个盒子,甲盒中装有 2 个小球,乙

盒中装有 3 个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球 (1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下 1 个球的概率; (2)当第一次取完一个盒子中的球时,

另一个盒子恰剩下 ? 个球,求 ? 的分布列及期望 E? .
【答案】解:(1) P ? C3 ( ) ?
2 2

(2) ? ? 1, 2,3

1 2

1 1 3 ? ? 2 2 16

1 3 1 1 4 P(? ? 1) ? C32 ( ) 4 ? C3 ( ) ? 2 2 8 1 3 1 1 3 P(? ? 2) ? ( )3 ? C2 ( ) ? 2 2 8 1 1 15 P(? ? 3) ? ( ) 2 ? E? ? 2 4 8
2 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) )为加强大学生实践、创新能力和团队精

神的培养, 促进高等教育教学改革, 教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛 两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】解: (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,则

P ? A? ?

2 ? 3! 1 ? . 5! 10 1 .???????3 分 10

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .

2 ? 4! 2 ? , 5! 5 3 ? 2 ? 3! 3 P ? X ? 1? ? ? , 5! 10 2 ? 2!? 3 ? 2! 1 P ? X ? 2? ? ? , 5! 5 2 ? 3! 1 P ? X ? 3? ? ? . ?????.11 分 5! 10 随机变量 X 的分布列为: P ? X ? 0? ?

2 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 , 5 10 5 10 所以 随机变量 X 的数学期望为 1 .?????.13 分
因为 EX ? 0 ? 3 . (天津市宝坻区 2013 届高三综合模拟数学(理)试题)四名教师被分到甲、乙、丙三所学校参加工作,每

所学校至少一名教师. (Ⅰ)求 A 、 B 两名教师 被同时分配到甲学校的概率; (Ⅱ)求 A 、 B 两名教师不在同一学校的概率;

(Ⅲ)设随机变量 ? 为这四名教师中分配到甲学校的人数,求 ? 的分布列和数学期望.
【答案】解:(Ⅰ)四名教师被分到甲、乙、丙三所学校的所有可能情况为 C4 A3
2 3

? 36 种

A 、 B 两名教师被同时分配到甲学校的情况为 A

2 2
2 A2 1 ? 4 3 C4 A3 18

所以 A 、 B 两名教师被同时分配到甲学校的概率为 P ? (Ⅱ) A 、 B 两名教师被分在同一学校的概率为 P? ?

3 A3 1 ? 4 3 C4 A3 6 1 5 所以 A 、 B 两名教师不在同一学校的概率 P ? 1 ? P? ? 1 ? ? 6 6 (Ⅲ)随机变量 ? 的可取值为 1,2 1 2 2 C4 C3 A2 2 ? 4 3 C4 A3 3 2 C 2 A2 1 P(? ? 2) ? 4 ? 4 3 C4 A3 3 所以随机变量 ? 的分布列为

P(? ? 1) ?

?
P

(不列表不扣分)

2 1 4 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 3 3

1 2 3

2 1 3

4 . (天津市河东区 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)(本小题满分 l )

某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖 励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为

1 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料, 6

(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率; (2)求中奖人数 ? 的分布列及数学期望 E ? . 【答案】解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么

P(A)=P(B)=P(C)=

1 6
6 6

1 5 25 P( A?B? C )=P(A)P( B )P( C )= ?( ) 2 ?

216 25 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 216

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3

P(ξ =k)= C3k ( ) k ( )3? k (k=0,1,2,3)
所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ 0 1
25 72

1 6

5 6

2
5 72

3
1 216

P Eξ =0×

125 216

1 125 25 5 1 +1× +2× +3× = 216 72 72 216 2

5 . (天津市红桥区 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) )某学校高三(1)班学生举行新年联欢

活动;准备了 10 张奖券,其中一等奖的奖券有 2 张,二等奖的奖券有 3 张,其余奖券均为 3 等奖. (I)求从中任意抽取 2 张,均得到一等奖奖券的概率; (II)从中任意抽取 3 张,至多有 1 张一等奖奖券的概率; (Ⅲ)从中任意抽取 3 张,得到二等奖奖券数记为 ? ,求 ? 的数学期望.
【答案】

6 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假

设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的 总时间 ? 的分布列及期望.
【答案】解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时 首次遇到红灯为事件 A, 因为事件 A 等于事件

“这名学生在第一和第二个路口没有 遇到红灯 , 在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为

? 1? ? 1? 1 4 . P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 27 (Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4),

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? k ? 0,1, 2,3, 4 ? , ? 3? ? 3? ∴即 ? 的分布列是 ? 0 2 4 6 16 32 8 8 P 81 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3
4 k

k

4? k

8

1 81

7 . (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分 13 分)口袋中有大小、质地均相同

的 9 个球,4 个红球,5 个黑球,现在从中任取 4 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。









8 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题) 在某校教师趣味投篮比赛中,

比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进 每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投 进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
【答案】解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.

依条件可知 X~B(6,

2 ). 3
k

?2? P( X ? k ) ? C ? ? ? ?3?
k 6

?1? ?? ? ? 3?

6?k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4 5 6

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

64 729

(注:每个概率 1 分,列表 1 分,共 8 分,没有过程只列表扣 3 分)

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ? 192 ? 6 ? 64) = ?4. 729 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4 3 3 EX ?
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A, 则 P( A) ? C4 ? ( ) ? ( ) ? C4 ? ? ( ) ? ( ) ?
2 2 4 1 5 6

1 3

2 3

1 3

2 3

2 3

32 . 81

(每个概率计算正确一分,共三分;列一个大式子,若计算错误则无分) 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为

32 . 81

9 . (天津市十二校 2013 届高三第二次模拟联考数学(理)试题)某企业招聘工作人员,设置 A、B、C 三组测

试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、

丁两人各自独立参加 B 组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 的概率均为

1 ,丙、丁两人各自通过测试 3

1 ,参加 C 组测试,C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题,戊只能且必须选择 4 道作答,答对 3 题 2

则竞聘成功. (1)求戊竞聘成功的概率; (2)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (3)记 A、B 组测试通过的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.
【答案】

10. (天津市五区县 2013 届高三质量检查(一)数学(理)试题)一盒中装有 9 个大小质地相同的小球,其中

红球 4 个,标号分别为 0,1,2,3;白球 3 个,标号分别为 0,1,2;黑球 2 个,标号分别为 0,l;现从盒中不放 回地摸出 2 个小球. (I)求两球颜色不同且标号之和 为 3 的概率; .. (Ⅱ)记所摸出的两球标号之积 为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. .. 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 6 1 ∴P? ? 36 6 (Ⅱ) 依题意 ? 的可取值为 0,1,2,3,4,6
P (? ? 0) ? P (? P (? P (?
1 1 C3 C6 ? C32 21 7 ? ? ; 36 36 12 C2 1 ? 1) ? 3 ? ; 36 12 C 1C 1 1 ? 2) ? 2 3 ? ; 36 6 1 C 1 ? 3) ? 3 ? ; 36 12 1 ? 4) ? ; 36

2 【答案】解:(Ⅰ)从盒中不放回地摸出 2 个小球的所有可能情况有 C9 ? 36 种

P(?

P (? ? 6) ?

1 C2 1 ? 36 18

?
P
(不列表不扣分)

0

1

2

3

4

6

7 12

1 12

1 6

1 12

1 36

1 18

E? ?

7 1 1 1 1 1 10 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? 12 12 6 12 36 18 9

11. (天津市蓟县二中 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)某次月考数学(Ⅰ)得 40 分的概率;

(Ⅱ)得多少分的可能性最大? (Ⅲ)所得分数 ? 的数学期望.
【答案】

12. (2010 年高考(天津理) )某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响? 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标?另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中,若有 2 次连 续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的 分数,求 ? 的分布列? 【答案】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立

事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力? (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, 概率

? ?

2? ? .在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的 3?

40 ? 2? ? 2? P( X ? 2) ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2

2

2

(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ;“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目 标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? = ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3? ? 3? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? 8 = 81 (Ⅲ)解:由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6 1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27 P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
=
3 3 2 3 2 3

2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9 2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27

2

2

8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27
8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27 所以 ? 的分布列是 0 1 ?
P
3

2

2

2

3

6

1 27

2 9

4 27

8 27

8 27

13. (2011 年高考(天津理) )学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子

里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若 摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 【答案】 【命题立意】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事 件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 1 C 2 ? C2 1 ? 【解析】(Ⅰ)(i)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai ( i ? 0,1, 2,3 ),则 P( A3 ) ? 3 C52 ? C32 5 (ii)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B ? A2 ? A3 ,又 P( A2 ) ? 且 A2 、 A3 互斥,所以 P( B) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?
2 C32 C2 C1C1 C1 1 ? 2 ? 3 22 ? 2 ? , 2 C5 C3 C5 C32 2

1 1 7 ? ? . 2 5 10

(II)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

P( X ? 0) ? (1 ?

7 2 9 7 21 7 49 1 7 , P( X ? 1) ? C2 ) ? (1 ? ) ? , P( X ? 2) ? ( )2 ? 10 100 10 10 50 10 100
X P 0 1 2

所以 X 的分布列是

9 100 9 21 49 7 X 的数学期望 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 100 50 100 5

21 50

49 100

14. (天津市河北区 2013 届高三总复习质量检测(二)数学(理)试题) (本小 题满分 13 分)

某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当文明交通宣传志愿者,20 名学生的名额分配为高 一 12 人,高二 6 人,高三 2 人. (I)若从 20 名学生中选出 3 人做为组长,求他们中恰好有.1 人是高一年级学生的概率; (Ⅱ)若将 4 名教师随机安排到三个年级(假设每名教 师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择 是相 互独立的),记安排到高一年级的教师人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】

15. (2012 年天津理)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加

趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去 参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与 数学期望 E? .
【答案】(1)每个人参加甲游戏的概率为 p ?

1 2 ,参加乙游戏的概率为 1 ? p ? 3 3

8 27 k k 4?k (2) X ? B(4, p) ? P( X ? k ) ? C4 p (1 ? p) (k ? 0,1, 2,3, 4) ,
这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 C4 p (1 ? p ) ?
2 2 2

这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? (3) ? 可取 0, 2, 4

1 9

P(? ? 0) ? P( X ? 2) ?

8 27

40 81 17 P(? ? 4) ? P( X ? 0) ? P( X ? 4) ? 81 随机变量 ? 的分布列为 P(? ? 2) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?
E? ? 0 ?

?
P

0

2

4

8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81

8 27

40 81

17 81

16. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)张师傅驾车从公司开往火车站,途径 4 个公交站,这四

个公交站将公司到火车站分成 5 个路段,每个路段的驾车时间都是 3 分钟,如果遇到红灯要停留 1 分钟, 假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是 (1)求张师傅此行时间不少于 16 分钟的概率 (2)记张师傅此行所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值

1 3

65 ? 1? 【答案】解:(1) P ? 1 ? ?1 ? ? ? 81 ? 3? ? 1? k ?1? ? 2 ? (2)记张师傅此行遇到红灯的次数为 X,则 X ~ B? 4, ?, P( X ? k ) ? C4 ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3 ? 依题意, Y ? X ? 15 ,则 Y 的分布列为
Y P 15 16 17 18
k 4? k

4

, k ? 0,1,2,3,4 ,

19

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

Y 的均值为 E (Y ) ? E ( X ? 15) ? E ( X ) ? 15 ? 4 ?

1 49 ? 15 ? 3 3

17. (天津市 2013 届高三第三次六校联考数学(理)试题)( 本题满分 13 分)现有长分别为 1m ,2m,3m 的钢管

各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同 且附有不同的编号),从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ), 再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根 钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),求 ? 的分布列即数学期望 .
【答案】解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P ( A) ?
1 2 1 C3 C3 C6 9 ? 3 C9 14

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5, 6

P(? ? 2) ? P(? ? 5) ?

C32 1 ? C92 12

P(? ? 3) ? P(? ? 6) ?

1 1 C3 C3 1 ? C92 4

P(? ? 4) ?

1 1 C32 ? C3 C3 1 ? 2 C9 3

1 1 C3 C3 1 ? C92 4 ∴ ? 的分

C32 1 ? C92 12
布列为: 4 5 6

?
P

2 3

1 12

1 4

1 1 3 4

1 12

E? ? 4
18. (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球.

(I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的 个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .
【答案】解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C1 C7 ? C3C4 ? 19
1

1

1

1

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C82 ? 28 故所求概率为 P ?

19 28

5 分

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球,
1 1 1 共有 C1 C4 C3 ? 12 种

一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球, 共有 C4 C4 ? 24 种,
2 1

一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C4 ? 4 种不同摸法,
3

故符合条件的不同摸法共有 40 种 由题意知,随机变量 ? 的取值为 1 , 2 , 3 .其分布列为:

?
19. (天津市

1

2

3

E? ? 1?

P

乙二人

3 10

3 5

1 10

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 5 10 5

天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)甲,

进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛

的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中, 甲,乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望.
【答案】 解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率

是 0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是 2*0.6*0.6*0.4=0.288.

所以甲获胜的概率是 0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为ξ ,则ξ 的可取值为 2,3, p(ξ = 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(ξ = 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ =2*0.52+3*0.48=2.48
20. (2013 天津高考数学 (理) ) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白

色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】本题主要考查古典概型及其概率 2 公式,互斥事件、离散型 的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)解:设“取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片”为事件 A,则

P( A) ?

1 3 2 2 6 C2 C5 ? C2 C5 6 ? ,所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 4 7 C7 7

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
3 3 3 3 C3 C5 C6 C4 1 4 2 4 P( X ? 1) ? 4 ? ; P( X ? 2) ? 4 ? ; P( X ? 3) ? 4 ? ; P( X ? 4) ? 4 ? C7 35 C7 35 C7 7 C7 7

1 2 3 4 所以随机变量 X 的分布列是 1 4 2 4 P 35 35 7 7 1 4 2 4 17 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 随机变量 X 的数学期望 EX ? 1? 35 35 7 7 5
21. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进

X

行一项测试,以确定其工资级别,公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则 月工资定为 3500 元,若 4 杯中选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元 ,令 X 表示此人 选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求此员工月工资的期望.
【答案】解:(I)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4
1 4 ?i C4 C4 (i ? 0,1, 2,3, 4) C54

P( X ? i ) ?
即 X P

0

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(II)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500

则P(Y ? 3500) ? P( X ? 4) ? P(Y ? 2800) ? P( X ? 3) ?

1 70

8 35 53 P(Y ? 2100) ? P( X ? 2) ? 70 1 16 53 EY ? 3500 ? ? 2800 ? ? 2100 ? ? 2280. 70 70 70
所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.

22. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 13 分)甲、乙、丙三人进行象棋

比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局,在每一场比赛中, 甲胜乙的概率为

2 1 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 . 3 4 5

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
【答案】解: (1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为

2 1 1 ? ? 3 4 6

丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?

1 4 ? , 5 5 1 4 2 ? ? 6 5 15

所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 (2) ? 可能取的值为 0,3,6.

2 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 4 4 P(? ? 3) ?
P(? ? 6) ?

2 1 1 2 7 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12
2 1 1 ? ? 3 4 6

所以 ? 的分布列为

?
P E? = 0 ?

0

3

6

1 4

7 12

1 6

1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? 4 12 6 4

23. (2009 高考(天津理)) 在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品?从这 10 件产品中任取 3 件,

求: (I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (II) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率? 【答案】本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础 知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力?满分 12 分? k (Ⅰ)解:由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 C3 ,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的结果
k 3? k CC 数为 C 3 C 7 ,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)= 3 3 7 ,k=0,1,2,3. C10 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 7 21 7 3 P

k

3?k

24

40

40

120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

(Ⅱ)解:设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A,“恰好取出 1 件一等品和 2 件三 等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2,”恰好取出 3 件一等品”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而

P ( A1 )

2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 3 7 1 31 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = 40 40 120 120
24. (2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学)甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人

必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙只能答对其中的 3 道题. 5

答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
【答案】 【解】设乙的得分为 X , X 的可能值有 0,10, 20,30

P( X ? 0) ?
P( X ? 20) ?

C33 C6
3
1 3

?
2

1 20
? 9 20

P( X ? 10) ?
P( X ? 30) ? C C

C32C31 C6
3 3 3 6

3

?

9 20

C C3 C6
3

?

1 20

乙得分的分布列为:

X
P

0

10

20

30

1 20

9 20

9 20

1 20

1 9 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 15 20 20 20 20 所以乙得分的数学期望为 15 1 9 1 ? ? (2) 乙通过测试的概率为 20 20 2 33 81 2 3 2 2 ? 甲通过测试的概率为( ) ? C3 ( ) 5 5 5 125 1 81 22 )? 甲、乙都没通过测试的概率为(1 ? ) ? (1 ? 2 125 125 22 103 ? 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ? 125 125 EX ? 0 ?
25. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)某机构向民间招募防爆犬,首先进行入围测

试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通过测试,就可以入围.某训犬基地 有 4 只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率都是 1/3,通过嗅觉测试的概率都是 1/3,通过反应 测试的概率都是 1/2.求(1)每只优质犬能够入围的概率;(2)若每入围 1 只犬给基地记 10 分,设基地的得 分为随机变量 ξ ,求 ξ 的数学期望. 【答案】解:(1)每只优质犬入围概率相等: p= ? ?

1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3

(2)ξ 的取值为 0,1,2,3,4 服从 ξ ~B(4,

1 4 ) Eξ = 3 3

Eη =

4 40 ?10 ? 3 3

26. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) )甲乙等 5 名志愿者被随机分到 A,B,C,D 四个

不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者咱家 A 岗位的服务的人数,求 ξ 的分布列及期望.
3 A3 1 【答案】解:(1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ? 2 4 ? , C5 A4 40 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 .----------4 40 A4 1 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) ? 2 4 4 ? , C5 A4 10 9 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ? .-----------9 10 (3)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,

3 C52 A3 1 ? ? ? ? ?10 2 4 C5 A4 4 3 所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ? ,------------11 4 ? 的分布列是

则 P (? ? 2) ?

?
P

1

2

3 4

1 4

E? ?

5 -----------13 4
2 ,甲胜丙 3

27. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考 理科数学试卷)甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一

场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为

的概率为

1 1 ,乙胜丙的概率为 . 4 5

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
【答案】解:(1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为

2 1 1 ? ? 3 4 6

丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?

1 4 ? , 5 5

所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 (2) ? 可能取的值为 0,3,6.

1 4 2 ? ? 6 5 15

2 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 4 4
P(? ? 3) ? 2 1 1 2 7 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12

P(? ? 6) ?

2 1 1 ? ? 3 4 6

所以 ? 的分布列为

?
P E? = 0 ?

0

3

6

1 4

7 12

1 6

1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? 4 12 6 4


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