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专题一 集合与常用逻辑用语


1.(2015· 山东,1,易)已知集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,4)

)

C.(2,3) D.(2,4) 【答案】 C ∵A={x|x2-4x+3<0}={x|(x-1)· (x-3)<0}={x|1<x<3},B={x

|2<x<4},

∴A∩B={x|2<x<3}.故选 C.
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2. (2015· 课标Ⅱ, 1, 易)已知集合 A={-2, -1, 0, 1, 2}, B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B=( A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 【答案】 A ∵B={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0}.

)

3.(2015· 广东,1,易)若集合 M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则 M∩N=( A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.? 【答案】 D 因为 M={-4,-1},N={1,4},所以 M∩N=?. )

)

4.(2015· 浙江,1,易)已知集合 P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] 【答案】 C C.(1,2) D.[1,2]

由 x2-2x≥0 得 x≤0 或 x≥2,

∴?RP={x|0<x<2}. 又 Q={x|1<x≤2}, ∴(?RP)∩Q={x|1<x<2}. 5.(2015· 湖北,9,难)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y ∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为( A.77 B.49 C.45 【答案】 C D.30 )

分类讨论:当 x1=0 时,y1 可取-1,0,1,y2 和 x2 可取-2,-1,0,1,2.此时 x1

+x2 的值为-2,-1,0,1,2;y1+y2 的值为-3,-2, -1,0,1,2,3. ∴(x1+x2,y1+y2)共有 5×7=35(个). 当 x1=1 时,y1=0,x2 和 y2 可取-2,-1,0,1,2,此时 x1+x2 的值为-1,0,1,2,3,y1+y2 的值为-2,-1,0,1,2.其中 x1+x2 取-1,0,1,2 时与上面重复,∴x1+x2=3,y1+y2 的值为-2, -1,0,1,2.则(x1+x2,y1+y2)共有 5×1=5(个). 当 x1=-1 时,y1=0,同 x1=1,y1=0 时. ∴总个数为 35+5+5=45. 6. (2015· 江苏, 1, 易)已知集合 A={1, 2, 3}, B={2, 4, 5}, 则集合 A∪B 中元素的个数为________. 【解析】 【答案】 A∪B={1,2,3}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5},即 A∪B 中元素的个数是 5. 5

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1.(2014· 四川,1,易)已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0}

)

【答案】 A x2-x-2≤0?-1≤x≤2,故集合 A 中的整数为-1,0,1,2.所以 A∩B={-1,0, 1,2}. 2.(2014· 浙江,1,易)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=( ) A.? B.{2} C.{5} D.{2,5} 【答案】 B ∵A={x∈N|x≥ 5}={x∈N|x≥3},∴?UA={x∈N|2≤x<3}={2},故选 B. 3.(2011· 北京,1,易)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 【答案】 C 由 P∪M=P,有 M?P,∴a2≤1, ∴-1≤a≤1,故选 C. 4.(2013· 广东,1,易)设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则 M∪N=( A.{0} B.{0,2} 【答案】 C.{-2,0} D.{-2,0,2} {-2,0,2},故选 D. ) )

)

D 化简两个集合,得 M={-2,0},N={0,2},则 M∪N=

5. (2013· 浙江,2,易)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] 【答案】 C B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

由一元二次不等式解法知,T={x|-4≤x≤1},由补集的定义知?RS={x|x≤-2},借

助数轴分析法知(?R S)∪T={x|x≤1},故选 C.

思路点拨:解答本类题先根据有关知识化简两个集合,然后再借助数轴进行相关运算. 6.(2014· 山东,2,中)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( A.[0,2] 【答案】 B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) C 由|x-1|<2,得-2<x-1<2,-1<x<3,∴A={x|-1<x<3}.由 x∈[0,2],得 1≤2x )

≤4,∴1≤y≤4,∴B={y|1≤y≤4}.由集合运算得,A∩B={x|1≤x<3},故选 C. 7.(2013· 辽宁,2,中)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( A.(0,1) 【答案】 B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] )

D A={x|0<log4x<1}={x|log41<log4x<log44}={x|1<x<4},A∩B=(1,2],故选 D.

8.(2013· 福建,10,难)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足: (ⅰ)T={f(x)|x∈S}; (ⅱ)对任意 x1, x2∈S, 当 x1<x2 时, 恒有 f(x1)<f(x2), 那么称这两个集合“保序同构”. 以
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下集合对不是“保序同构”的是( A.A=N*,B=N

)

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q 【答案】 D 对于 A 可构造函数 f(x)=x-1,x∈N*,验证成立;

?-8,x=-1, 对于 B 可构造函数 f(x)=? 验证成立; ?2.5x+2.5,-1<x≤3, ? 1? 对于 C 可构造函数 f(x)=tan?x-2?π ,x∈(0,1),验证成立; ? ? 选项 D 是错误的. 方法点拨:理解新定义的本质是解决此类题的关键所在. 9.(2014· 江苏,1,易)已知集合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则 A∩B=________. 【解析】 【答案】 A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}. {-1,3}

10.(2014· 重庆,11,中)设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则(?UA)∩B=________. 【解析】 ∵U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},

∴?UA={4,6,7,9,10}. 又∵B={1,3,5,7,9}, ∴(?UA)∩B={7,9}. 【答案】 {7,9}

考向 1 1.集合中元素的特性及其应用

集合及其关系

(1)集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素互异性的应用:①利用集合元素的互异性找到解题的切入点;②在解答完毕时,注意检验集 合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

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2.集合间的关系 名称 自然语言描述 如果集合 A 中所有元素都是集 子集 合 B 中的元素, 则称集合 A 为 集合 B 的子集 如果集合 A?B,但存在元素 真子集 a∈B,且 a?A,则称集合 A 是 集合 B 的真子集 集合 A 中的任一元素都是集合 相等 B 中的元素,集合 B 中的任一 元素也都是集合 A 中的元素, 那么就说集合 A 与集合 B 相等 A=B A?B (或 B ? A) A?B(或 B?A) 符号表示 Venn 图表示

空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,符号表示为??A, ?? B(B≠?). (1)(2013· 课标Ⅰ,1)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则( A.A∩B=? B.A∪B=R )

C.B?A D.A?B (2)(2014· 福建,15)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的 个数是________. 【解析】 (1)方法一:A={x|x2-2x>0}={x|x>2,或 x<0},在数轴上画出集合 A,B 分别表示的范 围,如图所示.

由图可知,A∪B=R. 方法二:取实数-1,可得-1∈A 且-1∈B,排除选项 A;取实数 0,可知 0?A,但 0∈B,排除选 项 C;取实数 3,可知 3∈A,但 3?B,排除选项 D.只有选项 B 正确. (2)根据题意可分四种情况: a.若①正确,则 a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有 0 个;

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b.若②正确,则 a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); c.若③正确,则 a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4); d.若④正确,则 a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2), (3,1,4,2). 所以共有 6 个. 【答案】 (1)B (2)6

【点拨】 解题(1)的关键是弄清集合的有关概念;解题(2)时易出现分类不严谨、审题不认真而导致 找不到解题突破口的错误. 1.与集合中元素有关问题的解法 (1)确定集合的元素是什么,即是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异 性. 2.有关集合关系判断的解答策略 (1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据和突破口. (2)对于解集关系问题,往往利用数轴进行分析. (3)求解含参数的方程或不等式时,要对参数进行分类讨论.

在用数轴表示集合间的关系时,其端点能否取到一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集 合的端点相同,两个集合是否能同时取到端点往往决定集合之间的关系. (2013· 山东,2)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是 ( ) A.1 B.3 C.5 【答案】 C D.9

①当 x=0 时,y=0,1,2,x-y=0,-1,-2;

②当 x=1 时,y=0,1,2,x-y=1,0,-1; ③当 x=2 时,y=0,1,2,x-y=2,1,0. 综上可知,x-y 的可能取值为-2,-1,0,1,2.共 5 个. 考向 2 1.集合的运算及性质 集合的基本运算

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名称 符号 数学语言

交集 A∩B

并集 A∪B

补集 ?UA

A∩B = {x|x∈A 且 A∪B = {x|x∈A 或 ?UA={x|x∈U 且 x? x∈B} x∈B} A}

图形 A∩B?A, 运算性质 A∩B?B, A∩?=? B?A∪B, A?A∪B, A∪?=A A∪(?UA)=U A∩(?UA)=?, ?U(?UA)=A

空集(?)的特殊性: 在解题中, 若未指明集合非空时, 要考虑空集的可能性, 如 A?B, 则有 A=?和 A≠ ?两种可能,此时应分类讨论. 2.集合间运算性质的重要结论 (1)A∪B=A?B?A. (2)A∩B=A?A?B. (3)A∩B=A∪B?A=B. (4)狄摩根定律:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB); ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB). (1)(2014· 广东,1)已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N=( A.{0,1} B.{-1,0,2} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1} (2)(2014· 辽宁,1)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} ) )

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 【解析】 (1)利用 Venn 图求并集.根据题意画出 Venn 图,如图所示,故 M∪N={-1,0,1,2}.

(2)利用数轴分析求解. ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0,或 x≥1}.在数轴上表示,如图所示.

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∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. 【答案】 (1)C (2)D

【点拨】 解题(1)的关键是弄清并集的概念;解题(2)易忽视“=”成立与否而误选 C. 解决集合运算问题的方法 在进行集合运算时,要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化. (1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算,常采用 Venn 图法解决,此时要搞清 Venn 图中的各 部分区域表示的实际意义. (2)用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法解决,此时要注意“端点”能否取到. (3)若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解. 典型例题 2(2)中条件不变,则(?UA)∩B=________. 【解析】 ∵A={x|x≤0},

∴?UA={x|x>0}, ∴(?UA)∩B={x|x≥1}. 【答案】 {x|x≥1} 考向 3 集合的新定义问题

以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法 则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力. (2013· 广东,8)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n}.令集合 S={(x,y,z)|x,y, z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正 确的是( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 【解析】 方法一(直接法):因为(x,y,z)∈S,(z,w,x)∈S,所以①x<y<z,②y<z<x,③z<x<y, 三个式子中恰有一个成立;④z<w<x,⑤w<x<z,⑥x<z<w,三个式子中恰有一个成立,配对后只有四种 情况: 第一种:①⑤成立,此时 w<x<y<z,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;第二种:①⑥成立,此时 x<y<z<w,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;第三种:②④成立,此时 y<z<w<x,于是(y,z,w)∈S, (x,y,w)∈S;第四种:③④成立,此时 z<w<x<y,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.综合上述四种情况,
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可得(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S. 方法二(特殊值法):不妨令 x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2, 3,1)∈S,故选 B. 【答案】 B 【点拨】 本题是集合的新定义问题,以集合为载体考查不等式的性质,合理地运用不等式的传递 性是解题关键. 解决集合新定义问题的方法 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体 的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础, 也是突破口, 在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集合的性质. (2011· 福建, 12)在整数集 Z 中, 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要 条件是“a-b∈[0]”.其中正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 【答案】 C D.4 )

由于[k]={5n+k|n∈Z},对于①,2 011÷5 等于 402 余 1,∴2 011∈[1].对于②,

-3=-5+2,被 5 除应余 2,∴②错.对于③,任意一整数 x,被 5 除余数为 0,1,2,3,4,∴x∈ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],∴③正确.对于④,先证充分性,∵a,b 是同一类,可设 a=5n1+k,b=5n2 +k,则 a-b=5(n1-n2)能被 5 整除.下面证明必要性,若 a-b∈[0],则可设 a-b=5n,n∈Z,即 a= 5n+b,n∈Z.不妨令 b=5m+k,m∈Z,则 a=5n+5m+k=5(n+m)+k,n∈Z,m∈Z. ∴a,b 属于同一类,故④正确,则正确的有①③④,共 3 个. 思路点拨:本题是新定义题,以所有被 5 整除所得余数相同的数构成同一集合为载体,讨论了元素 与集合、集合与集合的关系.

1.(2015· 广东揭阳模拟,1)设全集 U=R,A={x|y=lg(1-x)},则?RA=( A.(-∞,1) B.(0,1)

)

C.[1,+∞) D.(1,+∞) 【答案】 C ∵y=lg(1-x),∴1-x>0,即 x<1,

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∴?RA={x|x≥1}.
? ?x+1 ? ? ? ≤0?,则 A∩B=( 2.(2015· 山东潍坊三模,1)已知集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},B=?x? ? ? ? ?x-3 ?

)

A.[-1,3]

B.{-1,3}

C.{-1,1} D.{-1,1,3} 【答案】 C
? ? ? ?x+1 ? ≤0?={x|-1≤x<3},又集合 A 为奇数集, ∵B=?x? ? ?x-3 ? ? ?

∴A∩B={-1,1},故选 C. 3.(2015· 河北唐山二模,2)集合 M={2,log3a},N={a,b},若 M∩N={1},则 M∪N=( A.{0,1,2} B.{0,1,3} C.{0,2,3} D.{1,2,3} 【答案】 D 因为 M∩N={1},所以 log3a=1,即 a=3,所以 b=1,即 M={2,1},N={3,1}, 所以 M∪N={1,2,3},故选 D. 4.(2014· 湖北黄冈中学质检,1)已知全集 U,集合 A?B?U,则有( A.A∩B=B B.A∪B=A C.(?UA)∩(?UB)=?UB 【答案】 C D.(?UA)∪(?UB)=?UB ) )

∵A?B?U, ∴A∩B=A, 故选项 A 不正确; A∪B=B, 故选项 B 不正确; (?UA)∩(?UB) )

=?U(A∪B)=?UB,故选项 C 正确;(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)=?UA,故选项 D 不正确.故选 C. 5.(2015· 安徽合肥模拟,2)已知全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x2-2x>0},则?U(A∪B)=( A.{x|x≤2} B.{x|x≥1}

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2} 【答案】 C 由 x2-2x>0 得 x>2 或 x<0,即 B={x|x<0,或 x>2},∴A∪B={x|x<0,或 x>1},

∴?U(A∪B)={x|0≤x≤1}. 6.(2014· 河南开封二模,1)设集合 U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表 示的集合为( A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1} 【答案】 B 易知 A={x|2x(x-2)<1}={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}= {x|x<1},则?UB={x|x≥1},阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. 7.(2015· 浙江金丽衢十二校联考,8)设集合 S={A0,A1,A2},在 S 上定义运算⊕:Ai⊕Aj=Ak,其
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)

中 k 为 i+j 被 3 除的余数, i, j∈{1, 2, 3}, 则使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0 成立的有序数对(i, j)总共有( A.1 对 B.2 对 【答案】 C C.3 对 D.4 对

)

i=1 时,j=1 符合要求;i=2 时,j=2 符合要求;i=3 时,j=3 符合要求,所以使

关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0 成立的有序数对(i,j)有(1,1),(2,2),(3,3),共 3 对. 思路点拨:按照 i=1,2,3 的顺序,寻找适合要求的 j 的值,使问题得解. 8. (2015· 福建泉州模拟, 11)已知全集 U=R, 集合 A={x|x2-x-2=0}, B={x|mx+1=0}, B∩(?UA) =?,则 m=________. 【解析】 【答案】 1 A={-1,2},若 B=?,则 m=0;若 B={-1},则 m=1;若 B={2},则 m=-2. 1 0,1,-2

9.(2015· 河北保定一模,14)若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A?B 成立的实数 a 的集合是________. 2a+1≤3a-5, 【解析】 【答案】 由数轴可得?2a+1≥3, {a|6≤a≤9}

?

?3a-5≤22,

解得 6≤a≤9.

10.(2015· 河南郑州质检,13)已知集合 A,B,定义集合 A 与 B 的一种运算 A⊕B,其结果如下表所 示: A B A⊕B {1,2,3,4} {2,3,6} {1,4,6} {-1,1} {-1,1} ? {-4,8} {-4,-2,0,2} {-2,0,2,8} {-1,0,1} {-2,-1,0,1} {-2}

按照上述定义,若 M={-2 012,0,2 013},N={-2 013,0,2 014},则 M⊕N=________. 【解析】 由给出的定义知,集合 A⊕B 的元素是由所有属于集合 A 但不属于集合 B 和属于集合 B

但不属于集合 A 的元素构成的, 即 A⊕B={x|x∈A 且 x?B, 或 x∈B 且 x?A}. 故 M⊕N={-2 012, 2 013, -2 013,2 014}. 【答案】 {-2 012,2 013,-2 013,2 014}

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1.(2015· 湖南,2,易)设 A,B 是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 由于 A∩B=A?A?B, )

)

所以 A∩B=A 是 A?B 的充要条件. 2.(2015· 安徽,3,易)设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A ∵2x>1,∴2x>20,x>0,

∴q:x>0.又∵p:1<x<2, ∴p?q 但 q p, ∴p 是 q 的充分不必要条件. 3.(2015· 北京, 4,易)设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α , “m∥β ”是“α∥β”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 若 α∥β 且 m?α , 则 m∥β 成立.但由 m?α ,m∥β 不能推出 α∥β, 如图所示. ∴“m∥β ”是“α∥β”的必要而不充分条件. 4.(2015· 安徽,5,易)已知 m,n 是两条不同直线,α ,β 是两个不同平面,则下 列命题正确的是( ) )

A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行 ,则在 α 内不存在 与 β 平行的直线 ... ... D.若 m,n 不平行 ,则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 ... ... 【答案】 D A 中,垂直于同一平面的两个平面可以平行,也可以相交;B 中,平行于同一平面 的两条直线可以相交,平行或异面;C 中,α 与 β 相交,只要在 α 内平行于两平面交线的直线必平行于 另一个平面;D 中,垂直于同一平面的两条直线一定平行.故选 D.

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5.(2015· 浙江,6,中)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中 card(A) 表示有限集 A 中元素的个数. 命题①:对任意有限集 A,B, “A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).( A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 【答案】 A 命题①显然正确. )

对于命题②:设 d(A)=a,d(B)=b,d(C)=c, 则 d(A,C)≤|a+c|=|a-b+b-c|≤|a-b|+|b-c|≤d(A,B)+d(B,C), 所以命题②也成立.故选 A. 6.(2015· 湖北,5,中)设 a1,a2,?,an∈R,n≥3.若 p:a1,a2,?,an 成等比数列;
2 2 2 2 2 2 q:(a1 +a2 2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=(a1a2+a2a3+?+an-1an) ,则(

)

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】 A ①证 p?q,假设{an}的公比为 t,

2 2 2 2 2 2 则 a2 1,a2,?,an-1;a2,a3,?,an;a1a2,a2a3,?,an-1an 也成等比数列,公比为 t . 2 2 2 2 2 ∴(a1 +a2 2+?+an-1)(a2+a3+?+an)

a2 1[1-(t ) = 1-t2
2

n-1

]

a2 2[1-(t ) · 1-t2
2

n-1

]



(a1a2+a2a3+?+an-1an)2

?a1a2[1-(t2)n =? 1-t2 ?

-1

]?2

? . ?

13

∴p?q. ②证 q 故选 A. p(特殊值法):

若{an}为常数列且 an=0 满足题意,但{an}不是等比数列.∴q p.

1.(2011· 陕西,1,易)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b 【答案】 B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b

)

D 命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则 a=-b”,故选 D. )

2.(2014· 浙江,2,易)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】

A 当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2=2i;若(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则 a2-b2=0,

2ab=2,解得 a=1,b=1 或 a=-1,b=-1,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件,故 选 A. 3.(2013· 福建,2,易)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 当 a=3 时,A={1,3},A?B;当 A?B 时,a=2 或 3,所以“a=3”是“A?B”的 充分而不必要条件,选 A. 4.(2013· 陕西,3,易)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 若 a 与 b 中有一个为零向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件;若 a 与 ) )

b 都不为零向量,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a· b=|a||b|cosθ ,由|a· b|=|a||b|得|cosθ |=1,则两向量的夹角 为 0 或π ,所以 a∥b.若 a∥b,则 a 与 b 同向或反向,故两向量的夹角为 0 或 π,则|cosθ |=1,所以|a· b| =|a||b|,故“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

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a b 5.(2012· 四川,7,易)设 a,b 都是非零向量.下列四个条件中,使|a|=|b|成立的充分条件是( A.a=-b B.a∥b

)

C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| 【答案】 C a b a b , 分别是与 a , b 同方向的单位向量,由 |a| |b| |a|=|b|得 a 与 b 的方向相同.而 a∥b

时,a 与 b 的方向还可能相反.故选 C. 6.(2014· 北京,5,中)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 16,?; 由{an}是递增数列也不能推出公比 q>1,如数列-16,-8,-4,-2,?. 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 方法二:当数列{an}的首项 a1<0 时,若 q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an}的首项 a1<0 时, 要使数列{an}为递增数列, 则 0<q<1, 所以“q>1”是 “数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故 选 D. 7.(2013· 山东,7,中)给定两个命题 p,q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 根据题意可知,q?綈 p,但綈 p q,那么其逆否命题 p?綈 q,但綈 q p,即 p 是綈 q 的充分而不必要条件. 方法点拨:本题利用等价法来判断 p 与綈 q 的关系,即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同 这一原理. 8.(2012· 安徽,6,中)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) ) D 方法一:(特殊值法):由 q>1 不能推出{an}是递增数列,如数列-2,-4,-8,- )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 先证“α⊥β?a⊥b” .∵α ⊥β ,α ∩β =m,b?β ,b⊥m,∴b⊥α .又∵a?α ,∴ b⊥a;再证“a⊥b α⊥β”.举反例,当 a∥m 时,由 b⊥m 满足 a⊥b,此时二面角 αmβ 可以为[0,

π ]上的任意角,即 α 不一定垂直于 β.故选 A.
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9.(2014· 天津,7,难)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】 C

)

先证“a>b”? “a|a|>b|b|” . 若 a>b≥0, 则 a2>b2, 即 a|a|>b|b|; 若 a≥0>b, 则 a|a|≥0>b|b|;

若 0>a>b,则 a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而 a|a|>b|b|. 再证“a|a|>b|b|”?“a>b” .若 a,b≥0,则由 a|a|>b|b|,得 a2>b2,故 a>b;若 a,b≤0,则由 a|a|>b|b|, 得-a2>-b2,即 a2<b2,故 a>b;若 a≥0,b<0,则 a>b. 综上, “a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.

考向 1 四种命题及其相互关系 1.四种命题的结构 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 2.四种命题间的关系 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p

3.四种命题间的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同. (2)两个命题互为逆命题或者互为否命题,它们的真假性没有关系.

如果原命题是“若 p,则 q”,则否命题是“若綈 p,则綈 q”,而命题的否定是“若 p,则綈 q”, 即只否定结论. π (1)(2012· 湖南,2)命题“若 α= 4 ,则 tan α =1”的逆否命题是( )

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π π A.若 α≠ 4 ,则 tan α ≠1 B.若 α= 4 ,则 tan α ≠1 π C.若 tan α ≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α ≠1,则 α= 4

(2)(2014· 陕西,8)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|” ,关于其逆命题,否命题,逆否命 题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 B.假,假,真 D.假,假,假 π ,结论是 q:tan α=1.由命题的四种形式,可知命题“若 p, 4 )

【解析】 (1)命题的条件是 p:α=

π 则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,显然綈 q:tan α≠1,綈 p:α≠ 4 ,所以该命题的逆否命题是 π “若 tan α≠1,则 α≠ 4 ” . (2)“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”为真命题,所以逆否命题也为真命题,逆命题为“若复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|,则 z1,z2 互为共轭复数”为假命题,所以否命题也为假命题,故选 B. 【答案】 (1)C (2)B

【点拨】 解题(1)的关键是熟练掌握命题的四种形式;解题(2)的方法是利用互为逆否命题的两个命 题真假性相同进行判断. 四种命题的关系及真假判断 (1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再分析每个命题的条件与结论之 间的关系,要注意四种命题关系的相对性. (2)判断命题真假的关键:一是识别命题的构成形式;二是将命题简化,对等价的简化命题进行判 断.要判断一个命题是假命题,只需举出反例. (2015· 山东菏泽模拟,3)有以下命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中正确的命题为( ) A.①② B.②③

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C.④

D.①②③

【答案】 D ①“若 x, y 互为倒数, 则 xy=1”是真命题; ②“面积不相等的三角形一定不全等”, 是真命题;③若 m≤1,Δ =4-4m≥0,所以原命题为真命题,故其逆否命题也是真命题;④由 A∩B= B,得 B?A,所以原命题为假命题,故其逆否命题也是假命题.故选 D. 考向 2 充分、必要条件的判断 1.充分、必要条件与充要条件的含义 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)若 p?q 且 q?p,则 p 是 q 的充要条件; (3)若 p?q 且 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (4)若 p q 且 q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)若 p q 且 q p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2.从集合角度理解充分、必要条件 记 p,q 对应的集合分别为 A,B,则有 ①A ? B,p 是 q 的充分不必要条件; ②A ? B,p 是 q 的必要不充分条件; ③A=B,p 是 q 的充要条件; ④A? B 且 A?B,p 是 q 的既不充分也不必要条件. 3.等价转换的思想 根据四种命题之间的两组等价关系,特别是原命题与其逆否命题的等价关系,可以把充分、必要条 件的判断进行相互转化. 例如, “綈 p 是綈 q 的充分不必要条件”, 等价于“p 是 q 的必要不充分条件”, 这种等价转化在一些比较抽象的充分、必要条件的判断中往往是化解难点的关键. (1)(2014· 福建,6)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是 1 “△OAB 的面积为2”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)(2014· 湖北,3)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?” 的( )

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A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 1 1 【解析】 (1)当 k=1 时,l:y=x+1,由题意不妨令 A(-1,0),B(0,1),则 S△AOB=2×1×1=2, 1 所以充分性成立;当 k=-1 时,l:y=-x+1,也有 S△AOB=2,所以必要性不成立. (2)如图可知,存在集合 C,使 A?C,B??UC,则有 A∩B=?.若 A∩B=?,显然存在集合 C,满足 A?C,B??UC.故选 C.

【答案】 (1)A (2)C 【点拨】 题(1)利用解析几何中直线与圆的位置关系并结合充分、必要条件的定义判断;题 (2)用

Venn 图更能直观地反映集合间的关系. 充分、必要条件的判断方法 (1)利用定义判断:直接判断“若 p,则 q”“若 q,则 p”的真假. (2)从集合的角度判断:利用集合中包含思想判定. (3)利用等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假.

在判断充分、必要条件时需要注意:(1)确定条件是什么、结论是什么;(2)尝试从条件推导结论,从 结论推导条件;(3)确定条件是结论的什么条件.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可 解决充分必要性的问题. (2014· 安徽,2)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0?x<0;而 x<0 -1<x<0.故选 B. 考向 3 根据充要条件求参数的范围 (2014· 河北石家庄高三模拟, 16)设命题 p: |4x-3|≤1; 命题 q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是________. 【思路导引】 本题应先求出 p,q 为真命题时所对应的条件,然后表示出綈 p 与綈 q,把綈 p 是 )

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綈 q 的必要不充分条件转化为綈 p 与綈 q 所对应集合之间的关系,列出参数 a 所满足的条件求解. 【解析】 设 A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.
? ?1 ? 1 解|4x-3|≤1,得2≤x≤1,故 A=?x?2≤x≤1?; ? ? ?

解 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1,故 B={x|a≤x≤a+1}.
? ? 1 ? 所以綈 p 所对应的集合为?R A=?x?x<2或x>1?,綈 q 所对应的集合为?R B={x|x<a 或 x>a+1}. ? ? ?

1 ? ?a≤ , 1 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,知?RB ??R A,所以? 2 解得 0≤a≤2. ? ?a+1≥1, 1? ? 故所求实数 a 的取值范围是?0,2?. ? ? 1? ? 【答案】 ?0,2? ? ? 根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之 间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参 数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 若典型例题 3 中 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 方法一:设 A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.

1 解|4x-3|≤1,得2≤x≤1,
? ?1 ? 故 A=?x?2≤x≤1?; ? ? ?

解 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1,故 B={x|a≤x≤a+1}. 由 p 是 q 的充分不必要条件,知 A ? B, 1 ? ?a≤ , 1 所以? 2 解得 0≤a≤2. ? ?a+1≥1, 1? ? 故所求实数 a 的取值范围是?0,2?. ? ? 方法二:綈 p 是綈 q 的必要不充分条件

20

?綈 q?綈 p,且綈 p?/ 綈 q. 根据命题的等价性 p?q,且 q?/ ∴p 是 q 的充分不必要条件, 即 p 是 q 的充分不必要条件?綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 1? ? ∴a 的取值范围是?0,2?. ? ? 【答案】 1? ? ?0,2? ? ? p,

1.(2015· 安徽马鞍山一模,4)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命 题是( )

A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 【答案】 A 否命题是原命题的条件和结论同时否定,故选 A. )

2.(2015· 山西大同模拟,3)设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2,且 b>2”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】 A 若 a+b>4,则不一定有 a>2 且 b>2,如 a=1,b=5;而当 a>2 且 b>2 时,必有 a+ b>4.故“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件. 3.(2015· 福建宁德一中月考,3)已知条件 p:x2+x-2>0,条件 q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条 件,则 a 的取值范围可以是( ) D.a≤-2

A.a≥1 B.a>1 C.a≥-1

【答案】 A 由 x2+x-2>0,得 x>1,或 x<-2.设 p 对应集合 M,q 对应集合 N,由题意知,N ? M,所以 a≥1. 4.(2015· 山东日照模拟,2)以下说法错误的是( )

A.命题“若 xy=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 xy≠0” B. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
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2 D.若命题 p:?x0∈R,x0 +x0+1<0,则綈 p:?x∈R,x2+x+1≥0

【答案】 题;

C

把原命题的结论和条件进行否定后,作为逆否命题的条件和结论即可,故 A 为真命

“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p,q 存在至少一个假命题,但 p,q 不一定均为假命题,故 C 为假命题; 命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0,故 D 为真命题. 4 5.(2015· 河南八校联考,4)设 p:f(x)=x3-2x2-mx+1 在(-∞,+∞)上单调递增;q:m<-3,则 p 是 q 的( )

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.以上都不对 【答案】 C 由题意知,f′(x)≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 3x2-4x-m≥0 在(-∞,+∞)上

4 4 ? 2?2 4 恒成立,∴m≤3x2-4x 在(-∞,+∞)上恒成立.由于 3x2-4x=3?x-3? -3≥-3,∴m≤-3,即 p: ? ? 4 m≤-3. 4 又 q:m<-3,∴p?/ q,但 q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. 6.(2015· 河北保定二模,4)“不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( 1 A.m>4 B.0<m<1 C.m>0 D.m>1 【答案】 C 1 由题意知,对应方程的 Δ=(-1)2-4m<0,即 m>4.结合选项可知,不等式恒成立的 )

一个必要不充分条件是 m>0,故选 C. 7.(2015· 河南省实验中学模拟,4)设条件 p:|x-2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数.若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是( A.(0,5] 【答案】 B.(0,5) )

C.[5,+∞) D.(5,+∞)

A 因为条件 p:|x-2|<3,所以可得 p:-1<x<5.又因为条件 q:0<x<a,其中 a 为正常

数,且 p 是 q 的必要不充分条件,即 q?p,所以 0<a≤5,故选 A. 8.(2015· 安徽芜湖三模,5)若 p:|3x-4|>2,q: 1 >0,则綈 q 是綈 p 的( x -x-2
2

)

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A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 2 2 ∵|3x-4|>2,∴3x-4>2 或 3x-4<-2,解得 x>2 或 x<3,∴p:x<3或 x>2,∴綈 p:

2 1 2 3≤x≤2.由x2-x-2>0,得 x -x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,解得 x>2 或 x<-1,∴q:x>2 或 x<-1,∴ 綈 q:-1≤x≤2.可知:綈 p?綈 q,反之不成立.故綈 q 是綈 p 的必要不充分条件.故选 C. 9.(2015· 湖南长沙模拟,12)r(x):已知 r(x)=sin x+cos x>m;s(x):x2+mx+1>0.如果?x∈R,r(x) 与 s(x)有且仅有一个是真命题,则实数 m 的取值范围是________. 【解析】 由 sin x+cos x ? π? = 2sin?x+ ?, 4? ? 得 sin x+cos x 的最小值为- 2. 若?x∈R 时,命题 r(x)为真命题,则 m<- 2.若命题 s(x)为真命题,即?x∈R,不等式 x2+mx+1>0 恒成立,则 Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.若命题 r(x)为真命题,命题 s(x)为假命题,则 m≤-2;若命题 r(x)为假命题,命题 s(x)为真命题,则- 2≤m<2. 综上所述,实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[- 2,2). 【答案】 (-∞,-2]∪[- 2,2)

1.(2015· 浙江,4,易)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是( A.?n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0

)

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D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0 【答案】 D 全称命题的否定为特称命题, “且”的否定为“或”. )

2.(2015· 课标Ⅰ,3,易)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n 【答案】 C B.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n

特称命题的否定是全称命题,故綈 p:?n∈N,n2≤2n.

π? ? 3.(2015· 山东,12,易)若“?x∈?0, ?,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 4? ? π? ? 【解析】 ?x∈?0, ?,tan x∈[0,1], 4? ? ∴m≥1, ∴m 的最小值为 1. 【答案】 1

1.(2012· 湖北,2,易)命题“?x0∈?RQ,x3 0∈Q”的否定是( A.?x0??R Q,x3 0∈Q B.?x0∈?R Q,x3 0?Q C.?x??R Q,x3∈Q D.?x∈?R Q,x3?Q 【答案】 D ?x∈?R Q,x3?Q,故选 D.

)

2.(2012· 辽宁,4,易)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈 p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

)

24

【答案】 C

把全称量词“?”改为存在量词“?” ,然后把“(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0”改为“(f(x2)

-f(x1))(x2-x1)<0”,即可得到该命题的否定形式,为“?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”. 3.(2014· 重庆,6,易)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.(綈 p)∧(綈 q) C.(綈 p)∧q 【答案】 D.p∧(綈 q) )

D 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0 恒成立,故 p 为真命

题;因为当 x>1 时,x>2 不一定成立,反之当 x>2 时,一定有 x>1 成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分 条件,故 q 为假命题,则 p∧q,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,(綈 p)∧(綈 q),(綈 p)∧q 为假命题,p ∧(綈 q)为真命题,故选 D. 方法点拨:判断复合命题的真假,要先判断每一个命题的真假,然后作出判断. 4.(2014· 湖南,5,易)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q; ②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ 【答案】 C C.②③ D.②④ )

若 x>y,则-x<-y 成立,即命题 p 正确;

若 x>y,则 x2>y2 不一定成立,即命题 q 不正确. 则綈 p 是假命题,綈 q 是真命题, 故 p∨q 与 p∧(綈 q)是真命题,故选 C. 5.(2012· 江西,5,中)下列命题中,假命题为( A.存在四边相等的四边形不是正方形 B.z1,z2∈C,z1+z2 为实数的充分必要条件是 z1,z2 互为共轭复数 C.若 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 至少有一个大于 1
0 1 D.对于任意 n∈N*,Cn +Cn +?+Cn n都是偶数

)

25

【答案】 B 选项 A 正确,如菱形即符合条件;选项 C 正确,可由反证法设每个数均小于或等于
1 n n 1,则两者的和最大只有 2,这与条件矛盾;选项 D 正确,因为 C0 n+Cn+?+Cn=2 ,一定为偶数.

6.(2012· 北京,14,难)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是________. 【解析】 由题意知 m≠0,∴f(x)=m(x-2m)(x+m+3)为二次函数,若?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0,

必须抛物线开口向下,即 m<0. f(x)=0 的两根 x1=2m,x2=-m-3,则 x1-x2=3m+3. 1 (1)当 x1>x2,即 m>-1 时,必须大根 x1=2m<1,即 m<2. (2)当 x1<x2,即 m<-1 时,大根 x2=-m-3<1,即 m>-4. (3)当 x1=x2,即 m=-1 时,x1=x2=-2<1 也满足条件. ∴满足条件①的 m 的取值范围为-4<m<0. 若?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,则满足方程 f(x)=0 的小根小于-4.

(1)当 m>-1 时,小根 x2=-m-3<-4 且 m<0,无解. (2)当 m<-1 时,小根 x1=2m<-4 且 m<0,解得 m<-2. (3)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2≤0 恒成立,∴不满足②. ∴满足①②的 m 的取值范围是-4<m<-2. 【答案】 (-4,-2)

思路点拨:对于条件①,首先判断 m<0,再结合图象,比较方程 f(x)=0 的大根与 1 的大小,确定 m 的取值范围;对于条件②,通过数形结合分析将问题转化为满足方程 f(x)=0 的小根小于-4 即可.

考向 1 1.綈 p,p∨q,p∧q 的真假判断

含逻辑联结词的命题的真假判断

26

p 真 真 假 假 2.否命题与命题的否定

q 真 假 真 假

綈p 假 假 真 真

p∨q 真 真 真 假

p∧q 真 假 假 假

否命题 否命题是既否定其条件,又否定其结论 区别 否命题与原命题的真假无必然联系

命题的否定 命题的否定只是否定命题的 结论 命题的否定与原命题的真假 总是相对立的,即一真一假

(1)(2013· 湖北,3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落 在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ) A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q)

C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨q (2)(2014· 辽宁, 5)设 a, b, c 是非零向量. 已知命题 p: 若 a· b=0, b· c=0, 则 a· c=0; 命题 q: 若 a∥b, b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 【解析】 (1)“至少有一位学员没有降落在指定范围”即甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在 指定范围或者甲、乙都没有降落在指定范围.又命题 p 是“甲降落在指定范围”,可知命题綈 p 是“甲 没有降落在指定范围”;同理,命题綈 q 是“乙没有降落在指定范围”,∴“至少有一位学员没有降落 在指定范围”可表示为(綈 p)∨(綈 q). (2)方法一:取 a=c=(1,0),b=(0,1),显然 a· b=0,b· c=0,但 a· c=1≠0,∴p 是假命题. a,b,c 是非零向量,由 a∥b 知 a=xb,由 b∥c 知 b=yc, )

27

∴a=xyc,∴a∥c,∴q 是真命题. 综上知 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题. 又∵綈 p 为真命题,綈 q 为假命题, ∴(綈 p)∧(綈 q),p∨(綈 q)都是假命题. 方法二:由于 a,b,c 都是非零向量,∵a·b=0,∴a⊥b.∵b· c=0,∴b⊥c.如图,则 可能 a∥c,∴a·c≠0,∴命题 p 是假命题,∴綈 p 是真命题.命题 q 中,a∥b,则 a 与 b 方向相同或相反;b∥c,则 b 与 c 方向相同或相反.故 a 与 c 方向相同或相反,∴a∥c,即 q 是真命题,则綈 q 是假命题,故 p∨q 是真命题,p∧q,(綈 p)∧(綈 q),p∨(綈 q)都是假命题. 【答案】 (1)A (2)A 1.“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式; (2)判断命题 p,q 的真假; (3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题的真假. 2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q 真?p,q 至少一个真?(綈 p)∧(綈 q)假. (2)p∨q 假?p,q 均假?(綈 p)∧(綈 q)真. (3)p∧q 真?p,q 均真?(綈 p)∨(綈 q)假. (4)p∧q 假?p,q 至少一个假?(綈 p)∨(綈 q)真. (5)綈 p 真?p 假;綈 p 假?p 真. (2015· 山东济宁一模,6)已知命题 p:函数 y=2-ax+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(1,2); 命题 q:若函数 f(x-1)为偶函数,则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.下列命题为真命题的是( A.p∧q B.(綈 p)∧(綈 q) C.(綈 p)∧q D.p∧(綈 q) 【答案】 B 对于函数 y=2-ax+1,当 x=1 时,y=2-a2≠2,所以函数图象不过点(1,2),因而 命题 p 为假命题;函数 f(x-1)为偶函数,则其图象关于 y 轴对称,又将 f(x-1)的图象向左平移 1 个单位 得函数 f(x)的图象,故函数 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,故命题 q 为假命题. 综上可知,綈 p 与綈 q 均为真命题,所以(綈 p)∧(綈 q)为真命题. )

28

易错点拨:本题易弄混 f(x-1)与 f(x)图象的平移方向而误选 C. 考向 2 含有一个量词的命题的否定 1.含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.其结构如下表所示: 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 2.复合命题的否定 (1)“綈 p”的否定是“p”. (2)“p∨q”的否定是“(綈 p)∧(綈 q)”. (3)“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”. 3.常用的否定词 正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于(=) 不等于(≠) 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于(>) 不大于(≤) 任意的 某个 至少有一个 一个也没有 小于(<) 不小于(≥) 所有的 某些 至多有 n 个 至少有 n+1 个 一定是 不一定是 任意两个 某两个 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

(1)(2013· 四川,4)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x ∈B,则( ) B.綈 p:?x?A,2x∈B )

A.綈 p:?x∈A,2x∈B

C.綈 p:?x∈A,2x?B D.綈 p:?x?A,2x?B (2)(2013· 重庆,2)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

【解析】 (1)将“?”改为“?” , “2x∈B”否定为“2x?B” ,即綈 p:?x∈A,2x?B. 2 2 (2)全称命题的否定是特称命题.“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为“存在 x0∈R,使得 x0 <0” ,

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故选 D. 【答案】 (1)C (2)D

【点拨】 全称命题与特称命题的否定都必须按照其既定的形式来写,应注意两个方面:一是量词 的改写,二是性质 p(x)的否定.对性质 p(x)的准确否定是解决问题的关键. 对含有一个量词的命题进行否定的方法 (1)全称命题“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)” ;特称命题“?x∈M,p(x)”的否定为“?x ∈M,綈 p(x)” . (2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作:①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词; ②将结论加以否定.

这类问题常见的错误是没有变换量词,或者对于结论没给予否定.有些命题中的量词不明显,应注 意挖掘其隐含的量词. (2015· 山东滨州模拟,3)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】 项知 D 正确. 考向 3 全称命题、特称命题的真假判断 ) D 该命题是全称命题,其否定是特称命题,即存在实数,它的平方不是正数,结合选 )

(1)(2015· 贵州贵阳模拟,3)下列命题是假命题的是( A.?α ,β ∈R,使 sin(α+β)=sin α +sin β B.?φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
2 C.?x0∈R,使 x3 0+ax0+bx0+c=0(a,b,c∈R 且为常数)

D.?a>0,函数 f(x)=ln2x+ln x-a 有零点 ?x+y≥1, (2)(2014· 课标Ⅰ,9)不等式组? 的解集记为 D.有下面四个命题: ?x-2y≤4 p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2; p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2;

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p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3; p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3 C.p1,p4 B.p1,p2 D.p1,p3

π π? ? 【解析】 (1)取 α=0 时,sin(α+β)=sin α+sin β,A 正确;取 φ= 2 时,函数 f(x)=sin?2x+ ? 2? ? =cos 2x 是偶函数,B 错误;对于三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x→-∞时,y→-∞,当 x→+∞
3 2 时,y→+∞,又 f(x)在 R 上为连续函数,故?x0∈R,使 x0 +ax0 +bx0+c=0,C 正确;当 f(x)=0 时,ln2x

1?2 1 1 ? +ln x-a=0,则有 a=ln2x+ln x=?ln x+2? -4≥-4,所以?a>0,函数 f(x)=ln2x+ln x-a 有零点,D ? ? 正确,综上可知选 B. ?x+y≥1, (2)不等式组? 表示的平面区域 D 如图阴影区域所示. ?x-2y≤4

设 z=x+2y,作出基本直线 l0:x+2y=0,经平移可知直线 l:z=x+2y 经过点 A(2,-1)时 z 取得 最小值 0,无最大值.对于命题 p1:由于 z 的最小值为 0,所以?(x,y)∈D,x+2y≥0 恒成立,故 x+2y≥ -2 恒成立,因此命题 p1 为真命题;由于?(x,y)∈D,x+2y≥0,故?(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命题 p2 为真命题;由于 z=x+2y 的最小值为 0,无最大值,故命题 p3 与 p4 错误,故选 B. 【答案】 (1)B (2)B 【点拨】 解答本题的关键是正确理解全称命题、特称命题的定义,掌握判断全称命题、特称命题 真假的方法. 1.判定全称命题真假的方法

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(1)定义法:对给定的集合中的每一个元素 x,p(x)都为真,则全称命题为真. (2)特值法:在给定的集合内找到一个 x0,使 p(x0)为假,则全称命题为假. 2.判定特称命题真假的方法 特值法:在给定的集合中找到一个 x0,使 p(x0)为真,则特称命题为真,否则命题为假. π? ? (2015· 山西大同模拟,5)已知命题 p:?x0∈R,x0-2>lg x0;命题 q:?x∈?0, ?,sin x 2? ? 1 +sin x≥2,则( ) B.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(綈 q)是假命题

A.命题 p∨q 是假命题

C.命题 p∧(綈 q)是真命题 【答案】 C

π? ? 当 x=10 时,10-2>lg 10=1 成立,所以命题 p 是真命题;因为 x∈?0, ?,所以 2? ? π? 1 1 ? sin x·sin x=2, 当且仅当 sin x=sin x, 即 sin x=1 时等号成立, 又 x∈?0, ?, 2? ?

1 sin x>0, sin x+sin x≥2

所以 sin x≠1,故等号不成立,从而命题 q 为假命题,由此可知选项 C 正确.

1.(2015· 河南省实验中学模拟,3)已知命题 p:?x∈R,sin x≤1,则綈 p 是(

)

A.?x∈R,sin x≥1

B.?x∈R,sin x≥1

C.?x∈R,sin x>1 D.?x∈R,sin x>1 全称命题的否定是特称命题,故綈 p:?x∈R,sin x>1.

【答案】

C

2.(2015· 四川资阳模拟,5)已知命题 p:?x0∈R,x2 0+ax+a<0,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取

值范围是(

)

A.[0,4]

B.(0,4)

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C.(-∞,0)∪(4,+∞) D.(-∞,0]∪[4,+∞) A 由于 p 是假命题,所以綈 p 是真命题,即綈 p:?x∈R,x2+ax+a≥0,所以 Δ=a2

【答案】

-4a≤0,解得 0≤a≤4. 3.(2015· 山东泰安模拟,2)如果命题“綈(p∨q)”为真命题,则( A.p,q 均为真命题 B.p,q 均为假命题 C.p,q 中至少有一个为真命题 D.p,q 中一个为真命题,一个为假命题 【答案】 B 因为綈(p∨q)为真命题,所以 p∨q 为假命题,所以 p,q 均为假命题,故选 B. )

π 4.(2015· 广东揭阳一模,5)已知命题 p:函数 y=sin 4x 是最小正周期为 2 的周期函数,命题 q:函 ?π ? 数 y=tan x 在? ,π ?上单调递减,则下列命题为真命题的是( ?2 ? A.p∧q B.(綈 p)∨q C.(綈 p)∧(綈 q) D.(綈 p)∨(綈 q) 2π π ?π ? 【答案】 D 函数 y=sin 4x 的最小正周期 T= 4 = 2 , 所以 p 是真命题; 函数 y=tan x 在? ,π ? ?2 ? 上单调递增,故 q 是假命题,所以綈 p 为假,綈 q 为真,从而(綈 p)∨(綈 q)为真,故选 D. 5.(2015· 云南昆明三模,5)若“p:?x0∈[1,4],log1x0≤a”是真命题,则实数 a 的最小值是(
2

)

)

A.0 B.1 C.-2 【答案】 【答案】 C

D.-1

问题转化为 y=log1x0 在 x0∈[1,4]上的取值范围,则 y∈[-2,0],故选 C.
2

6.(2014· 山东青岛二模,5)已知命题 p:函数 f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)内恰有一个零点;命题 q: 函数 y=x2-a 在(0,+∞)上是减函数.若 p∧(綈 q)为真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(-∞,2]
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)

C.(1,2] 【答案】 【答案】

D.(-∞,1]

C

由题意可得,对命题 p,令 f(0)· f(1)<0,即-1· (2a-2)<0,得 a>1;对命题 q,令 2

-a<0,即 a>2,则綈 q 对应的 a 的取值范围是 a≤2.∵p∧(綈 q)为真命题,∴实数 a 的取值范围是(1, 2]. 7.(2015· 河北衡水调研,15)直线 x=1 与抛物线 C:y2=4x 交于 M,N 两点,点 P 是抛物线 C 准线 → =aOM → +bON → (a,b∈R),其中 O 为抛物线的顶点. 上的一点,记OP → → (1)当OP与ON平行时,b=________; (2)给出下列命题: ①?a,b∈R,△PMN 不是等边三角形; → 与ON → 垂直; ②?a<0 且 b<0,使得OP ③无论点 P 在准线上如何运动,a+b=-1 恒成立. 其中,所有正确命题的序号是________. → =(1,2), (1)∵OM → ON=(1,-2), → =aOM → +bON → =(a+b,2a-2b). ∴OP → ∥ON → ,∴2a-2b+2(a+b)=0, ∵OP ∴a=0.∵抛物线的准线为 x=-1,点 P 在准线上,∴P 点的横坐标为-1, ∴a+b=-1,∴b=-1. (2)对于①,假设是等边三角形,则 P(-1,0),|PM|=2 2,|MN|=4,|MN|≠|PM|,这与假设矛盾, → 与ON → 垂直,OP → ·ON → =0,得到 a=5b,∴②正确;③显然成 ∴假设不成立,原结论正确;对于②,OP 3 立. 【答案】 (1)-1 (2)①②③

→ ,ON → 及OP → 的坐标表示出,利用共线向量坐标运算求解;解题(2)判断 思路点拨:解题(1)时需将OM ①时可采用反证法.

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(时间:45 分钟__分数:80 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2014· 北京,1)已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} B.{0,1} 【答案】 C C.{0,2} D.{0,1,2} )

∵A={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2}.故选 C. )

2. (2015· 河南郑州模拟, 2)已知集合 A={x|x>2}, B={x|x<2m}, 且 A??RB, 那么 m 的值可以是( A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】

A 由 B={x|x<2m},得?R B={x|x≥2m},∵A??R B,

∴2m≤2,m≤1,故选 A. 3.(2015· 四川绵阳一模,2)下列说法中正确的是( )

A.命题“?x∈(0,+∞),2x>1”的否定是“?x0?(0,+∞),2x0≤1” B.命题“?x∈(0,+∞),2x>1”的否定是“?x0∈(0,+∞),2x0≤1” C.命题“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题是“若 a2<b2,则 a<b” D.命题“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题是“若 a2≥b2,则 a≥b” 【答案】 B 根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论,同时,全称量词要变成特称量

词,而逆否命题既要否定条件又要否定结论,所以分析四个选项可知应该选 B. 4.(2014· 安徽,2)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 若 ln(x+1)<0,则 0<x+1<1,-1<x<0,∴“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条 件. 5.(2015· 安徽蚌埠三模,3)下列命题的否定为假命题的是( A.?x∈R,x2+2x+2≤0 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 D.?x∈R,sin2x+cos2x=1 【答案】 D 对 A,由于 x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,故 A 为假命题,因而其否定为真命题;对 B, 该命题为假命题, 因而其否定为真命题; 对 C, 该命题为假命题, 因而其否定为真命题, 由于 sin2x+cos2x =1,x∈R 恒成立,故 D 的否定为假命题. ) )

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6.(2015· 山东青岛三中模拟,4)设 α,β 为两个不同平面,m,n 为两条不同的直线,且 m?α ,n? β ,有两个命题: p:若 m∥n,则 α∥β;q:若 m⊥β,则 α⊥β. 那么( )

A. “綈 p 或 q”是假命题 B. “綈 p 且 q”是假命题 C. “綈 p 或 q”是假命题 D. “綈 p 且 q”是真命题 【答案】 D 若分别位于两个平面内的两条直线平行,则这两个平面可能平行,也可能相交,故 命题 p 为假;由面面垂直的判定定理可知命题 q 为真,故綈 p 且 q 是真命题. 7.(2015· 贵州遵义四中模拟,4)若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.(-1,0) C.[-1,0] 【答案】 C D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 因为 a<a + 2 ,所以不等式 (x-a)[x-(a+2)]≤0 的解为 a≤x≤a +2 ,由题意知,

?a≤0, ? 解得-1≤a≤0. ?a+2≥1, 8.(2015· 山西太原模拟,4)若 p,q 是两个简单命题,且“p∨q”的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 C .p 真 q 假 【答案】 B.p 假 q 假 D.p 假 q 真 )

B 由题意知,綈(p∨q)为真,故 p∨q 为假,则 p,q 同假. )

9.(2015· 辽宁沈阳二模,4)有关下列命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为若“x2=1,则 x≠1” B. “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 【答案】 D 对 A, 命题“若 x2=1, 则 x=1”的否命题为“若 x2≠1, 则 x≠1”; 对 B, “x=-1” 是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件;对 C,命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,x2

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+x+1≥0”,对 D,命题“若 x=y,则 sin x=sin y”为真命题,故其逆否命题也为真命题.综上可知 D 正确. 10.(2015· 河南安阳模拟,5)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补.记 φ(a, b)= a2+b2-a-b,那么“φ (a,b)=0”是“a 与 b 互补”的( A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 由 φ(a,b)=0,即 a2+b2-a-b=0,得 a2+b2=(a+b)2,得 ab=0,从而 a 与 b 互 )

补,反之也成立,故“φ(a,b)=0”是“a 与 b 互补”的充要条件. 11.(2015· 河北唐山一模,4)下列关于命题的说法错误的是( )

A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B. “a=2”是“函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p:?n∈N,2n>1 000,则綈 p:?n∈N,2n≤1 000 D.命题“?x∈(-∞,0),2x<3x”是真命题 【答案】 D 因为命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”, 所以 A 正确;由 a=2 能得到函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数,反之,函数 f(x)=logax 在区 间(0,+∞)上为增函数,a 不一定等于 2,所以“a=2”是“函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函 数”的充分不必要条件,所以选项 B 正确;命题 p:?n∈N,2n>1 000 的否定为綈 p:?n∈N,2n≤1 000, 所以 C 正确;因为当 x<0 时恒有 2x>3x,所以命题“?x∈(-∞,0),2x<3x”为假命题,所以 D 不正确. 12.(2014· 浙江杭州调研,10)如图,有六个半径都为 1 的圆,其圆心分别为 O1(0,0),O2(2,0), O3(4,0),O4(0,2),O5(2,2),O6(4,2).记集合 M={⊙Oi|i=1,2,3,4,5,6}.若 A,B 为 M 的非 空子集, 且 A 中的任何一个圆与 B 中的任何一个圆均无公共点, 则称(A, B)为一个“有序集合对”(当 A≠B 时,(A,B)和(B,A)为不同的有序集合对).那么,M 中“有序集合对”(A,B)的个数是( )

A.50 B.54 C.58 D.60

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【答案】 B 注意到⊙O1 与⊙O3,⊙O5,⊙O6 均无公共点,集合{⊙O3,⊙O5,⊙O6}共有 7 个非 空子集,显然它的每个非空子集与集合 {⊙O1} 均可组成满足题意的“有序集合对”,同理可得集合 {⊙O3},{⊙O4},{⊙O6}分别有 7 个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”,集合{⊙O2},{⊙ O5}分别有 3 个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”,但其中重复的有 8 个,因此满足题意的 “有序集合对”(A,B)中,其中的一个集合仅有一个元素的共有(7×4+3×2-8)×2=52(个).若“有序 集合对”的两个集合各有两个元素,则共有 2 个,即({⊙O1,⊙O4},{⊙O3,⊙O6})和({⊙O3,⊙O6}, {⊙O1,⊙O4}),因此,满足题意的“有序集合对”共有 52+2=54(个),选 B. 思路点拨:本题考查集合的新定义问题,解题关键是先弄清楚新定义提供的信息. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2013· 江苏,4)集合{-1,0,1}共有________个子集. 【解析】 集合{-1,0,1}的子集有?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,

0,1},共 8 个. 【答案】 8

14.(2015· 山西太原模拟,13)已知 p:x<1 或 x>3,q:a-1<x<a+1,若綈 q 是綈 p 的必要不充分条 件,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 【答案】 綈 p?綈 q,则 q?p,∴a+1≤1 或 a-1≥3,即 a≤0 或 a≥4. (-∞,0]∪[4,+∞)

?-1,x∈M, 15.(2014· 广东揭阳二模,13)对于集合 M,定义函数 fM(x)=? 对于两个集合 A,B,定 ?1,x?M. 义集合 A△B={x|fA(x)·fB(x)=-1}.已知 A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法 写出集合 A△B 的结果为________. 【解析】 要使 fA(x)· fB(x)=-1,必有 x∈{x|x∈A 且 x?B}∪{x|x∈B 且 x?A}={1,6,10,12},所

以 A△B={1,6,10,12}. 【答案】 {1,6,10,12}

16.(2014· 山东临沂高三模拟,13)已知命题 p:|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,命题 q:y=(2a-1)x 为 减函数,若“p 且 q”为真命题,则 a 的取值范围是________. 【解析】 由绝对值不等式得|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,当且仅当-1≤x≤1 时等号成立,

2 即|x-1|+|x+1|的最小值为 2.若不等式|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,则 3a≤2,即 a≤3.若函数 y=(2a-1)x

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2 a≤3, ? ? 1 为减函数,则 0<2a-1<1,即2<a<1,由“p 且 q”为真命题知命题 p,q 均为真命题,因此有? 即 1 ? ?2<a<1, 1 2 ?1 2? ?2,3?. < a ≤ ,故 a 的取值范围是 2 3 ? ? 【答案】 ?1 2? ?2,3? ? ?

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