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导学案15 1.5.3定积分的概念

时间:2014-03-06


高二数学导学案

编号 015 班级

姓名

编制人

王保才
使用日期 2014-2-29

§1.5.3 定积分的概念
学习目标: 1..通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ;

能用定积分的定义求简单的定积分; 2. 理解掌握定积分的几何意义。 重点: 1.用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 2.掌握定积分的基本性质 难点 .理解掌握定积分的几何意义:

自主学习过程: 一、复习与思考: 1、求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程,都可以通过“四步曲”解决,这四个步骤是什么? 2、在求解过程中,区间的分法和每个区间中 f (? i ) 的选取是任意的吗? 二、了解感知: 探究一:定积分的定义: 问题 1:对于由直线 x=a,x=b(a<b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S,可以归结为 一个什么形式的和的极限? 问题 2:对于做变速直线运动的物体,若速度函数为 v=v(t),则物体在 a≤t≤b 时段内行驶的路程 s, 可以归结为一个什么形式的和的极限? 新知 1:一般地,设函数 f ( x) 在区间[ a , b ]上连续,用分点 将区间[ a , b ]等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x = 点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式 ,在每个小区间 ? xi ?1 , xi ? 上取一

, 如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时, ,

上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数 f ( x ) 在区间[ a , b ]上的定积分。记为: 即 。 其中 叫做积分区间, 是积分上限, 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式。 思考 1:曲边梯形的面积和变速运动的路程可以用定积分如何表示? 思考 2:定积分是一个确定的值吗? 是积分下限,

b 思考 3:用定义求定积分的方法步骤是什么?定积分 ?a f ( x)dx 的值由哪些要素所确定?

探究二、定积分的几何意义与性质
b 问题 3:如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,且 f ( x) ≥0,那么定积分 ?a f ( x)dx 的几何意义是什么?
b 新知 2:如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) ≥0,那么定积分 ?a f ( x)dx 表示由直线 x ? a , x ? b

(a? b ) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积。

1

思考 1:如果 f ( x) <0 呢? 思考 2:你能用定积分表示右图中阴影部分的面积吗?

新知 3:定积分有如下性质:
b b ⑴ ?a (其中 k 是常数) kf ( x)dx ? k ?a f ( x)dx ;
b b b ⑵ ?a [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ?a f1 ( x)dx ? ?a f 2 ( x)dx b c b ⑶ ?a f ( x)dx = ?a f ( x)dx + ?c f ( x)dx (其中 a < c < b )

三、深入学习: 例 1:利用定积分的定义,计算定积分 ?12 ( x ? 1)dx 。

1 例 2:计算定积分 ?0 (2x ? x 2 )dx 。

变式练习:计算下列定积分:
1 5 1 1. ?0 (2 x ? 4)dx ;2. ??1| x | dx ;3. ?0 x 3 dx 。

【迁移应用】 1、直线 y ? 0 , y ? 2009, x ? 2009, x ? 2010围成平面图形的面积可表示为(
2009 A. ?0 2010dx 2010 B. ?0 2009dx 2010 C. ?2009 2009 dx 2010 D. ?2009 2010 dx



2、下列等式成立的是(
b A. ?a 0dx ? b ? a

) 1 b B. ?a xdx ? 2

1 1 C. ?? | x | dx ? 2?0 | x | dx 1

b b D. ?a ( x ? 1)dx ? ?a xdx

2

高二数学限时训练 编号 015 班级 姓名 考号

编制人 王保才
使用日期 2014-2-29

6 6 1、已知定积分 ?0 f ( x)dx ? 8 ,且 f ( x) 为偶函数,则 ??6 f ( x)dx =(

) D.8

A.0

B.16 )

C.12

2、下列结论中成立的个数是(
1 3 x dx ? ? ① ?0 n

i3
3

i ?1 n

?

n i3 n i ?1 1 1 1 1 1 3 ;② ?0 x dx ? ? ( ) 3 ? ;③ ?0 x 3 dx ? lim ? 3 ? n ?? i ?1 n n n n i ?1 n

。 D.3

A.0

B.1 )

C.2

2 2 3、根据定积分的定义, ?0 x dx =(

A. ? (
i ?1

n

i ?1 2 1 ) ? n n

B. lim ? (
n?? i ?1

n

i ?1 2 1 ) ? n n

C. ? ( ) 2 ?
i ?1

n

2i n

2 n

D. lim ? ( ) 2 ?
n?? i ?1

n

2i n

2 n

2 2 x 4、已知 ?0 e dx ? e 2 ?1 ,则 ?0 3e x dx 等于(

) D. e 2 ? 1 。 ;

A. 6e 2 ? 6
?

B. 3e 2 ? 3

C. e x ? 1

5、若 ?02 cos xdx =1,则由 x ? 0 , x ? ? , f ( x) ? sin x 及 x 轴围成的图形的面积是
1 3 2 6、已知 ?0 x dx ? , ?1 x 3 dx ?

1 4

15 7 56 2 4 2 , ?12 x 2 dx ? , ?2 ,则 ?0 3x 3 dx = x dx ? 4 3 3

4 2 ?1 6 x dx =

; ?12 (3x 2 ? 2x 3 )dx =

。 。

7、由 y ? sin x , x ? 0 , x ? ?? , y ? 0 所围成的图形的面积写成定积分的形式是 S= 8、计算定积分 ? 1 ? x 2 d x =
?1 1



5 9、利用定积分的几何意义计算 ?? [2 ? 9 ? ( x ? 2) 2 ]dx 。 1

3

1 10、已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,且 f (?1) ? 2 , f ' (0) ? 0 , ?0 f ( x)dx = – 2,求 a, b, c 的值。

*11、下列式子中不成立的是
2? ? a 2? ?b A. ?a sin xdx = ?b cos xdx


?


?

B. ?02 sin xdx = ?02 cos xdx
? ? D. ?0 | sin x | dx = ?0 | cos x | dx

? ? C. ?0 sin xdx = ?0 cos xdx

*12、简化下列各式,并画出各题所表示的图形的面积。
?2 2 1 (1) ?? x dx + ??2 x 2 dx ; 3

1 2 (2) ?0 (1 ? x)dx + ?1 ( x ?1)dx 。

4

(15)CC CBDB

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

12、6,0,–4 13、C

(15)CC CBDB

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

12、6,0,–4 13、C

(15)CC CBDB

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

12、6,0,–4 13、C

(15)CC CBDB

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

12、6,0,–4 13、C

(15)CC CBDB 12、6,0,–4

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

13、C

(15)CC CBDB

7、2 8、12,126,– 14、略

1 2

9、– ???sin xdx

0

10、 3 ? ?

2 3

11、 12 ? ?

9 2

12、6,0,–4 13、C

5


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