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2007.1.4立体几何中的向量方法(二)


立体几何中的向量方法(二)
引入
知识要点

练习巩固

思考1

例1

例1的思考

作业:课本 P

120

练习 2,3 P

121

习题 3
1


立体几何中的向量方法(二)
立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 上一节,我们认识了直线的方向向量及平面 的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 行、垂直、夹角等问题.

2

问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , ? C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6) ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 则 n ? AB , ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) n 3 ? ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ?y ? 4 x ? ∴? 即? ∴? ?( x, y, z ) ? ( ?3,0, 2) ? 0 ? ?3 x ? 2z ? 0 ?z ? 3 x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6) ? ∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
方法小结
3

问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ?n ? a ? 0 ? 组 ?? ? ?n ? b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习巩固
4

练习: ??? ? ??? ? 1.已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位 1 2 2 1 2 2 法向量. ( , ,) ( ? , , ) ? ? 或 .
3 3 3 3 3 3

2. 若 两 个 平 面 ? , ? 的 法 向 量 分 别 是 ? ? u ? (1,0,1), v ? (?1, ?1,0) ,则这两个平面所成的锐二面 ? z 角的度数是________. 60

思考题.如图,PA⊥平面 ABC,

AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.

y

x

5

1详细答案

思考题

练习: ??? ? ??? ? 1. 已 知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量. ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ??? ? ? 则 n ? AB , ? AC . n ? y ? ?2 x ?( x, y, z ) ? (2, 2,1) ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ∴ ? ① ∴? 即? ?z ? 2x ?( x, y, z ) ? (4,5, 3) ? 0 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0
1 ∵ x ? y ? z ? 1 ②∴由①②得 x ? ? 3 1 2 2 1 2 2 ? ? ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( , ,) ( ? , , ). 或 3 3 3 3 3 3
2 2 2
6

思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. z 分析: 若用几何法本题不太好处 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理,从而把问 x 题转化为向量运算问题.
解:建立坐标系如图,

y

?? 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),
1答案

则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP =(0,0,1), AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), CP ? (0, ?1,1) ,
7

方法小结

思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,

z

则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP =(0,0,1), AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), ? ? (0, ?1,1) , ??x ???CP ?? ? m ? AP ? 0 ? 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 ? ?? ??? ? ? m ? AB ? 0 ? ?? ? ( x , y , z ) ? (0, 0,1) ? 0 ? y ? ? 2x ? ? ∴? ∴? ,令 x=1,则 m =(1, ? 2,0) ,
? ??? ? ? ? n ? CB ? 0 ? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x?, y?, z?) , 则 ? ? ??? ? ? n ? CP ? 0 ? ? ??0 ? ? ? ? x
?( x , y , z ) ? ( 2,1, 0) ? 0 ? ? ? z?0

? ? 3 ? ? m?n 3 ∴cos ? m, n? ? ? ? ? ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 3 | m || n | 3

?( x , y , z ) ? ( 2,0,0) ? 0 ? ∴? 令 y? ? ?1, n ? (0, ?1, ?1) ? ?( x?, y?, z?) ? (0, ?1,1) ? 0 ? y? ? z ? ?

8

刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难 进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量

表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题
转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助);

(化为向量问题或向量的坐标问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题;

(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义. (回到图形)
9

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以

顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角
都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的 长与棱长有什么关系? 解:如图1,不妨设
AB ? AA1 ? AD ? 1 , A1 ?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?

D1 B1 D B

C1

化为向量问题 依据向量的加法法则, ???? ??? ??? ???? ? ? ? ?

C

AC? ? AB?? AD ????? 1 AA 1 ???? ??? ??? ? ?
2

图1 AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 进行向量运算 ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 ) ? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60? ) ? 6 ???? ? 回到图形问题 所以| AC1 |? 6
2

A

这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
课外思考(1)(2)(3)

6 倍。
10

思考: (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于? , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C D1 C1

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离)
???? ??? ??? ???? ? ? ? ? 思考(1)分析: BD ? BA ? BC ? BB 1 1 其中 ?ABC ? ?ABB1 ? 120? , B1 BC ? 60? ?

易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.

思考(2)分析: 设 AC1 ? a , ? AD ? AA1 ? x , BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? AB ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ???? 2 ??? 2 ???? 2 ???? 2 ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? 由 AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

即 a 2 ? 3 x 2 ? 2(3 x 2 cos ? ) ? x ?

1 a 3 ? 6cos ?
11

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
思考(3)下一节分析

思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析:面面距离转化为点面距离来求
解: 过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
A1 B1 D B D1 C1

C

???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos60? ? cos60? ? 1. ???? ???? ? AA ? AC 1 6 ???? 1 ???? ? ? ? cos ?A1 AC ? ? sin?A1 AC ? 3 | AA1 | ? | AC | 3

H 由 ?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 A ? H 在 AC上. ???? 2 ??? ??? 2 ? ? AC ? ( AB ? BC ) ? 1 ? 1 ? 2cos 60? ? 3 ? AC ? 3

?

如何用向量法求点到平面的距离?

6 6 ∴ 所求的距离是 . A1 H ? AA1 sin?A1 AC ? 3 3

12

如何用向量法求点到平面的距离?
课外思考题: 如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 4, E、 F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC z =2,求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0), D C F(4,2,0),G(0,0,2). x ???? ??? ?
EF ? (2, ?2, 0), EG ? ( ?2, ?4, 2), ??? ? BE ? (2, 0, 0)

F
E B

设平面 EFG 的一个法向量 A ? 为 n ? ( x, y, z )

作业:课本 P

120

练习 2,3 P

121

习题 3

y
13

? ???? ? ??? ? n ? EF, ? EG n ?2 x ? 2 y ? 0 ?? ? ?2 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? 1 1 ? n ? ( , ,1) 3 ???? 3

z
G

x
F A

D

C

? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? ? n 11

y ? 若平面?的斜线AO交? 于点O, e是单位法向量, ???? ? 则A到平面?的距离为d ?| AO ? e |
作业:课本 P

评注 :

E

B

120

练习 2,3 P

121

习题 3

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