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空间向量与立体几何复习

时间:2011-07-05


空间向量与立体几何复习 空间向量与立体几何复习 向量与立体几何
一. 空间向量的概念及其线性运算 1.在空间,既有大小又有方向的量称为向量,可以用有向线段;用 AB 或 a 表示 2.空间向量的加法法则: ①三角形法则(首尾相接由起到终)且可以推广到任意多边形; ②平行四边形法则(只适用于两个不共线的向量) 3.空间向量的减法法则:三角形法则(共起点,连终点,指向被减向

量) 4.空间向量的数乘: λ a 是一个向量。其长度 λ a = λ a ;方向为当 λ > 0 时, λ a 与 a 同向,当

λ < 0 时, λ a 与 a 反向,当 λ = 0 或 a = 0 时, λ a = 0
5.空间向量的加法和数乘运算律

r r r r 交换律: a + b = b + a ;结合律: (a + b) + c = a + (b + c) ;分配律: λ (a + b) = λ a + λ b

注:因为空间任意两个向量一定共面,所以其线性运算的定义以及运算律与平面向量一样 二.空间向量的共线 1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线 向量或平行向量 r 规定: 0 与任一向量共线 (故“ 若a // b, b // c 则a // c ”是错误的)
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a , b (a ≠ 0) , b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ , 使 b = λ a (向量形式) 3. 与 a 共线的单位向量 e = ±

1 a

a

三.共面向量定理
r r u r r r 1.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有 u r r r 序实数组 x, y ,使得 p = xa + yb
2.空间四点共面定理:

uuu r uuu r uuu r uuur 设空间任意一点 O 和不共线三点 A, B, C ,点 P 满足 OP = xOA + yOB + zOC ,
P, A, B, C 四点共面的充要条件是 x + y + z = 1

三.空间向量的坐标表示

ur uu ur r u r 1.空间向量基本定理:如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在惟一的有 u r ur uu r ur 序实数组 ( x, y, z ) ,使 p = xe1 + ye2 + ze3 。 ur uu ur r ur uu ur r 注:① {e1 , e2 , e3 } 称为空间的一个基底, e1 , e2 , e3 叫作基向量
空间向量 1

②如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底;当一个正 r r r 交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用 {i, j , k} 表示 2.推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任意一点 P ,都存在惟一的有序实数组
uuu r uuu r uuu r uuur ( x, y, z ) ,使得 OP = xOA + yOB + zOC 。 r r r 3.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,分别取与 x, y, z 轴同向的单位向量 i, j , k 为基向量,则对空间

r r ur uu r ur 任一向量 a ,存在惟一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 a = xe1 + ye2 + ze3 ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫做
r r 向量 a 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 a = ( x, y, z )
4.向量的坐标运算: r r r r r 已知 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z1 ) ,则 a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z2 ) , λ a = (λ x1 , λ y1 , λ z1 )

注:一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 r r r r 5.向量平行的坐标表示: a / / b(a ≠ 0) ? x2 = λ x1 , y2 = λ y1 , z2 = λ z1
6.若△ABC 的重心为 G(G 分中线 2:1) O 为平面内任意一点,则 OG = OA + OB + OC ; ,
3

若 已 知
(

A ( x1 , y1 , z1 ) ,

B ( x2 , y2 , z2 ) , C ( x3 , y3 , z3 ) , 则 重 心

G

的 坐 标 为

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 , , ) 3 3 3 四.空间向量的数量积 r r r r r r 1.若 a , b 是非零向量,则 a ? b = a b cos < a, b >

B

r r 其中θ是 a , b 的夹角,其范围是 0 ≤< a, b >≤ π

r b
r r < a, b > r a

r r r r 规定: 0 ? a = a ? 0 = 0
特别地
a = a
2 2

r r r r a?b ; cos < a, b >= r r a b

O

A

r r r r r r 注:① < a, b > 是锐角 ? a ? b > 0 且 a 与 b 不共线;
② < a, b > 是直角,即 a ⊥ b ? a ? b = 0 ③ < a, b > 是钝角 ? a ? b < 0 且 a 与 b 不共线;

r r r r

r

r

r r
r

r r

r

r r r r 2.设空间两个非零向量为 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
特别地
r a = x12 + y12 + z12 r r ; cos < a, b >= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x12 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2

空间向量 2

r r r r r a ?b 3.向量 b 在向量 a 方向的投影是 b cos < a, b >= r a r r r r (1)a ? b = b ? a r r r r r r r r 4.向量数量积的运算律 : (2)(λ a ) ? b = a ? (λ b) = λ (a ? b) = λ a ? b r r r r r r r (3)(a + b) ? c = a ? c + b ? c r r r r r r 注:一般情况下数量积不满足结合律即 (a ? b)c ≠ a (b ? c)

五. 直线的方向向量与平面的法向量 r r 1.直线的方向向量:直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量

r r 2.平面的法向量:若干表示非零向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面 α ,那么称向量 n 为
平面 α 的法向量 六.空间向量的应用 (一)证“平行与垂直” 1.证“线线平行或垂直”

r u r 设空间两条直线 l1 , l2 的方向向量是 l1 , l2 ,则 r u r ① l1 / / l2 ? l1 / / l2 r u r ② l1 ⊥ l2 ? l1 ⊥ l2
注:三垂线定理以及逆定理 (1)定理 定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和 定理 这条斜线垂直 A 符号表示: 符号表示:已知 AC,AB 分别是平面 α 的垂线和斜线,C,B 分别是垂足和斜足, a ? α ,

若a ⊥ BC ,则 a ⊥ AB ;

α

B

C a

(2)逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平 逆定理: 逆定理 A 面内的射影垂直 符号表示: 符号表示:已知 AC,AB 分别是平面 α 的垂线和斜线,C,B 分别是垂足和斜足, a ? α , 若 a ⊥ AB ,则 a ⊥ BC .

2.证“线面平行或垂直”

α

B

C a

r r 设空间直线 l 的方向向量是 l ,平面 α 的法向量是 n ,则
①平行

r r 法一: l ⊥ n ? l / /α ; r r r r r r r r 法二:在平面 α 找不共线的向量 a, b ,使 n 可以由 a, b 可以线性表示 n = xa + yb ,则有 l / /α
②垂直

r r 法一: l / / n ? l ⊥ α
空间向量 3

r r r r r r 法二:在平面 α 找不共线的向量 a, b ,证得 l ? a = 0, l ? b = 0 ,则有 l ⊥ α

3. 证“面面平行或垂直”

ur uu r 设空间两个平面 α1 , α 2 的法向量是 n1 , n2 ,则
①平行

ur uu r 法一: n1 / / n2 ? α1 / /α 2
法二:线面平行(见 2①) ? 面面平行 ②垂直 ur uu r 法一: n1 ⊥ n2 ? α1 ⊥ α 2 法二:线面垂直(见 2②) ? 面面垂直 (二)空间的角的计算 1.空间两条异面直线所成的角 θ (1)定义: a 与 b 是异面直线,经过空间任意一点 O ,作直线 a '/ / a, b '/ / b ,则 a ' 与 b ' 所成的锐角(或直角) 叫做异面直线 a, b 所成的角。
(2)两条异面直线所成角的范围是 ? 0,

? π? ? 2? ?

r r r r (3)设空间两条异面直线 a, b 的方向向量是 a, b ,则夹角 < a, b > 与 θ 相等或互补
(4)求 a, b 所成的角 θ 的一般步骤:

r r r r r r a ?b ①求 cos < a, b >= r r ;②利用 cos θ = cos < a, b > a b
2. 空间直线 l 与平面 α 所成的角 θ
(1)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这个直线与这个 : 平面所成的角.如:右图中∠PQP 是斜线 PQ 与平面 α 所成的角. 1 P 注:①若一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;若一条直线与平面平行或在 平面内,则它们所成的角是 0° 的角. ② ∠PQP 是直线 PQ 与平面 α 内经过点 Q 的直线所成的角中最小的角. 1 (2)直线与平面所成角的范围是 [0,
P1

Q

π

2

]

r r rr π (3)设空间直线 l 的方向向量是 l ,平面 α 的法向量是 n ,则夹角 < l , n >= ? θ 2
(4)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ 的一般步骤: r r rr rr l ?n ①求 cos < l , n >= r r ;②利用 sin θ = cos < l , n > l n
3.二面角 α ? l ? β 的大小 θ
(1)二面角:一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角 的棱,每个半平面叫做二面角的面。
空间向量 4

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。它的范围是 [0 , π ]

ur uu r ur uu r (3)设平面 α , β 的法向量分别是 n1 , n2 ,则夹角 < n1 , n2 > 与 θ 相等或互补
(4)二面角 α ? l ? β 的大小 θ 的一般步骤:
ur uu r ur uu r n1 ? n2 ① 求 cos < n1 , n2 >= ur uu ; ② 由 图 形 判 断 是 锐 二 面 角 还 是 钝 二 面 角 , 若 是 锐 二 面 角 则 r n1 n2 ur uu r ur uu r cos θ = cos < n1 , n2 > ;若是钝二面角则 cos θ = ? cos < n1 , n2 >

空间向量 5


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