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高一年级数学竞赛队摸底测试题

时间:2011-10-13


高一年级数学竞赛队摸底测试题
命题人:江西省万年中学 汪振有 班级 姓名 得分 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 10 分,共 80 分。 ) 1 、 已 知 集 合 M={x | x ∈ N 且 8 - x ∈ N } , 则 集 合 M 的 元 素 个 数 为 。 2.函数

f : ? ,2? ? ? ,2? 1 1
x ?1

,记 x ?1

满足 。

f

? f ?x ?? ?

f ?x ? ,

则这样的函

数个数共有 3.设 则

f ( x) ?

f1 ( x) ? f ( x) ,若 f n ( x) ? f ( f n ( x)) ,


f 2010 ( x) ?
y ? x ?1 x

4.求函数

的值域为



5. 已知函数 f ( x) ? ? 为 .
2

?? x ? 1 (?1 ? x ? 0) ,则 ? x ? 1 (0 ? x ? 1) ?
2

f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集

6. 如图所示,将 n 个正整数 1,2,3,…, n 填入到

n? n 个方格中,使
8 1 5 9 6 7 2

得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方。如右 图就是一个 3 阶幻方。 定义 f (n) 为 n 阶幻方对角线上数的和。 例如

f (3) ? 15 ,那么 f (4) =
f ( x)
满足:对任意
2



7. 设 多 项 式

x?R

3 ,都有 4

f ( x? 1 )? f ( x? 1 ? )
为 。

x ? 2

x x 4 则 f (, ) 的 最 小 值

8. 已 知 集 合

A ? ?1, 2,3,..., 2n, 2n ? 1? 的 子 集 B 满 足 : 对 任 意 的

x, y ? B, x ? y ? B, 则集合 B 中元素个数的最大值为

二、 (非选择题,共 70 分)
9. (本小题 20 分) 某网民用电脑上因特网有两种方案可选:一是在家里上网, 费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分。现有政策规定:通讯费为 0.02 元/分钟,但每月 30 元封顶(即超过 30 元则只需交 30 元) ,网络维护费 1 元/分钟,但每月上网不超过 10 小时则要交 10 元;二是到附近网吧上网,价格 为 1.5 元/小时。 (Ⅰ)将该网民在某月内在家上网的费用 y(元)表示为时间 t(小时)的函数; (Ⅱ)试确定在何种情况下,该网民在家上网更便宜。

10. ( 本 小 题 25 分 ) 若 非 零 函 数 f (x) 对 任 意 实 数 a, b 均 有

f ( a b? ? )

f( a ) ?

f( b ) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 1 ;

(Ⅰ)求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)求证:判断函数 f (x) 的单调性; (Ⅲ)当 f (4) ?

1 1 2 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x ) ? 16 4

11. (本小题 25 分)平行四边形 ABCD 中,M、N 分别在 AB、BC 上,AN 与 CM 相交于 Q。 (1)若 AN=CM,求证:DQ 平分 ?AQC ; (2)若 AM=CN. 求证:DQ 平分 ?ADC

竞赛参考答案: 一:1、9 个;2、3 个;3、

1? 1 ? ;4、 ? 0,1? ;5、 ? ?1, ? ? ? ? 0,1? ;6 、34; 2? 3 ?
2

7、-2

注: f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 2 ? ?2 ;8、n+1 注:首先,B ? ?1,3,5,..., 2n ? 1?
2

满足题意,且 B ? n ? 1 。其次,设 B 中最大的元素为 k ? 2n ? 1, 将 1,2,…,2n 分成 n 组:?1, 2n ? , ? 2, 2n ? 1? ,..., ? n, n ? 1? . 由抽屉原理可知,若 B ? n ? 2 ,则必有 B 中的两个元 素在同一组,两数和等于 2n ? 1 ,与已知矛盾,所以 B ? n ? 1. 如果 k ? 2n ? 1, 同理可得

B ? n ? 1. ,所以集合 B 中的元素个数的最大值为 n ? 1。

?10 ? 1.2t ? ? 二、9. (Ⅰ) y ? ?2.2t ? ?t ? 30 ?

(0 ? t ? 10 ) (10 ? t ? 25) (t ? 25)

(Ⅱ)上网时间超过 60 小时则在家上网便宜。

(解题过程略) x x x 10. (Ⅰ) f ( x) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )] 2 ? 0, 又 f ( x) ? 0, 则 f ( x) ? 0 。 2 2 2
(Ⅱ)令 a ? b ? 0 , f (0) ? f (0) ? f (0) ? 1 或 f (0) ? 0 (舍去)
2

令 a ? b ? 0 ,得 f ( x) ? f (? x) ? 1,? f (? x) ?

1 , f ( x)

设定义域内的两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? 1, 且f ( x) ? 0 , f ( x2 )

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则f ( x) 为减函数。
(Ⅲ) f (4) ?

1 1 1 ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? , f ( x ? 3) ? f (5 ? x 2 ) ? ? f (2) 16 4 4

即 f (2 ? x ? x 2 ) ? f (2), 且f ( x)是R上的减函数,则2 ? x ? x 2 ? 2,得0 ? x ? 1 , 故原不等式的解集是 {x | 0 ? x ? 1} 11、略


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