nbhkdz.com冰点文库

湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

时间:2016-08-14


湖北省黄冈中学 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1. (5 分) A.i
2

=() B . ﹣1
2

C. 1

r />D.﹣i

2. (5 分)经过圆 x ﹣2x+y =0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是() A.x+2y﹣1=0 B.x﹣2y﹣2=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y+2=0 3. (5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方 形边长的概率为() A. B. C. D.

4. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 =2.1x+0.85,则 m 的值为() A.1 B.0.85
x x

C.0.7

D.0.5 ) ,tanx>sinx 下列是真命题的

5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,使 2 >3 ;命题 q:?x(0, 是() A.(﹣p)∧q

B.(﹣p)∨(﹣q) C.p∧(﹣q)

D.p∨(﹣q)

6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形,该几何体的四个 顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0,2, 0)则第五个顶点的坐标可能为()

A.(1,1,1)

B.(1,1,



C.(1,1,



D.(2,2,



7. (5 分)程序框图如图所示,当 A=

时,输出的 k 的值为()

A.23

B.24

C.25

D.26

8. (5 分)如图,已知抛物线是的焦点 F 恰好是双曲线 交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为()



=1 的右焦点,且两条曲线的

A.

+1

B. 2

C.

D.

﹣1

9. (5 分)我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小 的单位是分贝 (dB) , 对于一个强度为 I 的声波, 其音量的大小 η 可由如下公式计算: η=10lg (其中 I0 是人耳能听到的声音的最低声波强度) ,则 70dB 的声音强度 I1 是 60dB 的声音强度 I2 的() A. 倍 B.10 倍 C.10 倍 D.ln 倍

10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 下列说法正确的个数是() ①f(x)的图象关于直线 x=﹣ ②f(x)的图象关于点(﹣ 对称 ,0)对称

)的部分图象如图所示,

③若关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣ 为(﹣2,﹣ ]

,0]有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围

④将函数 y=2cos2x 的图象向右平移

个单位可得到函数 f(x)的图象.

A.0

B. 1

C. 2

D.3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= ,则 ? =.

12. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 4x+2y 的取值范围是.

13. (5 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 底面是边长为 1 的正三角形, AA1⊥平面 ABC, AA1= ,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角的大小为.

14. (5 分)已知 cos(θ+

)=﹣

,θ∈(0,

) ,则 sin(2θ﹣

)=.

15. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=cosx+x, 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是.

16. (5 分)如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,以 A 为圆心,AC 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 BA 延长线于 A1,记弧 CA1 的长为 l1;以 B 为圆心,BA1 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 CB 延长线于 A2,记弧 A1A2 的长为 l2;以 C 为圆心,CA2 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 AC 延长线于 A3,记弧 A2A3 的长为 l3,则 l1+l2+l3=.如此继续以 A 为圆心,AA3 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 AA1 延长线于 A4,记弧 A3A4 的长为 l4,…,当弧长 ln=8π 时,n=.

17. (5 分)定义 min{a,b}=

,设函数 f(x)=min{2

,|x﹣2|},若动直线 y=m

与函数 y=f(x)的图象有三个交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范 围为.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 18. (12 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 4sinAsinC﹣4cos ﹣2. (Ⅰ)求角 B 的大小 (Ⅱ)若 C= ,b=2,求△ ABC 的面积 S.
2

=

19. (12 分)已知数列{an}的奇数项是首项为 1 公差为 d 的等差数列,偶数项是首项为 2 公比 为 q 的等比数列.数列{an}前 n 项和为 Sn,且满足 S3=a4,a3+a5=2+a4. (1)求 d 和 q 的值; (2)求数列{an}的通项公式和前 n 项和为 Sn. 20. (13 分) 已知在如图的多面体中, AE⊥底面 BEFC, AD∥EF∥BC, CF=BE=AD=EF= BC=2, AE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF; (3)求此多面体 ABCDEF 的体积.

21. (14 分)已知函数 f(x)=e +ax,g(x)=ax﹣lnx,其中 a<0,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若 g(x)在(1,g(1) )处的切线 l 与直线 x﹣3y﹣5=0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)在 x∈[0,2]上的最小值;

x

(Ⅲ)试探究能否存在区间 M,使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性?若能存 在,说明区间 M 的特点,并指出 f(x)和 g(x)在区间 M 上的单调性;若不能存在,请说 明理由.

22. (14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

的焦距为 2,一个

顶点与两个焦点组成一个等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)椭圆 C 的右焦点为 F,过 F 点的两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 l2 与直线 x=4 交于 T 点. (i)求证:线段 PQ 的中点在直线 OT 上; (ii)求 的取值范围.

湖北省黄冈中学 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1. (5 分) A.i =() B . ﹣1 C. 1 D.﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、复数的周期性即可得出. 解答: 解:∵
4 503 3

=

=

=i,i =1.

4

∴原式=(i ) ?i =﹣i. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数的周期性,属于基础题. 2. (5 分)经过圆 x ﹣2x+y =0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是() A.x+2y﹣1=0 B.x﹣2y﹣2=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y+2=0 考点: 直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.
2 2

专题: 直线与圆. 分析: 通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标,求出直线的斜率,然后求出所求直线的方程 即可. 2 2 解答: 解:因为圆 x ﹣2x+y =0 的圆心为(1,0) , 与直线 x+2y=0 平行的直线的斜率为:﹣ . 所以经过圆 x ﹣2x+y =0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是: y=﹣ (x﹣1) , 即 x+2y ﹣1=0. 故选 A. 点评: 本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标,直线的斜率与直线的点斜式方程的求法, 考查计算能力. 3. (5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方 形边长的概率为() A. B. C. D.
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ,两条长度为 ,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,4 条长度为 ∴所求概率为 = . ,两条长度为 ,

故选:B. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 4. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 =2.1x+0.85,则 m 的值为() A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点 代入线性回归方程求出 m 的值. 解答: 解:∵ = = , = ,

∴这组数据的样本中心点是( ,

) ,

∵关于 y 与 x 的线性回归方程 =2.1x+0.85, ∴ =2.1× +0.85,解得 m=0.5,

∴m 的值为 0.5. 故选:D. 点评: 本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均 数,是一个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题. 5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,使 2 >3 ;命题 q:?x(0, 是() A.(﹣p)∧q
x x

) ,tanx>sinx 下列是真命题的

B.(﹣p)∨(﹣q) C.p∧(﹣q)

D.p∨(﹣q)

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. x x 分析: 对于命题 p,容易发现 x=﹣1 时,2 >3 成立,所以命题 p 是真命题;对于 ?x∈ , ,所以便可得到 tanx>sinx,所以命题 q 是真命题,
x x

然后根据¬p,p∧q,p∨q 的真假和 p,q 真假的关系即可找出正确选项. 解答: 解:x=﹣1 时,2 >3 ,∴命题 p 是真命题; ,x ∴0<cosx<1,sinx>0; ∴ , ; ;

即 tanx>sinx,∴命题 q 是真命题; ∴¬p 是假命题, (¬p)∧q 是假命题,¬q 是假命题, (¬p)∨(¬q)是假命题,p∧(¬q) 是假命题,p∨(¬q)为真命题. 故选 D. 点评: 考查指数函数的值域,指数函数的图象,正弦函数、余弦函数的值域,切化弦公式, 以及真假命题的概念,¬p,p∧q,p∨q 真假和 p,q 真假的关系. 6. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形,该几何体的四个 顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0,2, 0)则第五个顶点的坐标可能为()

A.(1,1,1)

B.(1,1,



C.(1,1,



D.(2,2,



考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由三视图可知该几何体为正四棱锥,根据四个点的坐标关系确定第 5 个点的坐标即 可. 解答: 解:由三视图可知该几何体为正四棱锥,该几何体的四个顶点在空间直角坐标系 O ﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0,2,0) , 设 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) , 则 AB=2,BC=2,CD=2,DA=2, ∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标, 设顶点为 P(a,b,c) , 则 P 点在 xoy 面的射影为底面正方形的中心 O'(1,1,0) , 即 a=1,b=1, 由正视图是正三角形,∴四棱锥侧面的斜高为 2,则四棱锥的高为 , 即 c= , ∴P 点的坐标为(1,1, ) , 故第五个顶点的坐标为(1,1, ) , 故选:C.

点评: 本题主要考查三视图的识别和应用,利用三视图确定该几何体为正四棱锥是解决本 题的关键,然后根据坐标关系即可确定第 5 个顶点的坐标,考查学生的空间想象能力. 7. (5 分)程序框图如图所示,当 A= 时,输出的 k 的值为()

A.23

B.24

C.25

D.26

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算 S= ∵A= + + +…+ = 的值,

,退出循环的条件为 S≥A, = 满足条件,

当 k=24 时,

故输出 k=24, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是程序框图,分析出程序的功能是解答的关键.

8. (5 分)如图,已知抛物线是的焦点 F 恰好是双曲线 交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为()



=1 的右焦点,且两条曲线的

A.

+1

B. 2

C.

D.

﹣1

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标,代入双曲线,把 =c 代入整理得 c ﹣ 6a c +a =0 等式两边同除以 a ,得到关于离心率 e 的方程,进而可求得 e. 解答: 解:由题意,∵两条曲线交点的连线过点 F
2 2 4 4 4

∴两条曲线交点为( ,p) ,

代入双曲线方程得



又 =c 代入化简得 c ﹣6a c +a =0 4 2 ∴e ﹣6e +1=0 2 2 ∴e =3+2 =(1+ ) ∴e= +1 故选:A. 2 2 2 点评: 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系:c =a +b 注意与椭 圆的区别. 9. (5 分)我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小 的单位是分贝 (dB) , 对于一个强度为 I 的声波, 其音量的大小 η 可由如下公式计算: η=10lg (其中 I0 是人耳能听到的声音的最低声波强度) ,则 70dB 的声音强度 I1 是 60dB 的声音强度 I2 的() A. 倍 B.10 倍 C.10 倍 D.ln 倍
4 2 2 4

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题设中的定义,将音量值代入 η=10lg 再计算出即可求出倍数 解答: 解:由题意,令 70=lg ,解得,I1=I0×10 ,令 60=lg
70

,计算出声音强度 I1 与声音强度 I2 的值,

,解得,I2=I0×10 ,

60

所以

=10

故选:C. 点评: 本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用,熟练掌握对数运算性质是解答的 关键

10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 下列说法正确的个数是()

)的部分图象如图所示,

①f(x)的图象关于直线 x=﹣ ②f(x)的图象关于点(﹣

对称 ,0)对称 ,0]有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围

③若关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣ 为(﹣2,﹣ ]

④将函数 y=2cos2x 的图象向右平移

个单位可得到函数 f(x)的图象.

A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可知 A,可求 T,ω,当 x= 可得函数 f(x)的解析式:f(x)=2sin(2x+ 的图象的对称轴,可得①不正确;由 2x+ 可得②不正确;若 x∈[﹣ 时取得最大值 2,结合|φ|< ) ,由 2x+ =2kπ ,可求 φ,从而

,k∈Z 可解得:f(x)

=kπ,k∈Z 可解得 f(x)的图象的对称中心为, ∈[﹣ , ],可得:f(x)=2sin(2x+ )

,0],可得:2x+

∈[﹣2, ],由正弦函数的图象可得③正确;由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得 ④不正确. 解答: 解:由题意可知 A=2,T=4( 当 x= ﹣ )=π,ω=2, +φ) ,|φ|< ) , ,k∈Z,可得①不正 ,所以 φ= ,

时取得最大值 2,所以 2=2sin(2×

函数 f(x)的解析式:f(x)=2sin(2x+ 由 2x+ 确; 由 2x+ 正确; 若 x∈[﹣ ,0],可得:2x+ ∈[﹣ , =2kπ

,k∈Z 可解得:f(x)的图象的对称轴为:x=k

=kπ,k∈Z 可解得:f(x)的图象的对称中心为: (

,0) ,k∈Z,可得②不

],可得:f(x)=2sin(2x+

)∈[﹣2,

],

由正弦函数的图象可得若关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣ 实数 m 的取值范围为(﹣2,﹣ 将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 ﹣ )]=2cos(2x﹣ )=2sin[ ],故③正确;

,0]有两个不相等的实数根,则

个单位可得到函数 f(x)的解析式为:f(x)=2cos[2(x ﹣(2x﹣ )]=2sin( ﹣2x)

=﹣2sin(2x﹣

) ,故④不正确.

综上,故选:B. 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换,属于基本知识的考查. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= ,则 ? =1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积的性质即可得出. 解答: 解:∵| + |= 平方相减可得: =4,解得 = =1. ,| ﹣ |= = ,

故答案为:1. 点评: 本题考查了数量积的性质,属于基础题.

12. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 4x+2y 的取值范围是[2,10].

考点: 不等关系与不等式;简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 方法一:根据实数 x,y 满足 ,可得 0≤2x≤4, 即 0≤4x≤8,即 2≤2y≤2,

进而得到 2≤4x+2y≤10; 方法二:令 4x+2y=m(x+y)+n(x﹣y) ,构造方程组可求出 m,n 值,进而根据不等式的基 本性质可得 2≤3(x+y)+(x﹣y)≤10. 解答: 解:方法一:∵1≤x+y≤3…① ﹣1≤x﹣y≤1,…② 由①+②,得到 0≤2x≤4 ④ ④×2 得到 0≤4x≤8 ⑤ 由①﹣②,得到 2≤2y≤2⑥

最后⑤+⑥得到 2≤4x+2y≤10 故答案为:[2,10] 方法二:令 4x+2y=m(x+y)+n(x﹣y) 则 解得 即 4x+2y=3(x+y)+(x﹣y) ∵1≤x+y≤3 ∴3≤3(x+y)≤9…① 又∵﹣1≤x﹣y≤1,…② ∴2≤3(x+y)+(x﹣y)≤10 故答案为:[2,10] 点评: 本题考查的知识点是不等式的性质,其中方法二中,使用待定系数法,结合不等式 的基本性质求解要求熟练掌握. 13. (5 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 底面是边长为 1 的正三角形, AA1⊥平面 ABC, AA1= ,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角的大小为 .

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 取 AC 的中点 D,连接 BD,C1D,则∠BC1D 是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角,求 出 BD= ,BC1= ,即可得出结论.

解答: 解:取 AC 的中点 D,连接 BD,C1D,则 BD⊥AC, ∵AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥BD, ∵AA1∩AC=A, ∴BD⊥平面 ACC1A1, ∴∠BC1D 是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角, ∵底面是边长为 1 的正三角形,AA1= , ∴BD= ,BC1= ,

∴sin∠BC1D= ,

∴∠BC1D= 故答案为:

. .

点评: 本题考查直线与平面所成的角,考查学生的计算能力,正确作出直线与平面所成的 角是关键. ,θ∈(0,

14. (5 分)已知 cos(θ+

)=﹣

) ,则 sin(2θ﹣

)=



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得 θ+ 式求得 sin2θ=﹣cos (2θ+ ﹣cos2θsin 的值. )=﹣ ,θ∈(0, )= , = , )cos(θ+ = + )=﹣ , = , ) , ∈( , ) ,sin(θ+ )= ,再利用诱导公式、二倍角公 ) =sin2θcos

) 的值、 cos2θ=sin2 (θ+

) 的值, 从而求得 sin (2θ﹣

解答: 解:∵cos(θ+ ∴θ+ ∈( ,

) ,sin(θ+ )=1﹣2

∴sin2θ=﹣cos(2θ+ cos2θ=sin2(θ+ sin(2θ﹣ 故答案为:

)=2sin(θ+

)=sin2θcos .

﹣cos2θsin

点评: 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题. 15. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=cosx+x, 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是[ ,2].

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由偶函数的定义和运用导数判断函数在 x>0 上的单调性,可将不等式 f(log2a)+f (log a)≤2f(1) 化简为 f(log2a)≤f(1) ,即 f(|log2a|)≤f(1) ,即|log2a|≤1,解得即可得到 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , ∵当 x∈(0,+∞)时,f(x)=cosx+x, ∴f′(x)=1﹣sinx≥0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(log2a)+f(log a)≤2f(1)

即 f(log2a)+f(﹣log2a)≤2f(1) , ∴2f(log2a)≤2f(1)即 f(log2a)≤f(1) , 即 f(|log2a|)≤f(1) , ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴|log2a|≤1, 即﹣1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 故答案为:[ ,2]. 点评: 本题考查函数的性质及运用,考查函数的奇偶性、单调性及运用,注意函数的定义 域,注意运用导数判断单调性,属于中档题. 16. (5 分)如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,以 A 为圆心,AC 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 BA 延长线于 A1,记弧 CA1 的长为 l1;以 B 为圆心,BA1 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 CB 延长线于 A2,记弧 A1A2 的长为 l2;以 C 为圆心,CA2 为半径,沿逆时针方向 画圆弧,交 AC 延长线于 A3,记弧 A2A3 的长为 l3,则 l1+l2+l3=4π.如此继续以 A 为圆心, AA3 为半径, 沿逆时针方向画圆弧, 交 AA1 延长线于 A4, 记弧 A3A4 的长为 l4, …, 当弧长 ln=8π 时,n=12.

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据弧长公式,分别求出 l1、l2、l3,因此发现规律,进行归纳总结. 解答: 解:由题意 l1= l2= , ,

l3=



所以 l1+l2+l3=4π; l8=8π,即 ,解得 n=12;

故答案为:4π;12. 点评: 本题考查了归纳推理;关键是由具体的前三个弧长发现规律并进行猜测总结.

17. (5 分)定义 min{a,b}=

,设函数 f(x)=min{2

,|x﹣2|},若动直线 y=m

与函数 y=f(x)的图象有三个交点,它们的横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3 的取值范 围为 .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的定义作出函数 f(x)的图象,根据函数图象有三个交点,确定三 个交点之间的关系即可得到结论. 解答: 解:由 2 =|x﹣2|, 2 平方得 4x=x ﹣4x+4, 2 即 x ﹣8x+4=0, 解得 x=4+2 或 x=4﹣2 , 设 x1<x2<x3, 作出函数 f(x)的图象如图: 则 0<x1<4﹣2 ,x2 与 x3,关于 x=2 对称, 则 x2+x3=4, 则 x1+x2+x3=x1+4, ∵0<x1<4﹣2 , ∴4<4+x1<8﹣2 , 即 x1+x2+x3 的取值范围为 故答案为: ,

点评: 本题主要考查函数与方程的应用,根据定义作出函数的图象,结合函数的对称性是 解决本题的关键.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 18. (12 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 4sinAsinC﹣4cos ﹣2. (Ⅰ)求角 B 的大小 (Ⅱ)若 C= ,b=2,求△ ABC 的面积 S.
2

=

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)运用二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式,结合三角形的内角和定理,即 可得到 B 的大小; (Ⅱ)运用正弦定理,求得 c,再由余弦定理,可得 a,再由三角形的面积公式计算即可得到. 解答: 解: (Ⅰ)由条件得 4sinAsinC=2(2 即 4sinAsinC=2cos(A﹣C) 化简得 cos(A+C)= ∵0<A+C<π,∴ 又 A+B+C=π, ∴B= ; ,则 , ,∴ . 点评: 本题考查正弦定理和余弦定理和面积公式的运用,同时考查三角函数的恒等变换公 式的运用,考查运算能力,属于中档题. 19. (12 分)已知数列{an}的奇数项是首项为 1 公差为 d 的等差数列,偶数项是首项为 2 公比 为 q 的等比数列.数列{an}前 n 项和为 Sn,且满足 S3=a4,a3+a5=2+a4. (1)求 d 和 q 的值; (2)求数列{an}的通项公式和前 n 项和为 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意联立方程组解得即可; (2)分 n 为奇数、偶数分别求得. 解答: 解: (1)由题意得 a1=1,a2=2, , , , , =2(cosAcosC+sinAsinC) )

(Ⅱ)由正弦定理得: 由 即

又 S3=a4,a3+a5=2+a4, ∴ ,

∴ 即 解得 d=2,q=3;

(2)当 n 为奇数时,sn=(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an﹣1)

=

+

=

[1+1+(

﹣1)

?2]+

=

+

﹣1;

当 n 为偶数时,sn=(a1+a3+…+an﹣1)+(a2+a4+…+an)=

+

= [1+1+( ﹣1)?2]+

=

+

﹣1.

点评: 本题主要考查等差数列、等比数列的性质及前 n 项和公式等知识,考查学生的运算 求解能力及分类讨论思想的运用,属难题.

20. (13 分) 已知在如图的多面体中, AE⊥底面 BEFC, AD∥EF∥BC, CF=BE=AD=EF= BC=2, AE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF; (3)求此多面体 ABCDEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明 AB∥平面 DEG;

(2)根据线面垂直的判定定理即可证明 EG⊥平面 BDF; (3)根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体 ABCDEF 的体积. 解答: 证明: (1)∵AD∥EF∥BC, ∴AD∥BC. 又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点, ∴AD∥BG,且 AD=BG, ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴AB∥DG. ∵AB?平面 DEG,DG?平面 DEG, ∴AB∥平面 DEG. (2)连结 GF,四边形 ADFE 是矩形, ∵DF∥AE,AE⊥底面 BEFC, ∴DF⊥平面 BCFE,EG?平面 BCFE, ∴DF⊥EG, ∵EF∥BG,EF=BG,EF=BE, ∴四边形 BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又 BF∩DF=F,BF?平面 BFD,DF?平面 BFD, ∴EG⊥平面 BDF; (3)VABCDEF=VB﹣AEFD+VD﹣BCF,作 BH⊥EF 于 H, ∵平面 AEFD⊥平面 BEFC, ∴BH⊥平面 AEFD,EG∥CF, ∴CF⊥平面 BDF, , , , ∴ .

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定,以及空间多面体的体积的计算, 要求熟练掌握相应的判定定理. 21. (14 分)已知函数 f(x)=e +ax,g(x)=ax﹣lnx,其中 a<0,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)若 g(x)在(1,g(1) )处的切线 l 与直线 x﹣3y﹣5=0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)在 x∈[0,2]上的最小值;
x

(Ⅲ)试探究能否存在区间 M,使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性?若能存 在,说明区间 M 的特点,并指出 f(x)和 g(x)在区间 M 上的单调性;若不能存在,请说 明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用 g(x)在(1,g(1) )处的切线 l 与直线 x﹣3y﹣5=0 垂直,可得 g(x) 在(1,g(1) )处的切线斜率为﹣3,利用导数,即可求 a 的值; (Ⅱ)分类讨论,确定函数的单调性,即可求 f(x)在 x∈[0,2]上的最小值; (Ⅲ)分类讨论,确定函数的单调性,可得能否存在区间 M,使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性. 解答: 解: (Ⅰ)∵g(x)=ax﹣lnx,∴g(1)=a, ∵g(x)在(1,g(1) )处的切线 l 与直线 x﹣3y﹣5=0 垂直, ∴
x



…(3 分)

(Ⅱ)f(x)的定义域为 R,且 f'(x)=e +a. 令 f'(x)=0,得 x=ln(﹣a) . …(4 分) 若 ln(﹣a)≤0,即﹣1≤a<0 时,f′(x)≥0,f(x)在 x∈[0,2]上为增函数, ∴f(x)min=f(0)=1;…(5 分) 2 若 ln(﹣a)≥2,即 a≤﹣e 时,f′(x)≤0,f(x)在 x∈[0,2]上为减函数, ∴
2

; …(6 分)

若 0<ln(﹣a)<2,即﹣e <a<﹣1 时, 由于 x∈[0,ln(﹣a) )时,f'(x)<0;x∈(ln(﹣a) ,2]时,f'(x)>0, ∴f(x)min=f(ln(﹣a) )=aln(﹣a)﹣a

综上可知 f(x)min=

…(8 分)

(Ⅲ)g(x)的定义域为(0,+∞) ,且



∵a<0 时,∴g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.…(9 分) 令 f'(x)=0,得 x=ln(﹣a) ①若﹣1≤a<0 时,ln(﹣a)≤0,在(ln(﹣a) ,+∞)上 f'(x)>0,∴f(x)单调递增, 由于 g(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴不能存在区间 M,使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性;…(10 分) ②若 a<﹣1 时,ln(﹣a)>0,在(﹣∞,ln(﹣a) )上 f'(x)<0,f(x)单调递减; 在(ln(﹣a) ,+∞)上 f'(x)>0,f(x)单调递增. 由于 g(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴存在区间 M?(0,ln(﹣a)],使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上均为减函数.

综上,当﹣1≤a≤0 时,不能存在区间 M,使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性; 当 a<﹣1 时,存在区间 M?(0,ln(﹣a)],使得 f(x)和 g(x)在区间 M 上均为减函数.… (13 分) 点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查分 类讨论的数学思想,属于难题.

22. (14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 顶点与两个焦点组成一个等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

的焦距为 2,一个

(Ⅱ)椭圆 C 的右焦点为 F,过 F 点的两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 l2 与直线 x=4 交于 T 点. (i)求证:线段 PQ 的中点在直线 OT 上; (ii)求 的取值范围.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)根据条件求出 a,b,c 即可求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 PQ 的方程为:x=my+1 代入椭圆方程,利用根与系数之间的关系求出 OG 和 OT 的 斜率,利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)由椭圆得 ,解得 a=2,c=1,b= ,

故所求椭圆的标准方程为



(Ⅱ) (i)设直线 PQ 的方程为:x=my+1,代入椭圆方程 则判别式△ =36m +4×9(3m +4)>0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 的中点 G(x0,y0) , 则 y1+y2= ,y1y2= ,
2 2

得(3m +4)y +6my﹣9=0,

2

2

则 y0= (y1+y2)=

,x0=my0+1=



即 G(



) ,

kOG=

=﹣



设直线 FT 的方程为:y=﹣m(x﹣1) ,得 T 点坐标为(4,﹣3m) , ∵kOT=﹣ ,

∴kOG=kOT, 即线段 PQ 的中点在直线 OT 上; (ii)当 m=0 时,PQ 的中点为 F,T(4,0) , 则|TF|=3,|PQ|= 当 m≠0 时,|TF|= |PQ|= = , , = , =

=12





=

=

(3

+

) ,

设 t=

,则 t>1,

则 y=3

+

=3t+ =3(t+ )在(1,+∞)为增函数,

则 y>3+1=4, 则 (3 + ) ,

综上 故求

≥1, 的取值范围是[1,+∞) .

点评: 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用,利用直线和椭圆 方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键.考查学生的计算能力,运算量较大,综 合性较强.


湖北省黄冈中学2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

湖北省黄冈中学 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项...

湖北省黄冈中学2015届高考数学适应性试卷(理科)(6月份)

湖北省黄冈中学2015届高考数学适应性试卷(理科)(6月份)_数学_高中教育_教育专区...(5 分)某校在 2015 届高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学...

湖北省黄冈中学2015届高考数学适应性试卷(理科)(6月份)

湖北省黄冈中学2015届高考数学适应性试卷(理科)(6月份)_数学_高中教育_教育专区...(5 分)某校在 2015 届高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学...

湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试理科数学试卷及答案

2015 届黄冈中学高三5模拟考试命题:董明秀 审题:汤彩仙 数学试题(理)校对:陈思锦 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题...

湖北省黄冈中学2010届高考数学(文科)模拟预测卷(二)

湖北省黄冈中学2010届高考数学(文科)模拟预测卷(二)_数学_高中教育_教育专区。黄冈中学 2010 届高考模拟预测试卷 数学(文科)(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ...

湖北省黄冈中学2015年高考语文模拟试卷改编版(一)(含解...

年 4 月高三年级适应性考试语文试题 湖北省黄冈中学 2015 年 5高三年级模拟考试语文试题 湖北省黄冈中学 2015 年适应性考试(6 月高三年级模拟考试) 传记选自...

黄冈中学高考数学模拟测试题(文科)2

2009届湖北省黄冈中学高考... 12页 免费 高考数学...题(文科)2 本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ...

黄冈中学2016年高考数学(理科)预测卷精讲

α 内的所有直线都不平行 (5)已知集合 A ={x|y= A.A∪B=A A 2015?...黄冈中学2016年高考文科... 暂无评价 4页 1下载券 湖北省黄冈中学2010届高....

高考湖北省黄冈中学4月份模拟考试数学(文)(3)

高考湖北省黄冈中学4月份模拟考试数学()(3)_从业...(附加题,满分 5 分,全卷总分不超过 150 分)异...湖北省黄冈中学2015届高... 11页 2下载券 湖北...

黄冈中学2017年高考数学(文科)预测卷精讲

黄冈中学 2017 届高三 5 月适应性考试 数学(文科)试卷 命题教师:肖海东 审题教师:郭旭 董明秀 钱程 7.执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) 开始 y=2 i...