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4.2 直线、圆的位置关系 教案


人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

4.2 直线、圆的位置关系
教案 A 第 1 课时
教学内容:4.2.1 直线与圆的位置关系 教学目标 一、知识与技能 1. 理解直线与圆的位置关系; 2. 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; 3. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 二、过程与方法 结合

图形与直线和圆的几何性质,把握判定直线与圆的位置关系的一般方法,理解 利用几何法、代数法判定直线与圆的位置关系的原理. 三、情感、态度与价值观 通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,体验数形结合的思想. 教学重点、难点 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 教学关键:结合图形与直线和圆的几何性质,把握判定直线与圆的位置关系的一般 方法,理解利用几何法、代数法判定直线与圆的位置关系的原理. 教学突破方法:在学生理解应用两种方法判定直线与圆的位置关系的基础上,通过 典型例题对上述方法进行巩固,并以此比较两种方法的优劣,引导学生在解决此类问题 时要有意识的应用几何法. 教法与学法导航 教学方法:问题讨论法,比较类比法,启发诱导法. 学习方法:自主学习,互动学习,合作交流,动手实践,观察探究,归纳总结. 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:圆的标准方程、一般方程及点到直线的距离公式的应用. 教学过程 问 题 设计意图 师生活动 1 .初中学过的平 面几何中, 直线与圆的 位置关系有几类? 启发学生由图形 师:让学生之间进行讨论、 获取判断直线与圆的 交流,引导学生观察图形,导入 位置关系的直观认知, 新课. 引入新课. 生:看图,并说出自己的看 法.

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续上表 2.直线与圆的位 置关系有哪几种呢? 师:引导学生利用类比、归纳的 思想,总结直线与圆的位置关系 的种类,进一步深化“数形结 合”的数学思想. 生: 观察图形, 利用类比的方法, 归纳直线与圆的位置关系. 师:引导学生回忆初中判断 直线与圆的位置关系的思想过 程. 生:回忆直线与圆的位置关 系的判断过程. 师:引导学生从几何的角度 说明判断方法和通过直线与圆的 方程说明判断方法. 生:两种方法:方法一解方 程组法,方法二几何法如下 设直线 l :ax ? by ? c ? 0 , 圆
C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

得出直线与圆的 位置关系的几何特征 与种类.

3.在初中,我们 怎样判断直线与圆的 位置关系呢?如何用 直线与圆的方程判断 它们之间的位置关系 呢?

使学生回忆初中 的数学知识, 培养抽象 概括能力.

4.你能说出判断 直线与圆的位置关系 的两种方法吗?

抽象判断直线与 圆的位置关系的思路 与方法.

圆的半径为 r ,圆心 (?

D E , ? ) 2 2

到直线的距离为 d , 则判别直线与 圆的位置关系的依据有以下几 点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2) 当 d ? r 时, 直线 l 与 圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

5 .你能用两种判 断直线与圆的位置关 系的数学思想解决例 1 的问题吗?

体会判断直线与 圆的位置关系的思想 方法, 关注量与量之间 的关系.

师:指导学生阅读教科书上 的例 1. 生:阅读教科书上的例 1,并 完成教科书第 136 页的练习题 2.

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续上表 6.通过学习教科 书的例 1,你能总结一 下判断直线与圆的位 置关系的步骤吗? 使学生熟悉判断 直线与圆的位置关系 的基本步骤. 生:阅读例 1. 师;分析例 1,并展示解答过 程;启发学生概括判断直线与圆 的位置关系的基本步骤,注意给 学生留有总结思考的时间. 生:交流自己总结的步骤. 师:展示解题步骤.

7 .通过学习教科 书上的例 2,你能说明 例 2 中体现出来的数学 思想方法吗? 8.通过例 2 的学 习,你发现了什么?

进一步深化“数 师:指导学生阅读并完成教 形结合”的数学思想. 科书上的例 2, 启发学生利用“数 形结合”的数学思想解决问题. 生:阅读教科书上的例 2,并 完成第 137 页的练习题. 明确弦长的运算 方法. 师:引导并启发学生探索直 线与圆的相交弦的求法. 生:通过分析、抽象、归纳, 得出相交弦长的运算方法.

9 .完成教科书第 巩固所学过的知 师:引导学生完成练习题. 128 页的练习题 1、2、 识, 进一步理解和掌握 生:互相讨论、交流,完成 3、4. 直线与圆的位置关系. 练习题. 答:两种方法判断直线与圆的 课堂小结: 位置关系. 教师提出下列问 (1) 判断直线与圆的方程组是 题让学生思考: 否有解: ( 1 )通过直线与 a 有解,直线与圆有公共点.有一 圆的位置关系的判断, 组,则相切;有两组,则相交. 你学到了什么? b 无解,则直线与圆相离. ( 2 )判断直线与 (2)圆心到直线的距离与半径的 圆的位置关系有几种 Aa ? Bb ? C 关系: d ? , 方法?它们的特点是 A2 ? B 2 什么? 如果 d ? r ,直线与圆相交; ( 3 )如何求出直 如果 d ? r ,直线与圆相切; 线与圆的相交弦长? 如果 d ? r ,直线与圆相离. 课堂作业 1.直线 3x+4y+12=0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 的位置关系是( A. 过圆心 B. 相切 C. 相离 2 2 2. 直线 ax-y+1=0 与圆 x +y =2 的位置关系是( A . 相离 B. 相切 C. 相交 ) .

D. 相交但不过圆心 ) . D. 以上三种皆有可能 3

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3. 圆 x2+y2=4 上的点到直线 x-y+2=0 的距离的最大值为( A. 2+ 2 B. 2- 2 C.
2

) .

D. 0

4. 直线 x+y+3=0 与圆 x2+(y+1)2=a 有公共点,那么实数 a 的取值范围是 . 2 2 5. 过 P(-3,4)的直线 l 与圆 x +y +2x-2y-2=0 相切,求直线 l 的方程. 参考答案:1. 选 D 2 选 C 3. 选 A 4. a≥2 5. x=-3 或 5x+12y-33=0

第 2 课时
教学内容:4.2.2 圆与圆的位置关系 教学目标 一、知识与技能 1. 理解圆与圆的位置的种类; 2. 利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距; 3. 会用圆心距判断两圆的位置关系. 二、过程与方法 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 内含. 三、情感、态度与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. 教学重点、难点 教学重点:判断圆与圆的位置关系. 教学难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 教学关键:理解圆与圆位置关系的判定方法,引导学生应用圆的几何性质,即圆心 距与半径和的大小关系来判定两圆的位置关系. 教学突破方法:理解圆的几何性质,利用圆心距与半径的和与差来判断两圆的位置 关系. 教法与学法导航 教学方法:设置问题情景,以问题促使学生思考、理解方法,以练习促使学生掌握 4

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并巩固判断方法. 学习方法:问题讨论法、讲练结合法. 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:圆的标准方程与一般方程. 教学过程 教学 环节 创设 情境 导入 新课 教学内容 师生互动 师: 两个圆的位置 关系有多少种?如何 用圆与圆的方程判断 它们之间的位置关系 呢?你能说出判断圆 与圆的位置关系的两 种方法吗? 设计 意图 启发并 引导学 生 回 顾,从 而引入 新课.

1.两个圆的位置关系有外离、 外切、 相 交、内切、内含. 方法一:利用圆与圆的交点个数; 方法二: 利用圆心距 d 与半径之间的关 系. 2. 判断两圆位置关系的方法: (1)几何方法:设两圆的圆心距 d, 半径 r1,r2,则:①当 d ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 相离;②当 d ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;③当 | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2 时,圆 C1

主题 探究 合作 交流

与圆 C2 相交;④当 d ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与 圆 C2 内切;⑤当 d ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 步骤:①计算两圆半径 r1,r2;②计算 两圆圆心距 d;③根据 d 与 r1,r2 的关系判 断两圆的位置关系. (2)代数方法:方程组
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0, ? 2 2 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0.

师: 比较判定两圆 位置关系的两种方法 的优缺点?你喜欢哪 一种?

掌握两 种方法 判断两 个圆的 位置关 系.深 刻理解 解析几 何的本 质:用 代数方 法研究 几何问 题.

有两组不同实数解 ? 相交;有两组相 同实数解 ? 相切(内切或外切) ;无实数 解 ? 相离(外离或内含).

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续上表 例 1 判断下列两圆的位置关系:

(1) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16;
(2)x2 ? y 2 ? 6x ? 7 ? 0与x2 ? y 2 ? 6 y ? 27 ? 0.
例 2 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 与圆 师生共同讨论例 1 的解法,和解题过程.

x2 ? y 2 ? 2 x ? 13 ? 0 相交于 P , Q 两点,求直
线 PQ 的方程及公共弦 PQ 的长. 变式题: 求以圆 C1 : x2 ? y 2 ? 12 x ? 2 y ? 13 ? 0 和圆 C2 :x2 ? y 2 ? 12x ? 16 y ? 25 ? 0 公共弦 应用 举例 为直径的圆的方程. 【解析】方法一代数法: 例 2 答案: x ? 2 y ? 6 ? 0 ;6.

? x2 ? y 2 ? 12 x ? 2 y ? 13 ? 0, ? 相减得公共弦 ? 2 2 ? ? x ? y ? 12 x ? 16 y ? 25 ? 0.
所在直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,再由
?4 x ? 3 y ? 2 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 12 x ? 2 y ? 13 ? 0.

在实例 中让学 生体验 代数方 法和几 何方法 的综合 应用.

联立得两交点坐标 A? ?1,2? 、 B ? 5, ?6? . ∵所求圆以 AB 为直径, ∴圆心是 AB 的中心点 M ? 2, ?2 ? ,圆 的半径为 r ?

1 AB ? 5 . 于是圆的方程为 2
2

? x ? 2?

2

? ? y ? 2? ? 25 .

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续上表 方法二:设所求圆

x2 ? y 2 ? 12x ?

2 y ? 13 ? ? ? x2 ? y2 ? 12x ? 16 y ? 25? ? 0
12? ? 12 16? ? 2 ? ?参数? ,得圆心 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? , ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ?
∵圆心在公共弦 AB 所在直线上,
4???

?

?

? 12? ? 12 ? ? 16? ? 2 ? ? ? 3? ? ??2?0, ? 2 ?1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?

解得 ? ?

1 2

.故所求圆的方程

x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 17 ? 0 .
例 2 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 的交点且与 y = x 相切的 圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 +λ (x + y + 4) = 0.联立方程组

? y ? x, ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 4) ? 0.
得: x 2 ? (1 ? ? ) x ? 2(? ? 1) ? 0 . 因为圆与 y = x 相切,所以 ? =0. 即 (1 ? ? )2 ? 8(? ? 1) ? 0,得? =3 . 故所求圆的方程为 x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0. (1)通过两个圆的位置关系的判断, 你学到了什么? (2)判断两个圆的位置关系有几种方 法?它们的特点是什么? (3) 如何求相交两圆的相交弦的方程及 弦长?

小结

归纳总 结,增 强知识 的系统 性.

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课堂作业 1. 判断下列两个圆的位置关系:

(1)( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与( x ? 7)2 ? ( y ? 1)2 ? 36 ; (2)2x2 ? 2 y 2 ? 3x ? 2 y ? 0与3x2 ? 3 y 2 ? x ? y ? 0 .
2. 若圆 x 2 ? y 2 ? m2 与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ?11 ? 0 相交,求实数 m 的取值范围. 3. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2kx ? k 2 ? 1 ? 0 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2(k ? 1) y ? k 2 ? 2k ? 0 , 则当它们圆心之间的距离最短时,两圆的位置关系如何? 4. 已知一个圆经过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,并 且有最小面积,求此圆的方程. 5. 已知圆 C1:x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C2:x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 ,求两圆的公共 弦所在的直线方程及公共弦长. 6. 已知点 P(5, 4) ,圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 11 ? 0 ,过 P 作圆 D,使 C 与 D 相切, 并且使 D 的圆心坐标是正整数,求圆 D 的标准方程. 参考答案: ? 1) (111) , 1.(1)内切; (2)相交 2. (?11, 3.两圆的位置关系为相交 4.
(x ? 13 2 6 4 ) ? ( y ? )2 ? 5 5 5

5. 3x-4y+6=0;

24 5

6.点 P 在圆 C 内部,所以圆 D 与圆 C 内切,设圆 D

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r 2 ,由点
2

在圆上和两圆内切得到 a ? 13 ? 3r ,1≤r≤4,讨论 r 后只有 r ? 2和4 满足,圆 D 方程为

? x ? 7?

2

? ? y ? 4? ? 4 或 ? x ? 1? ? ? y ? 4? ? 16 .
2 2 2

第 3 课时
教学内容:4.2.3 直线与圆的方程的应用 教学目标: 一、知识与技能 1. 理解掌握,直线与圆的方程在实际生活中的应用; 2. 会用“数形结合”的数学思想解决问题. 二、过程与方法 8

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用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平 面几何问题转化为代数问题. 第二步:通过代数运算,解决代数问题. 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 三、情感、态度与价值观 通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,学会分析问题与解决问题. 教学重点、难点 教学重点:直线与圆的方程的应用. 教学难点:直线与圆的方程的应用. 教学关键:根据所给的具体问题,能够建立恰当的坐标系,并应用坐标法解决实际 问题. 教学突破方法:引导学生学会建立数学模型,应用数学知识解决实际问题,其突破 口是实际问题向数学问题的转化. 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,启发探究式教学. 学习方法:自主学习与探究讨论相结合. 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:圆的标准方程和一般方程,直线方程的写法. 教学过程 教学 环节 创设 情境 导入 新课 教学内容 你能说出两点间的距离公式直线方程 的四种形式及圆的方程的两种形式吗? 现在我们通过几个例子说明直线与圆 的方程在实际生活以及平面几何中的应用. 1.阅读并思考教科书上的例 4,你将 选择什么方法解决例 4 的问题? 师生互动 学生思考作 答; 教师引入课 题. 师:指导学生 观察教科书上的图 形特征,利用平面 坐标系求解. 生:自学例 4, 并完成 练习题 1、 2. 师:分析例 4 并展示解题过程, 启发学生利用坐标 法求,注意给学生 留有总结思考的时 间. 设计 意图 引导学 生回顾 引入新 课.

主题 探究 合作 交流

例 4 上图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个 圆的圆拱跨度 AB = 20m,拱高 OP = 4m, 建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑,求 支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m)

指导学 生从直 观认识 过渡到 数学思 想方法 的选 择.

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续上表

【解析】建立如图所示的直角坐标 系,使圆心在 y 轴上.设圆心的坐标是 (0,b) ,圆的半径是 r,那么圆的方 程是 x2 + (y – b)2 = r2. 下面确定 b 和 r 的值. 因为 P、B 都在圆上,所以它们的 坐标(0,4) , (10,0)都满足方程 x2 + (y – b)2 = r2.于是,得到方程组 主题 探究 合作 交流

?02 ? (4 ? b) 2 ? r 2, ? 2 2 2 ?10 ? (0 ? b) ? r ,
解得 b = –10.5,r2 = 14.52. 所以,圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52. 把点 P2 的横坐标 x = –2 代入圆的 方程,得 (–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52, 取 y ? 10.5 ? 14.52 ? (?2)2(P2 的纵 坐标 y>0 平方根取正值).所以
y ? 14.52 ? (?2)2 ?10.5

≈14.36 – 10.5 =3.86(m) . 2.你能分析一下确定一个圆的方 程的要点吗? 教师引导学生分析 圆的方程中,若横坐标 确定,如何求出纵坐标 的值. 使学生 加深对 圆的方 程的认 识.

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续上表 3.你能利用“坐标法”解决例 5 吗? 例 5 已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直, 师:引导学生建立 适当的平面直角坐标 系,用坐标和方程表示 相应的几何元素,将平 面几何问题转化为代数 问题. 生:建立适当的直 角坐标系,探求解决问 题的方法. 【证明】如图,以 四边形 ABCD 互相垂直 的对角线 CA,DB 所在 直线分别为 x 轴,y 轴, 建立直角坐标系 . 设 A (a,0) ,B ( 0 , b ) ,C (c,0) ,D(0,d). 过四边形 ABCD 外 接 圆 的 圆 心 O′ 分 别 作 AC、BD、AD 的垂线, 垂足分别为 M、N、E, 分别是线段 AC 、 BD 、 AD 的中点.由线段的中 点坐标公式,得
a?c , 2 b?d , 2

巩 固 “坐标 法”, 培养学 生分析 问题与 解决问 题的能 力.

求证: 圆心到一边的距离等于这条 边所对边长的一半.

xO? ? xM ? yO? ? yN ? xE ?

a d , yE ? , 2 2

a c a b d d | O ?E |? ( ? ? ) 2 ? ( ? ? ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ? b ? c2 2

又 | BC |? b2 ? c2 ,
1 所以 | O?E |? | BC | . 2

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续上表 练习 1 赵州桥的跨度是 37.4m, 圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱 圆的方程. 教师要注意引导学 生思考平面几何问题与 代数问题相互转化的依 据.

练习 2 某圆拱桥的水面跨度 20m, 拱高 4m.现有一船, 宽 10m, 水面以上 练习 1【解析】建立 高 3m,这条船能否从桥下通过? 如图所 示的直角坐标 系.|OP| = 7.2m,|AB| = 练习 3 等边△ABC 中,点 D、E 分 37.4m.即有 1 A ( –18.7 , 0 ) ,B 别在边 BC、AC 上,且 | BD |? | BC | , 3 (18.7, 0) , C (0, 7.2) . 1 设所求圆的方程是 |CE| = |CA|,AD、BE 相交于点 P.求 3 (x – a)2 + (y – b)2 = 证 AP⊥CP. r2. 于是有

?( a ? 18.7) 2 ? b 2 ? r 2, ? 2 2 2 ?( a ? 18.7) ? b ? r , ?a 2 ? (b ? 7.2) 2 ? r 2, ?
解此方程组,得 a = 0, b = –20.7, r = 27.9. 所以这座圆拱桥的 拱圆的方程是 x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2) .

使 学生熟 悉平面 几何问 题与代 数问题 的 转 化,加 深“坐 标法” 的解题 步骤.

练习 3【解析】以 B 为原点,BC 边所在直线为 x 轴,线段 BC 长的 为 单位长,建立如图所 示的坐标系.则
A(3, 3), B(0, 0), C(6, 0) .
1 6

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续上表 由已知,得 D(2,0) , E (5, 3) . 直线 AD 的方程为 y ? 3 3( x ? 2) . 直线 BE 的方程为
y? 3 ( x ? 5) ? 3 . 5

解以上两方程联立的方程组,得
x? 5 3 ,y? 3. 7 7

所以,点 P 的坐标是 (

15 3 , 3) . 7 7
3 . 9

直线 PC 的斜率 k pc ? ? 因为 k AD k pc ? 3 3 ? (? 所以,AP⊥CP.

练习 2【解析】建立如 图 所 示 的 坐 标系 . 依 题 意,有 A (–10, 0) , B (10, 0) ,P(0,4) ,D(–5, 0) ,E(5,0). 设所求圆的方程是 (x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有

3 ) ? ?1 , 9

?( a ? 10) 2 ? b 2 ? r 2, ? 2 2 2 ?( a ? 10) ? b ? r , ?a 2 ? (b ? 4) 2 ? r 2, ?
解此方程组,得 a = 0,b = –10.5,r = 14.5. 所以这座圆拱桥的 拱圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4). 把点 D 的横坐标 x = –5 代入上式, 得 y = 3.1. 由于船在水面以上 高 3m,3<3.1,所以该 船可以从桥下穿过.

小结

(1)利用“坐标法”解决问题的 教师引导学生自己 需要准备什么工作? 归纳总结所学过的知 (2)如何建立直角坐标系,才能 识,组织学生讨论、交 易于解决平面几何问题? 流、探究. (3)你认为学好“坐标法”解决 问题的关键是什么? (4) 建立不同的平面直角坐标系, 对解决问题有什么直接的影响呢?

对知识 进行归 纳 概 括,体 会利用 “坐标 法”解 决实际 问题. 13

教师备课系统──多媒体教案
课堂作业 1. 解方程组 ?
2 2 2 ? ? x ? y ? r1 ,   (1)

(1)-(2) ,整理可得 x= 2 2 2 ( x ? d ) ? y ? r , (2) ? ? 2

r12 ? r22 ? d 2 , 2d

这说明( ). A. 方程组一定有解 B. 方程组只有一个解 C. 方程组至少有一个解 D. 以上都不对 2 2 2. 直线 l 将圆 x +y -2x-4y=0 平分, 且与直线 x+2y=0 垂直, 则直线 l 的方程为( A . y=2x B. y=2x-2
2

) .

C. y= ?

1 3 x? 2 2

D. y=

1 3 x? 2 2

3. 方程 y= 2 ? x ? 2 表示的曲线是( A. 一个圆 B. 半个圆
2

). C. 一条直线 D. 两条直线 .

4. 已知实数 x,y 满足 y= 1 ? x ,则 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 的最大值为

5. 求证:到 A、B 两点的距离之比为 2 的轨迹是圆. 参考答案:1. D 2. A 3. B 4. 18 5. 设 A、B 两点间的距离为 2a(a>0). 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系. A(-a,0) 、B(a,0) ,设动点 M 的坐标为(x,y) , 由|MA|: |MB|=2:1,即

( x ? a)2 ? y 2 ( x ? a) ? y
2 2

?

2 1

,化简,得 x2+y2-

10 ax ? a 2 ? 0. 3

5 ? 4 ? ?4 ? ?5 ? 即 ? x ? a ? ? y 2 ? ? a ? 是以 ? a ,0 ? 为圆心, a 为半径的圆. 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ?

2

2

所以到 A、B 两点距离之比为 2 的点的轨迹是圆.

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人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版) 教案 B 第 1 课时
教学内容:4.2.1 直线与圆的位置关系 教学目标 一、知识与技能 1.理解直线与圆的位置的种类; 2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; 3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 二、过程与方法 设直线 l ,圆 C ,圆的半径为 r ,圆心到直线的距离为 d ,则: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 三、情感、态度与价值观 通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,体验数形结合的思想. 教学重点、难点 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.直线与圆的位置关系. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系的几何判定. 教学过程: 一、复习准备: 1. 在初中我们知道直线与圆有三种位置关系: (1)相交,有一两个公共点. (2)相切,只有一个公共点. (3)相离,没有公共点. 2、在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系?现在如何用直线和圆的方程判 断它们之间的位置关系? 二、情景引入 问题:一艘船在沿直线返回港口的途中,接 到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70km 处,受影响的范围是半径长为 30km 的圆 形区域,已知港口位于台风中心正北 40km 处, 如果这艘轮船不改变航线, 那么它是否会受到台 风的影响? 【解析】以 O 为圆心,东西方向为 x 轴,建 立如图所示的直角坐标系, 取 10km 为单位长度. 则 圆的方程为:x2+y2=9, 轮船航线所在直线的方程为:4x+7y-28=0, 15

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问题归结为圆与直线有无公共点. 三、讲授新课: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 圆心到直线的距离
2 2

. A2 ? B2 1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定:比较圆心到直线的距离 d 与圆的 半径 r ① d ? r ? 直线与圆相交; ② d ? r ? 直线与圆相切; ③ d ? r ? 直线与圆相离. 2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解, 直线与圆有公共点.有一组则相切; 有两组,则相交;b 无解,则相离 四、巩固提高、知识应用 例 1 如图 1,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆

d?

Aa ? Bb ? C

x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 .判断直线 l 与圆的位置关系;如果相交,
求出他们交点的坐标. 解法一:由直线与圆的方程,得:

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0,
消去 y,得:x2-3x+2=0, 因为△=(-3)2-4× 1× 2=1>0, 所以,直线与圆相交,有两个公共点. 解法二:圆的方程配方,得:x2+(y-1)2=5, 圆心 C 坐标为(0,1) ,半径为 5 ,圆心 C 到直线的距离为: 3 ? 0 ? 1?1 ? 6 5 d= = < 5. 2 2 10 3 ?1 所以,直线与圆相交,有两个公共点. 由方程 x2-3x+2=0,解得:x1=1,x2=2, 可求得两个交点坐标为(1,3) , (2,0). 教师引导同学比较两种方法的优缺点, 在不求交点坐标时,方法二计算较简单很 常用,如果要求两圆公共弦所在直线方程或公共弦长时常常需要方法一求出交点坐标. 例 2 已知过点 M (-3, -3) 的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程. 【解析】圆的标准方程为:x2+(y+2)2=25,圆为(0,-2) ,半径 5. 因为直线被圆截得弦长为 4 5 ,所以,弦心距为:

5 2 ? (2 5 ) 2 = 5 ,
过点 M 的直线方程为:y+3=k(x+3) ,即 kx-y+3k-3=0. 由弦心距为 5 ,得:

0 ? 2 ? 3k ? 3 k ?1
2

= 5 ,解得:k=-

1 或 2. 2

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人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
所以,所求直线方程有两条:x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 五、课堂小结 教师引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.学生通过分析、抽象、归纳, 得出相交弦长的运算方法. 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解: a 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交; b 无解,则直线与圆相离. (2)圆心到直线的距离与半径的关系: d ? 如果 d ? r ,直线与圆相交; 如果 d ? r ,直线与圆相切; 如果 d ? r ,直线与圆相离. 六、布置作业 P128 练习:2,3,4; P132 习题 4.2A 组:1,2,3,5.

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



第 2 课时
教学内容:4.2.2 圆与圆的位置关系 教学目标 一、知识与技能 1. 能根据给定圆的方程,用几何和坐标的方法判断两圆的位置关系; 2. 若两圆相交,会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长; 3. 理解几何问题坐标化的思想,深入了解解析几何的本质. 二、过程与方法 通过自主探究,结合教师引导,类比直线与圆的位置关系,得到判断圆与圆的位置 关系. 三、情感、态度与价值观 提高自主探究及分析问题,解决问题的能力,进一步体会数形结合的思想. 教学重点、难点 教学重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 教学难点:用坐标法判断两圆的位置关系. 教具准备:三角尺,粉笔,多媒体设备. 教学过程: 一、复习提问 初中学过圆与圆有几种位置关系?怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系? 圆与圆的五种位置关系

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R O1

r O 2

R O1
外切 d ? R ? r

r O2

R O1

r O2

外离 d ? R ? r

相交 R ? r ? d ? r ? R

O1

R

R

O2 r

O1

O2

r

内切 d ? R ? r

内含 d ? R ? r

二、讲授新课 1. 两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断 例 1 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断 圆 C1 与圆 C2 的关系? 解法一:圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得到方程组: x2+y2+2x+8y-8=0, ① 2 2 x +y -4x-4y-2=0, ② ①-②,得:x+2y-1=0, 即 y=

1? x 2

代入①,并整理,得:x2-2x-3=0,

此方程的判别式:△=16>0, 方程有两个不同的实数根,所以两圆有两个公共点,解上述方程,可求得两个交点 坐标. 解法二:把圆 C1 化成标准方程: (x+1)2+(y+4)2=25, 圆心为点(-1,-4) ,半径为 5. 圆 C2 化成标准方程: (x-2)2+(y-2)2=10, 圆心为点(2,2) ,半径为 10 . 两圆的连心线长(圆心距)为:

( ?1 ? 2) 2 ? ( ?4 ? 2) 2 =3 5 ,
两圆半径之和:r1+r2=5+ 10 , 两圆半径之差:r1-r2=5- 10 , 因为 5- 10 <3 5 <5+ 10 ,即 r1-r2<3 5 <r1+r2. 所以,两圆相交,有两个公共点. 2. 两圆的位置关系利用圆的方程来判断 判断方法:通常是通过解方程或不等式的方法加以解决. 18

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
例 2 圆 C1 的方程是: x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 5 ? 0 圆 C2 的方程是:

x2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 ,
m 为何值时,两圆(1)相切; (2)相交; (3)相离; (4)内含. 思路:联立方程组→讨论方程的解的情况(消元法、判别式法)→交点个数→位置 关系. 例 3 求过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0 与 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点, 且圆心在直线 x – y – 4 = 0 上的圆的方程. 【解析】依题意所求的圆的圆心,在已知圆的圆心的连心线上,又两已知圆的圆心 分别为(–3,0)和(0,–3). 则连心线的方程是 x + y + 3 = 0.

由?

? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0,

?x ? 1 , ? ? 2 解得 ? . ?y ? ? 7 . ? ? 2
1 2 7 2

所以所求圆的圆心坐标是 ( , ? ) . 设所求圆的方程是 x2 + y2 – x + 7y + m = 0, 由三个圆有同一条公共弦得 m = –32. 故所求方程是 x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0. 三、课堂小结 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定. (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值的大小关系. 四、布置作业 P132 习题 4.2A 组:4, 6, 9, 11. 补充练习 1. 求经过点 M(2,-2) ,且与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 4 有交点圆的方程. 2. 已 知 圆 C 与 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 0 相 外 切 , 并 且 与 直 线 x ? 3 y ? 0 相 切 于 点
Q(3,?

,求圆 C 的方程. 3)
2
2

3. 求两圆 x2 ? y 2 ? 1 和 ? x ? 3? ? y2 ? 4 的外公切线方程. 4. 求过两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 和圆 C2 : x ? y2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心 在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程.

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教师备课系统──多媒体教案 第 3 课时
教学内容:4.2.3 直线与圆的方程的应用 教学目标 一、知识与技能 1. 理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2. 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 3. 会用“数形结合”的数学思想解决问题. 二、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平 面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 三、情感、态度与价值观 通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,获得分析问题与解决问题的能 力. 教学重点、难点 直线与圆的方程的应用. 教学过程 一、创设情景 (一)创设情景,导入新课 复习:直线的方程和圆的方程及其相关性质和解题方法. 思考 1. 平面几何、立体几何和解析几何在研究问题时的本质区别是什么? 2. 坐标在几何学和代数学之间的联系起了什么作用? 二、提出问题、自主探究 例 1 如图是一桥圆拱的示意图, 根据提供信息完成以下计算: 圆拱跨度 AB=84 米, 拱高 A6P6=15 米,在建造时每隔 7 米需用一个支柱支撑,求:支柱 A3P3 的长度(精确 到 0.01 米) .

方法一:在 Rt?AA6O 中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径 R,而在 Rt?PCO 中, 3 20

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
2 PC ? R2 ? 212 , 3

∴ A3 P 长度. ? PC ? A6O ,从而可求得 A3 P 3 3 3 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解? 方法二:先求圆的方程,再把求 A3 P 长度看成 P3 的纵坐标. 3 首先应建立坐标系. 如何建系?四种不同的建系方案:

分组解答,同学自选一种建系方案,同桌之间可以互相协作,相互探讨. 三、归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤: (1)审题—分清条件和结论,将实际问题数学化; (2)建模—将文字语言转化成数学语言或图形语言,找到与此相联系的数学知识, 建立数学模型; (3)解模—求解数学问题,得出数学结论; (4) 还原—根据实际意义检验结论,还原为实际问题. 流程图: 实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论 (审题) (建模) (解模) (还原) 练习:某圆拱桥的水面跨度 16 米,拱高 4 米.有一货船,装满货过桥,顶部宽 4 米, 水面以上高 3 米,请问此船能否通过?当卸完货返航时,船水面以上高 3.9 米,此时能 否通过? 四、深入讨论、提炼思想 在上面问题求解过程中,我们通过“建系” ,利用直线和圆的方程来完成平面几何 中的计算.这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用,如证明“平行四边形四条 边的平方和等于两条对角线的平方和” ,再看下例: 例 2 已知内接于圆 P 的四边形 ABCD 的对角线互相垂直, PE ? AD 于 E ,探求 21

教师备课系统──多媒体教案
线段 PE 与 BC 的数量关系. (1) PE ?

1 BC . 2 1 BC . 2

思路:把四边形特殊化,看成正方形,那么圆心与 正方形的中心重合,此时 PE ?

对于一般情形, 这个结论正确吗?作如下猜想: “已 知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一 边的距离等于这条边所对边边长一半” ,能否用学过的 平面几何知识加以证明? 【证明】 (平面几何法)连接 AP 并延长交圆 P 于点 F,连接 DF,CF, ∵∠3=∠4, ∴在 Rt⊿ADF 和 Rt⊿AHB 中,∠1=∠2, ∵ ∠5=∠1+ ∠7, ∠6=∠2+ ∠7, ∴ ∠5= ∠6, ① 又∵∠ACF=90°且 ∠CHD=90° ∴ CF∥BD. ② 由 ① ② 可 得 四 边 形 CFDB 为 等 腰 梯 形 , ∴ |CB|=|FD| , 又∵|FD|=2|PE| , ∴|BC|=2|PE | . 用“建系”这一新工具尝试 【证明】 (解析几何法)以 AC,BD 交点为坐标原 点,所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设 A(a,0) , B(0, b) , C (c,0) , D(d ,0) . 用勾股定理, PE ? R 2 ? AE2 , 其中 E 为 AD 中 点; 先求出圆心 P 的坐标及直线 AD 的方程,然后用点到直线距离公式求 PE 的长;先 求出圆心 P 与点 E 的坐标,再用两点间距离公式求 PE 的长. 设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2,考虑到圆与 x 轴交于 A、C 两点,令 y=0,得 关于 x 的一元二次方程 x2-2mx+(m2+n2-r2)=0,然后利用韦达定理可得圆心的横坐标 b?d a?c m? ,同理可得圆心的纵坐标 n ? . 2 2 应用圆的方程求圆心坐标,正是圆方程的具体应用. 过圆心作两坐标轴的垂线,利用垂径定理来解决,很快可以求出圆心的 P 坐标

(

a?c b?d , ). 2 2

选择三种不同方法投影演示,分析点评. 在上面的证明中,首先建立适当的坐标系,将几何问题代数化;用代数语言描述几 何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几 何含义,最终解决几何问题;我们把这种方法叫做“坐标法”,又称“解析法”.坐标 法解决平面几何问题的步骤如下: 开始→建系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问 22

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
题→通过代数运算解决代数问题→将代数结果翻译成几何结论→结束. 五、学以致用、深化理解 师:作为一个经典的例题,本题可供我们挖掘的“副产 品”很多,例如:设 Q 为 BC 的中点,则 QH // PE ,如何 用代数方法证明这一结论呢? 还能有什么其他发现? (1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则一组 对边的平方和等于另一组对边的平方和. (2)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则两条对角线之积等于两组对边之 积的和. (3)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则经 过对角线交点做其中一边的垂线,一定平分这一条边的 对边. 练习:直角△ABC的斜边为定长m,以斜边的中点O 为圆心作半径为长定长n的圆,BC的延长线交此圆于P、 Q两点,求证|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2为定值. 【证明】如图, 以 O 为原点,分别以直线 PQ 为 x 轴,建立直角 坐标系. 于是有
B(? m m n n , 0), C( , 0) , P(? , 0) , Q( , 0) , 2 2 2 2

设 A(x,y) ,由已知,点 A 在圆 x2 ? y 2 ? ︱AP︱2 + ︱AQ︱2 + ︱PQ︱2=

m2 上. 4

n n 3 m2 3 2 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( x ? ) 2 ? y 2 ? n 2 = 2 x 2 ? 2 y 2 ? n2 ? ? n (定值). 2 2 2 2 2

六、课堂小结、提升认识 1. 直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用. 2. 解决实际问题的具体步骤——审题、建模、解模、还原. 3. 解决几何问题的新方法——解析法,主要数学思想是通过代数方法研究几何问 题,达到数形结合的一种完美境界.用坐标法解决平面几何问题的“三部曲” : 第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问 题转化为代数问题. 第二步:通过代数运算,解决代数问题. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 七、布置作业 课本 P132 练习;P133 习题 4.2 B 组:1,2,3.

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4.2.1直线与圆的位置关系教案

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