nbhkdz.com冰点文库

6.复合函数求导法则

时间:2011-06-19


利用导数判断函数的单调性

函数的单调性概念: 函数的单调性概念: 直观地来看,如图从 到b曲线是上升的 说函数f(x) 直观地来看 如图从a到 曲线是上升的,说函数 如图从 曲线是上升的 说函数 y 在区间(a,b)上是增函数 上是增函数 在区间 上是增函数;
从b到c曲线是下降的, 到 曲线是下降的 曲线是下降的 说函数f(x)在区间 说函数

在区间(b,c)上 在区间 上 减函数. 是减函数

y= f(x)

a

0

b

c

x

严格地说,对于给定区间上的函数 ( ) 严格地说 对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属 对于给定区间上的函数 于这个区间的任意两个自变量的值x 于这个区间的任意两个自变量的值 1, x2, 当x1<x2时, (1)若 ( 那么f( )在这个区间上是增函数 增函数. (1)若f(x1)<f(x2), 那么 (x)在这个区间上是增函数. ( 那么f( )在这个区间上是减函数 减函数. (2)若 ( (2)若f(x1)>f(x2), 那么 (x)在这个区间上是减函数. (

导数的几何意义: 导数的几何意义: f (x+?x)? f (x) 导数 f ′(x) = lim 的几何意义是: 的几何意义是: 0 ?x→ ?x y 函数 y = f ( x ) 的图象在 点 ( x , f ( x )) 处的切线的 f ′( x) < 0 斜率.(如图) .(如图 斜率.(如图)

f ′( x) > 0
a

0

b

c

x

观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的 观察曲线上升的时候 每一点的切线的斜率的 大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小 每一点的切线的斜率的大小, 大小;曲线下降的时候 每一点的切线的斜率的大小 你发现了什么规律? 你发现了什么规律?

不难发现,当曲线上升时, 不难发现,当曲线上升时, f ′( x ) > 0 ; y 当曲线下降时, 当曲线下降时, f ′( x ) < 0 , 反之也成立. 反之也成立.

f ′( x) > 0
a 0 b

f ′( x) < 0
c

x

也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系: 也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系: 在 某 个 区 间 ( a , b ) 内 , 如 果 f ′( x ) > 0 , 那 么 函 数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递增; 如果 f ′( x ) < 0 ,那 在这个区间内单调递增; 在这个区间内单调递减. 么函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递减.
那么函数是常数函数. 注:如果 f ′( x ) = 0 ,那么函数是常数函数.

考察函数的单调性与导数的关系: 考察函数的单调性与导数的关系: 单调性 的关系

观察函数y= 观察函数 =x2-4x+3的图象: + 的图象: y

0

. . . . . ..
2

总结: 总结: 该函数在区间( 该函数在区间(-∞,2) 2) 单调递减, 上单调递减,切线斜率小 0,即其导数为负 即其导数为负; 于0,即其导数为负; 该函数在区间(2 (2,+∞) 该函数在区间(2 +∞) 单调递增, 上单调递增,切线斜率大 x 于0,即其导数为正. 0,即其导数为正 即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 而当x=2时其切线斜率 x=2 0,即导数为0. 0.函数在该 为0,即导数为0.函数在该 点单调性没发生改变. 点单调性没发生改变.

结论:一般地,设函数 = ( ) 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导, 内可导,则函数在该区间 如果 f ′( x) > 0 ,则f(x)为增函数; 函数; ( ) 如果f ′( x) < 0 ,则f(x)为减函数. 函数. ( )
某个区间内恒 注:如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,则f(x)为常 如果在某个区间内 ( ) 数函数. 数函数.

例1:确定下列函数的单调 区间 (1)y = x ? 2 x + 4
2

y = ax + bx + c = 0(a > 0)的单调区间
2

( 2) y = 2 x ? 6 x + 7
3 2

例2:求下列函数的单调区间 ( )y = ln(2 ? 3x) 1 ( 2) y = x
3

注意:(1)函数的单调区间是定义域的子区间 注意 函数的单调区间是定义域的子区间 函数的单调区间是定义域 (2)在判断函数单调性时 如果出现个别点使 )在判断函数单调性时,如果出现个别点使 函数的导数为0不影响包含该点在某个区间上 函数的导数为 不影响包含该点在某个区间上 的单调性

练习: 练习:确定下列函数的 单调区间 (1)f ( x ) = 3 x ? 2 ln x ) 1 ( 2) f ( x ) = x + x 2 ?x ( 3) f ( x ) = x e
2

y
单增区间: , 和 单增区间:(-∞,-1)和 (1,+∞). , ) 1 -2

2 -1

0

x

单减区间: , ) 单减区间:(-1,0)和 (0,1). , )

运用导数确定函数的单调性的方法步骤: 运用导数确定函数的单调性的方法步骤 1.确定函数 的定义域 确定函数f(x)的定义域 确定函数 的定义域. 2.求出函数的导数 f ′(x) 求出函数的导数 3.求出 ′(x)=0的根 求出f 求出 的根 4.用f ′(x)=0的根将 定义域分成若干个区间, 用 的根将f(x)定义域分成若干个区间 的根将 定义域分成若干个区间, 列表考察这若干个区间内 f ′(x)的符号 的符号

进而确定f(x)的单调区间 的单调区间 进而确定

(1 例3: )讨论函数 f ( x ) = a ? a (a > 0且a ≠ 1) 的单调性
x

?x

2x ? b ( 2):已知函数 f ( x ) = 2 ( x ? 1) 求:导函数 f ′( x ),并确定 f ( x )单调区间
注意对字母系数的讨论

(3) 北京 2010.18)(本小题共 13 分) ) ( ) 本小题共

k 2 已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + x ( k ≥0)。 。 2
(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点 , f (1))处的切线方程; Ⅰ当 在点(1, 处的切线方程; 在点 处的切线方程 (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 Ⅱ求 的单调区间。 的单调区间

用导数判断函数单调性应用 1.求参数值 求参数值
(1 上是减函数, 例1: ) y = ax 3 ? x在R上是减函数,求实数 a的取值范围 ( 2)已知f ( x ) = ( x ? 4)( x ? a )在区间(? ∞, 2] 在区间( ?
2

和[2, ∞)上都是增函数,求实 数a的取值范围 上都是增函数, +

反思: 反思:已知 f ( x )在区间 D上单调递增 ? f ′( x ) ≥ 0在 D上恒成立

上是偶函数, 例2:设f ( x )在R上是偶函数,在区间( ?∞ ,0)上 f ′( x ) > 0且有f ( 2a + a + 1) < f ( ?3a + 2a ? 1)
2 2

求的取值范围

反思:偶函数在对称区间上有相反的 反思 偶函数在对称区间上有相反的 单调性 奇函数有相同的单调性

例3:设 f ( x ) = ax + x恰有三个单调区间
3

的取值范围, 试确定 a的取值范围,并求出这 三个单调区间

1.已知函数 已知函数 补充作业 3 2 f ( x) = x + ax + 3bx + c(b ≠ 0), 且g ( x) = f ( x) ? 2 是奇函数.( 的值; (Ⅱ 是奇函数 (Ⅰ)求 a,c 的值; Ⅱ)求函数 f(x) ( 的单调区间. 的单调区间

2.,设函数 f ( x) = xe (k ≠ 0) 设函数
kx

( Ⅰ )求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的 切线方程; (Ⅱ 求函数 f ( x) 的单调区间; 的单调区间; 切线方程; Ⅱ) ( ( Ⅲ )若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递 的取值范围. 增,求 k 的取值范围

(2009 北京理)(本小题共 13 分) 北京理)(本小题共 )( 设函数 f ( x) = xe (k ≠ 0)
kx

处的切线方程; (Ⅰ)求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; 内单调递增, 的取值范围. (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围

1 (Ⅱ)由 f ( x ) = (1 + kx ) e = 0 ,得 x = ? ( k ≠ 0 ) , k
' kx

1? ? ' 单调递减, 若 k > 0 ,则当 x ∈ ? ?∞, ? ? 时, f ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, k? ?
当 x ∈? ?

? 1 ? , +∞, ? 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, 单调递增, ? k ?

1? ? x ∈ ? ?∞, ? ? 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, 单调递增, 若 k < 0 ,则当 k? ? ? 1 ? ' 单调递减, 当 x ∈ ? ? , +∞, ? 时, f ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, ? k ?

1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k > 0 ,则当且仅当 ? ≤ ?1 , k
内单调递增, 即 k ≤ 1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增,

1 若 k < 0 ,则当且仅当 ? ≥ 1 , k
内单调递增, 即 k ≥ ?1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增, 综上可知, 函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增时,k 的取值范围 [ ?1, 0 ) U ( 0,1] . 内单调递增时, 综上可知,

用导数判断函数单调性应用
2.证明不等式 证明不等式

证明: 例1:证明:当 x > 0时,x > ln(1 + x )
反思:若证明 f ( x ) > g ( x ), x ∈ (a , b ) 反思: ? f ( x ) ? g( x ) > 0 令 F( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 如果 F ′(x ) > 0, 则F ( x )在( a , b )上是增函数 ∴ F( x ) > F ( a ) 如果 F(a ) ≥ 0, 则有 F(x ) > F (a ) ≥ 0 即f ( x ) > g ( x )

3.证明有关方程根的问题 证明有关方程根的问题
1 例:求证方程 x ? sin x = 0只有一个根 x = 0 2

练习 : 已知f ( x )的导函数f '( x )的图象如 右图所示,则y=f ( x )的图象可能为

4.导函数图象 导函数图象

A

B

C

C

D

2. 如 果 函 数 y = f ( x ) 的 图 像 如 右 图 , 那 么 导 函 数

y = f ( x) 的图像可能是( A 的图像可能是(
,



y=2 ?x 3.函数 函数
x

2

的图像大致是

A

4.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图, 已知函数 的导函数的图象如下图, 的导函数的图象如下图 那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 的图象可能是

D

5.如图,设有圆C和定点 ,当l 从l0 .如图,设有圆 和定点 和定点O, 开始在平面上绕O点匀速旋转 旋转角 开始在平面上绕 点匀速旋转(旋转角 点匀速旋转 度不超过90° 时 度不超过 °)时,它扫过的圆内阴 影部分的面积S是时间 的函数, 是时间t的函数 影部分的面积 是时间 的函数,它的 图象大致是下列四种情况中的哪一种? 图象大致是下列四种情况中的哪一种? D


9.3复合函数求导法则

9.3复合函数求导法则_数学_自然科学_专业资料。理论课授课教案 任课教师: 授课...?8 6 ? ? ? 新知识:设A是n阶方阵,k是自然数,规定: A0 ? E , A1 ?...

复合函数求导公式

复合函数求导公式_数学_自然科学_专业资料。f[g(x)]中,设 g(x)=u,则 f...8.复合函数求导法则 33页 免费 9.4复合函数求导法则 25页 免费 §6.5 ...

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3 简单的复合函数求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念,了解...4. 求下列函数的导数: (1) y ? (1 ? 3x) 3 .课后作业 (2) y ?...

复合函数求导法则的教学设计

复合函数求导法则的教学设计 摘要:本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法,利 用这种新的教学设计方法,不仅便于理解、容易掌握,更加强了学员...

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3 简单的复合函数求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念,了解...4. 求下列函数的导数: (1) y ? (1 ? 3x) 3 .课后作业: 2 (2) ...

复合函数求导公式,复合函数综合应用

复合函数求导公式,复合函数综合应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。简要介绍...(李老师) 1 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 6 求函数的导数 (1)y=(x2-...

复合函数求导

座号___ 1.2.3 导数的运算法则复合函数的导数 ) B. y=(u-1)n,u=x...2 17.求下列函数的导数. (1)y=(2x2-x+1)4;(2)y= (6)y=cosx· ...

2010-2-28 复合函数求导法则

2010-2-28 复合函数求导法则_数学_高中教育_教育专区。复合函数的求导法则在...2-5多元复合函数的求导法... 23页 2下载券 2.6 多元复合函数的求导......

简单复合函数求导

简单复合函数的导数一、基础知识梳理: (一)常用的求导公式 公式 1 .若 f (...g ( x) 2 巩固练习 1.函数 y= 1 ( 3 x ? 1) 6 ( 3 x ? 1) ...

复合函数的导数练习题

并且 (f [ ? ( x ) ])ˊ= 或记作 熟记链式法则 若 y= f (u),u=...? 第 4 页(共 5 页) 复合函数的导数 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A...