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高一物理竞赛讲义第5讲.教师版

时间:2017-07-03


第5讲

运动学综合

温馨寄语
截止到目前,我们已经把运动学的主要框架知识都学习完了,但是从学完知识到灵活运用,还有很远 的一段路程。大家应该重点从公式和物理量的推导,方法,模型的总结几个方面去反复复习。

知识点睛
运动学思想方法总结: 1.坐标系方法:坐标系是定量研究世界的一个非常重要的工具,利用坐标系可以很容易的定义 物理量(比如,位置,位移,轨迹,速度,加速度等等) ,分析物理量之间的关系(最大,最小,曲 率半径等等) . 坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解,还有以后会学习到的极坐标等等.要注意 根据不同的例题采用不同的方法.

例题精讲

【例1】 如图 ? a ? 所示,冰球沿与冰山底边成 ? ? 60? 的方向滚上山,上山初速度 v0 ? 10m/s ,它在冰 速度为 gsinα,方向沿着斜面向下,其中 g 为重力加速度,近似取 10m/s2) 。

山上痕迹已部分消失,尚存痕迹如图 ? b ? 所示,求冰山与水平面的夹角 ? (冰球在冰山上加

【解析】 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动, ① x ? v0 cos ? ? t 冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动 1 ② y ? g sin ? ? t 2 2 g sin ? x2 ? 2 由①②得 y ? . 2 v0 cos 2 ? 代入数据得 ? ? arcsin
1 ? 30? . 2

【例2】 如图所示,已知在倾角为 ? 的斜面上,以初速度 v0 及与斜面成 ? 角的方向发射一小球,斜面 与小球发生完全弹性碰撞,即小球的速度会被“镜面反射”.问: ⑴ 小球恰能到原始出发点,问总时间 t总 为多少?
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⑵ 为了实现这个过程, ? 必须满足什么条件?

【解析】 小球若能回到出发点要求整个过程可逆,即在最右端可能有①②两种情况. ①为最后一次与斜面碰撞角度为 90 ? . ②即在碰后小球进入竖直直线运动. 无论哪种情况,时间都满足: 2v cos ? ⑴ t总 ? 0 g sin ?

? 2v0 sin ? ?n g cos ? ? 3 ,4 …… ⑵ 只看垂直斜面速度 t总 ? ? , n ? 1,2 , ? 2n ? 1 ? 2v0 sin ? ? g cos ? ? 2
?n cos2 ? ? 时都可以满足. ? ? 2n ? 1 sin 2 ? ? ? 2 【例3】 (摆线)一轮胎在水平地面上沿着一直线无滑动地滚动。(这种情况下,轮胎边缘一点相对 于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率),轮胎中心以恒定的速率 v0 向前移动,轮胎
所以有 的半径为 R ,在 t ? 0 时,轮胎边缘上的一点 A 正好和地面上的 O 点接触,试以 O 为坐标原 点,在如图的直角坐标系中写出轮胎上 A 点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并 写出 A 的轨迹方程(可以用参数方程描述,也就是说,可以引入一个新的自变量,x 和 y 都 随着这个自变量的变化而变化。最常见的参数方程,就是以时间 t 为参数的。 ) y

O'

A A 【解析】 x ? v 0 t ? R sin(

v0
x

v0 t ) R

y ? R ? R cos(

v0 t ) R

【选讲内容】 白努力家族大斗法: 白努力家族(Bernoulli 家族)总共出过八个伟大的数学、物理、天文等等大师,还有很多画家、艺 术家…… 白努力兄弟想比较一下谁更聪明。于是就相约解决最速降线问题。 在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案, 他们各自提出了证明, 杂志的主编, 莱布尼茨也提出了证明, 还有一个陌生人发来了一个有英国邮戳的证明…………肯定是牛顿…… 最后所有的证明中,Johann 的证明是最简洁明了了。如下:

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Johann Bernoulli's solution 约翰白努力的证明
According to Fermat’s principle: The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time. Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravity g).[2] The conservation law can be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as:

, where y represents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement. Johann Bernoulli noted that the law of refraction gives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:

, where vm is the constant and represents the angle of the trajectory with respect to the vertical.

The equations above allow us to draw two conclusions: 1. 2. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be nil. Hence, the brachistochrone curve is tangent to the vertical at the origin. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle θ = 90°. To keep things simple we can assume that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reaches maximum speed after a falling a vertical distance D. So,

. Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:

which can be solved for dx in terms of dy:

. Substituting from the expressions for v and vm above gives:

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which is the differential equation of an inverted cycloid generated by a circle of diameter D

【例4】 一根长为 l 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴 O 在竖直平面内转动,如图所示.杆最初 在水平位置,杆上距 O 为 a 处放有一小物体(可视为质点) ,杆与其上小物体最初均处于静 止状态. 若此杆突然以匀角速 ? 绕 O 轴转动, 设碰撞时细杆与水平面夹角为 ? 求 B 追上细杆 时 ? 与 ? 的关系。仅仅考虑 ? 比较小的情况。 【解析】 ⑴ 对这一问题首先如下分析: 当细杆以角速 ? 绕 O 同转动时,B 的速度为零, 杆上与 O 接触处则 具有线速度 ?a ,因而两者分离, B 作自由落体运动,由于 B 的速 度不断增大, 有可能追上细杆而与之碰撞, 设碰撞时细杆与水平面夹角为 ? , 则? 随 ? 的 增大而增大,当 ? 超过某一数值时, B 就可能碰不上 B 而与之碰撞,所以本题要按这第 一种情况进行讨论. ⑵ 求 B 追上细杆时 ? 与 ? 的关系. 设 B 经过时间 t 后与细杆在 D 处相碰(见图 1) ,则有 1 ① BD ? a tan ? ? gt 2 2 ? ? ?t ② 如给定 ? 的值,由此二式可求出相应的 ? 的值. 由于杆长 L 的限制,要发生碰撞, ? 值必须满足一定条件,由图 1 可知,此条件为 a ③ ? ≤?m ? arccos L 根据这一条件和 ? ? ? 曲线,可以求出相应的 ? 的取值应符合的条 件. g ? g? 2 ? 由式①,②消去 t 得 ? 2 ? 或? ? ④ 2a 2a tan ? tan ?

知识点睛
2. 变换参考系. 很多物理量在变换参考系的时候会有奇怪的性质发生. 常见的有, 位移, 速度. 变 换到某些参考系之后,有的非圆周运动变成了圆周运动;某些不规则运动变成了竖直或者水平的运 动.从而可以迅速解题.

例题精讲
【例5】 曲杆传动算得上机械史上一项伟大的发明,如图是汽缸中曲柄传动的应用,其变往复运动为 圆周运动, 现在把这个实物简化为右图的模型, 设汽缸正以速度 v 向下运动, 角度如图所示, 圆盘的半径为 r,计算圆盘转动的角速度 ? 。

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【解析】

?r cos(900 ? ? ? ? ) ? v cos? v cos? 所以 ? ? r sin(? ? ? )

【例6】 缠在线轴上的线绕过滑轮 B 后,以恒定速度 v0 被拉出,如图所示, 这时线轴沿水平面无滑动滚动,求线轴中心点 O 的速度随线与水平 方向的夹角 ? 的变化关系(线轴的内、外半径分别为 r 和 R ) . 【解析】 线轴的运动可以看作是速度为 v 的平动和角速度为 ? 的转动的合 v 成,而且因为线轴不沿水平面滑动,有 ? ? ① R 而 A 点速度沿线方向的投影为 ?r ? v cos ? ? v0 ② v0 R 由①②得 v ? . r ? R cos ? 【例7】 如图所示装置,设杆 OA 以角速度 ? 绕 O 转动,其 A 端则系以绕过滑轮 B 的绳,绳子的末端 挂一重物 M .已知 OB ? h ,当 ?OBA ? ? 时,求物体 M 的速度. 【解析】 如右图所示,设 ?BAO ? 90? ? ? , A 点绕 O 轴转动的速度 v A 可表示为 vA ? ? ? OA . 将 v A 分别为沿 BA 方向的速度 vM (因 A 点与绳系在一起, 故 v A 有一分速度 ? v )和与 垂直的速度 ,则 . vM vM vM ? vA cos ? 在 △ ABO 中,由正弦定理得
h OA h ? ? . sin ? 90? ? ? ? sin ? cos ?

由此得 vM ? ? h sin ? ,此即物体 M 的速度(绳上各点沿绳方向的速度大小 均与物体 M 的速度大小相同) .

解法二: 相对角速度法,想象杆子是静止不动的,墙转动过来,则直接有:
vM ? ? h sin ?

知识点睛
3. 过程问题,小量分析,微元方法.微元法是高中竞赛必学的一个基本方法,它蕴含着微积分 的基本思想之一:通过分析小量之间的关系来求得宏观的结论.应用微元方法的时候一定要注意,哪 些量可以忽略(二阶小量) ,哪些量是不可以忽略的,一阶小量. 4. 求极值 ,物理竞赛中用到的方法主要有 :矢量几何方法求极值 , 二次函数极值, 一元二次方程的 ? ? 0 求极值,微元法求极值,均值定理求极值,利用导数求极值等等.

知识点睛
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【例8】 体会一下什么是包络线:就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来。请分析下面的图形的 包络线:

女王的冲击波:

【例9】 二次世界大战中物理学家曾经研究, 当大炮的位置固定, 以同一速度 v0 沿各种角度发射,问:当飞机在哪一区域飞行之外时,不会有危险? 换句话讲,求一个虚线,这个虚线包围了所有可能被打到得范围 .这个线
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我们叫做包络线. 【解析】

结论是这一区域为一抛物线,此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线.此抛物线为 v2 在大炮上方 h ? 处,以 v0 平抛物体的轨迹. 2g 证明如下:

? x ? v0 cos ? t ? ? 1 y ? v0 sin ? t ? gt 2 ? ? 2
消掉 t 得到

y ? tan ? x ?

g 1 g g x 2 ? tan ? x ? 2 x 2 tan 2 ? ? 2 x 2 2 2 2v0 cos ? 2v0 2v0

处理方法有很多种: 第一种: 当做一个关于 tan ? 的方程来处理: 则一定有解,并且在有重根的时候有可能取到包络线。因为包络线以内的任意点都有两种打 击方式。

? ? x2 ? ??

2 v0 gx2 gx 2 gx 2 得到: 此际包络线 ? ( y ? ) ? 0 y ? ? 2 2 2 2v0 2v0 2 g 2v0

第二种: 可以看出,当任意给定一个 x ,都有一个 y 的最大值?这个最大的 ym 满足的点? ( ym , x) 就 一定是包络线上的点?把 y 当做一个关于 tan ? 的函数 求 ym ?
2 b v0 当 tan ? ? ? ? 时候可以取到极值 2a gx

也就是?

? v2 ? v2 g g ym ? 0 x ? 2 x 2 ? 0 ? ? 2 x 2 gx 2v0 ? gx ? 2v0 2 v0 gx 2 ? ? 2 2 g 2v0
于是就得到了包络线的数学表达式

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【例10】 设湖岸 MN 为一直线,有一小船自岸边的 A 点沿与湖岸成 ? ? 15? 角方向匀速向湖中央驶去.有一人自 A 点同时出发, 他先沿岸走一段再入水中游泳去追船. 已知人在岸上走的速 度为 v1 ? 4m/s ,在水中游泳的速度为 v2 ? 2m/s .试问船速 至多为多少,此人才能追上船? 【解析】 解法一 由等效法求解 如图,设人在 B 点刚好追上船,则人可能走很多途径,如 A ? C ? B , A ? D ? B , A ? E ? B 等等在这些路径中,费时最少者即对应着允许的最大船速.如图,在湖岸这边作 ?NAP ? 30? ,自 C 、 D 、 E 各点分别向 AP 引垂线 CK 、 DH (设 BDH 刚好为一直线)和 EF .设想图中 MN 的下侧也变成是湖水区域,则人由 K 点游泳至 C 点的时间与人在岸上由 ,故人按题给情况经路径 A 点走至 C 点的时间是相等的(因为 v1 ? 2v2 ,而 AC ? 2 KC ) A ? C ? B 所用的时间和假想人全部在水中游过路径 K ? C ? B 等时.同理,与上述的另 两条实际路径等时的假想路径是 H ? D ? B 和 F ? E ? B .由于在这些假想路径中,速度 大小都一样,故通过的路径最短费时最少,显然通过直线 HDB 费时最少. 由以上分析知,人沿等效路径 HDB 刚好在 B 点追上船时, AB BH ? 对应着允许船速的最大值,设其为 v ,则有 . v v2 由于 △ AHB 为等腰直角三角形,故 AB ? 2BH ,故得
v ? 2v2 ? 2 2 ? m/s ?

解法二 由微元法求解 如图,设人在 B 点刚好能追上船,且在人到达 B 点的各种实 际路径中, 以自 D 处入水游泳所用的总时间最少, 则若自 D 点左侧附近的某点 C 入水,必在 D 点右侧有一入水点 E 与 之对应, 使得在 C 点和 E 点入水两种情况下刚好追到船所用 的总时间相等.在 BC 段上取 BF ? BE ,则应有人走 CE 段 CE CF ? 和游 CF 段所用的时间相等,即 . v1 v2 当 C 点无限靠近 D 点时, E 点必同时向 D 点靠拢,由图可见此时将近似有 EF ? BC ,故 CF 1 cos? ? ? ,所以 ? ? 60? .由于此时 C 点是无限靠近 D 点的,故 BC 与 BD 接近重合, CE 2 即 ?BDN ? ? ? 60? . 由上得出:当人自某点入水沿与岸成角 ? ? 60? 方向游泳刚好追到船时,此情况下对应的船 速为人能追上船的最大允许速度,设其为 v ,如图,过相遇点 B 作 BK ? BD 交 MN 于 K , 因为 ? ? 60? ,所以 DK ? 2DB . 又由于 v1 ? 2v2 ,则人游 DB 段与走 DK 段的距离所用的时间相等.故人自出发到在 B 点追上 AB AK ? 船的时间等于他由 A 点走到 K 点的时间,即 . v v1 AB sin30? 1 在 △ ABK 中,由正弦定理有 ,所以 ? ? AK sin135? 2 v v ? 1 ? 2 2 ? m/s ? 2 【例11】 (回忆这个题目,思考各种方法)三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形,三角形的边长 为 60cm.第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去,同时,第二只向第三只爬去,第三只向第一 只爬去,每只蜗牛爬行的速度都是 5cm/min.在爬行的过程中,每只蜗牛都始终保持对准自 己的目标.经过多长时间蜗牛们会相遇?相遇的时候,它们各自爬了多少路程? 课后思考题:它们经过的路线可以用怎样的方程来描述?若将蜗牛视为质点,那么它们 在相遇前,绕着它们的最终相遇点转了多少圈? 【解析】 解法一: (相对速度法)
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将蜗牛 2 的速度矢量在指向蜗牛 1 的方向和与之垂直的方向上分解(见图) .则两只蜗牛彼 1 3 此靠近的相对速度为 v ? v ? v ? 7.5cm / min ,因此它们将在 60cm/(7.5cm/min)=8 min 后 2 2 相遇.事实上,8 min 后三只蜗牛将相遇在一起,由于它们的实际速度为 5 cm/min,因此在 相遇前,它们爬过的路程为 40 cm. 解法二: (分速度法)

将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到相同的结果,比如以蜗牛为原点,指向三角形的中 心为一个坐标轴,其垂直方向为另一个坐标轴,如图所示.很明显,最终蜗牛们将在中心点 相遇,而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度

( 3 / 2)v ? 5 3 / 2cm / min 爬向中心点.同时,围绕中心爬行的速度为 v / 2 .

可以很容易计算出蜗牛在初始状态距离中心点

60( 3 / 3)cm ,因此它们将在
? 8min 5( 3 / 2)cm / min 后相遇. 解法三: 边长经历了非常小的一段时间 ?t 之后,变成了: l ' ? l ? v?t ? v?t cos 60? 所以边长减小的“速度”就是: v(1 ? cos60? ) l 60 ? ? 8min 所以总的时间应该为 t ? ? v(1 ? cos 60 ) 5(1 ? 1 ) 2 60( 3 / 3)cm

模拟轨迹如下:线速度不变,角速度逐渐增加,半径不断减小的运动:

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为了保证竞赛班学习的质量,请同学们花 1 分钟填写下面内容: 学习效果反馈: 代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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