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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:14.2《圆周角定理与圆的切线》

时间:2014-05-19


14.2 圆周角定理与圆的切线
考情分析 考查圆的切线定理和性质定理的应用. 基础知识 1.圆周角定理 (1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆相交的角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧度数的一半. (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是 90° ;90° 的圆周角所对的

弦是直径. 2.圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个 数 相交 相切 相离 (2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等. 3.弦切角 (1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交的角. (2)弦切角定理及推论 ①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半. ②推论: 同弧(或等弧)上的弦切角相等, 同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等.
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直线到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的关 系 d<r d=r d>r

两个 一个 无
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题型一

圆周角的计算与证明

【例 1】如图,AB 为⊙O 的直径,弦 AC、BD 交于点 P,若 AB=3,CD=1,则

sin∠APB=________. 解析 连接 AD,BC.因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=∠ACB=90° .

又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD 中,由正弦定理得:

CD AD = = sin∠DAC sin∠ACD

ABsin∠ABD AD 1 = =AB=3,又 CD=1,所以 sin∠DAC=sin∠DAP=3, sin∠ABD sin∠ABD 2 所以 cos∠DAP=3 2. 2 又 sin∠APB=sin (90° +∠DAP)=cos∠DAP=3 2. 2 答案 3 2 【变式 1】 如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点 ,且 AB=4,∠ACB=30° ,则圆 O

的面积等于________. 解析 连接 AO, OB.因为∠ACB=30° , 所以∠AOB=60° , △AOB 为等边三角形, 故圆 O 的半径 r=OA=AB=4,圆 O 的面积 S=πr2=16π. 答案 16π 题型二 弦切角定理及推论的应用

【例 2】如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过 B 引⊙O 的切线分别交 DA、 CA 的 延长线于 E、F.已知 BC=8,CD=5,AF=6,则 EF 的长为________.

解析 ∵BE 切⊙O 于 B,∴∠ABE=∠ACB. 又 AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC, BE AB ∴△EAB∽△ ABC,∴AC=BC. EF BE AB EF 又 AE∥BC,∴AF=AC,∴BC=AF. 又 AD∥BC,∴ AB = CD , CD EF 5 EF ∴AB=CD,∴ BC =AF,∴8= 6 , 30 15 ∴EF= 8 = 4 . 答案 15 4

【变式 2】如图,已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线 交于 E 点,证明:

(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD. 证明 (1)因为 AC = BD , 所以∠BCD=∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD.
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(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 BE= BC , 即 BC2=BE×CD. 巩固提高

1.如图所示,△ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜 边交于点 P,则 BP 长为________. 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA=90° ,即 CP⊥AB,由射影定理知,AC2= AP· AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4. 答案 6.4 2.如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为 B、C, D 是 优 弧 BC 上 的 点 , 已 知 ∠ BAC = 80° , 那 么 ∠ BDC = ________. 解析 连接 OB、OC,则 OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180° -∠BAC=100° , 1 ∴∠BDC=2∠BOC=50° . 答案 50° 3.如图所示,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 A、B 在圆 O 上, BC =1,∠BCD=30° ,则圆 O 的面积为________.

解析 连接 OC, OB, 依题意得, ∠COB=2∠CAB=2∠BCD=60° , 又 OB=OC, 因此△BOC 是等边三角形, OB=OC=BC=1,即 圆 O 的半径为 1, 所以圆 O 的面积为 π ×12=π. 答案 π 4.如图,直角三角形 ABC 中,∠B=90° ,AB=4,以 BC 为直径 的圆 交 AC 边于点 D,AD=2,则∠C 的大小为________ .

解析 连接 BD,则有∠ADB=90° .在 Rt△ABD 中,AB=4,AD=2,所以∠A= 60° ;在 Rt△ABC 中,∠A=60° ,于是有∠C=30° . 答案 30° 5.如图,MN 是圆 O 的直径,MN 的延长线与圆 O 上过点 P 的 切线 PA 相交于点 A,若∠M=30° ,AP=2 3,则圆 O 的直径为 ________.

解析 连接 O P,因为∠M=30° ,所以∠AOP=60° ,因为 PA 切圆 O 于 P,所以 AP 2 3 OP⊥AP,在 Rt△ADO 中,OP= = =2,故圆 O 的直径为 4. tan ∠AOP tan 60° 答案 4