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南京市2011~2012学年度第一学期期末调研(高二数学文)

时间:2012-11-02


南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研

文科数学卷
注意事项:

2012.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满分为 100 分, 考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学

号写在答卷纸的密封线内.试题的答案写在答卷纸上对应 ... 题目的答案空格内.考试结束后,交回答卷纸. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上 ....... 1.命题“?x∈R,x2≥0”的否定是 ▲ . 2.已知函数 f (x)=x2-x,则 f ′(x)= ▲ . ▲ 象限.

3.已知复数 z=2+i(i 为虚数单位) ,则对应的点在第 x2 y2 4.双曲线 - =1 的焦点坐标是 ▲ . 5 4

5.设直线 l1:ax-2y+1=0,l2:(a-1) x+3y=0,若 l1// l2,则实数 a 的值是

▲ .

6.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线经过点(2,2),则此抛物线方程为 ▲ . y2 7.已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b 的值是 b 1 8.函数 f (x)= x-sinx 在区间[0,π]上的最小值是 2 ▲ . ▲ .

x2 y2 9.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右准线与 x 轴的交点为 M,以椭圆的长轴为直径作圆 O,过点 M 引圆 O 的切 a b 线,切点为 N,若△OMN 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ▲ . 10.如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,则 f ′(4)=
y l 5 3

▲ .

O

4 第 10 题 图

x

1

11.若圆 x2+y2=r2(r>0)与圆(x+3)2+(y-4)2=36 相交,则 r 的取值范围是

▲ .

12.给出下列命题 ①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件; ②“lga=lgb”是“a=b”的必要不充分条件; ③若 x, y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件; ④△ABC 中, “sinA>sinB”是“A>B”的充要条件. 其中真命题是 ▲ . (写出所有真命题的序号)

13.观察下列等式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,?从中可归纳得出 第 n 个等式是 ▲ .

14.设函数 f(x)在其定义域 D 上的导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其中 h(x)对任意的 x∈D 都有 h(x) 1 >0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 P(a).给出下列四个函数:①f(x)= x3-x2+x+1; 3 x2+x 4 2 x ②f(x)=lnx+ ;③f(x)=(x -4x+5)e ;④f(x)= ,其中具有性质 P(2)的函数是 x+1 2x+1 足条件的函数的序号) ▲ .(写出所有满

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ........
2

演算步骤.

15. (本题满分 8 分) 已知复数 z1=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数. (1)求实数 m 的值; (2)若(3+z1) z=4+2i,求复数 z.

16. (本题满分 8 分) 已知命题 p:函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数;命题 q:关于 x 的方程 x2-2ax+4=0 有实数根.若 p∧q 为 真,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 10 分) 设直线 l:4x+3y+a=0 和圆 C:x2+y2+2x-4y=0. (1)当直线 l 过圆 C 的圆心时,求实数 a 的值; (2)当 a=3 时,求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

3

18. (本题满分 10 分) 某公司需制作容积为 216 ml 的长方体形饮料盒,饮料盒底面的长是宽的 2 倍.当饮料盒底面的宽为多少时,才 能使它的用料最省?

19. (本题满分 10 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),焦点到短轴端点的距离为 2 10. (1)求椭圆 C 的标准方程; 5 (2)设点 P 是椭圆 C 上的一点,且在第一象限.若△PF1F2 为直角三角形,试判断直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 2 的位置关系.

20. (本题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)=alnx+ x2+(a+1)x+1. 2 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,且对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有| f(x1)-f(x2)|>2| x1-x2|,求实数 a 的最小值.

4

南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研

答卷纸(文科数学)
题号 得分 1-14 15 16 17 18 19 20 总分 核分人

2012.01
复核人

得分 评卷人 1.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. ....... 2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 ........ 算步骤. 得分 评卷人 15. (本小题满分 8 分)

5

得分 期成绩 16. 评卷人 (本小题满分 8 分)

得分 评卷人

17.(本小题满分 10 分)

6

得分 评卷人

18. (本小题满分 10 分)

得分 评卷人

19.(本小题满分 10 分)

得分 评卷人

20.(本小题满分 12 分)
7

8

南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研 文科数学参考答案及评分标准卷
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相 应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再 给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.? x∈R,x2<0 2.2x-1 3.四 2 4.(±3,0) 5. 5 6.y2=4x 7.2

2012.01

π 3 2 1 8. - 9. 10. 6 2 2 2

11.(1,11) 12.③④

13.n+(n+1)+(n+2)+?+[n+2(n-1)]=(2n-1)2(n?N*) 14.①②③ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分)
?m(m-1)=0, 解: (1)由题意得? ????????????????????????2 分 ? m-1≠0.

解得 m=0. ??????????????????????????????4 分 (2)当 m=0 时,z1=-i. 由(3+z1) z=4+2i,即(3-i) z=4+2i, 4+2i 得 z= 3-i =1+i. ??????????????????????????????6 分 ??????????????????????????????8 分

16. (本题满分 8 分) 解: 当 p 为真命题时,a>1.
2

????????????????????????2 分

当 q 为真命题时,△=4a -16≥0. 解得 a≤-2 或 a≥2.
?a>1, ? ?a≤-2或a≥2.

???????????????????????????4 分

因为 p∧q 为真,所以 p 和 q 都是真命题. ?????????????????????????6 分 ?????????????????????8 分

所以实数 a 的取值范围是[2,+∞). 17. (本题满分 10 分)

解: (1)由 x2+y2+2x-4y=0,得(x+1)2+(y-2)2=5. 所以圆 C 的圆心为(-1,2),半径为 5. ????????????????????2 分 因为直线 l 过圆 C 的圆心,所以-4+6+a=0.
9

解得 a=-2.

????????????????????????????4 分

(2)当 a=3 时,圆心(-1,2)到直线 l:4x+3y+3=0 的距离为 |4× (-1)+3× 2+3| d= =1. ??????????????????????????7 分 2 2 4 +3 则 2 r2-d2=4. 所以直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4. ?????????????????????10 分 18. (本题满分 10 分) 解:设饮料盒底面的宽为 x cm,高为 h cm,则底面长为 2x cm. 根据 V=x·2x·h,可得 h = 216 .??????????2 分 2x2

所以,表面积 S(x)=2(x·2x+x·h+2x·h) 216 162 =2(2x2+3x· 2 )=4(x2+ ) (x>0) ??????????????4 分 2x x 162 由 S ?(x)=4(2x- 2 )=0, ???????????????????????????6 分 x 得 x=3 3. ????????????????????????????????8 分 当 0<x<3 3时,S?(x)<0,函数 S(x) 在(0,3 3)是减函数; 当 x>3 3时,S?(x) >0,函数 S(x) 在(3 3,+∞)是增函数. 所以,当 x=3 3时,S(x)取得极小值,且是最小值. 答:当饮料盒底面的宽为 3 3 cm 时,才能使它的用料最省.?????????????10 分 19. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 解: (1)由题意可得 a=2 10,c=5, ??????????????????????2 分 则 b2=15. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. ?????????????????????????4 分 40 15 5 10 (2)圆 O:x2+y2= 的圆心为原点,半径 r= . 2 2 ①当∠PF2F1 为直角时,点 P 的坐标为(5, 3 直线 PF1 的方程为 y= (x+5). 4 10 15 10 此时圆心到直线 PF1 的距离为 < . 13 2 5 所以直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 相交. ??????????????????????7 分 2 ②当∠F1PF2 为直角时,设点 P 的坐标为(x,y). x2 y2
2

3 10 ). 4

?????????????????5 分

?40+15=1, ?x=4, ? 解? 5 得?y=3. x +y = . ? 2
2

所以点 P 的坐标为(4,3). ????????????????????????????9 分
10

则点 P 到椭圆右焦点(5,0)的距离为 10. 此时圆心 O 到直线 PF1 的距离为 10 . 2 ????????????????????10 分

5 所以直线 PF1 与圆 O:x2+y2= 相切. 2

20. (本题满分 12 分) 1 解: (1)当 a=-1 时,f(x)=-lnx+ x2+1. 2 1 则 f′(x)=- +x. ??????????????????????????????2 分 x 令 f′(x)>0,得 x<0 或 x>1. 所以函数函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞).??????????????????4 分 (2)因为函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, x2+(a+1) x+a (x+1)( x+a) 所以 f′(x)== = ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. ??????6 分 x x 即 x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. 所以 a≥0. ??????????????????????????????8 分 即实数 a 的取值范围是[0,+∞). (3)因为 a>0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 因为 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨设 x1>x2,所以 f(x1)>f(x2). 由| f(x1)-f(x2)| 2| x1-x2|恒成立,可得 f(x1)-f(x2)>2(x1-x2), 即 f(x1)-2x1>f(x2)-2x2 恒成立. 令 g(x)=f(x)-2x,则在(0,+∞)上是增函数. ????????????????10 分 x2+(a-1) x+a a 所以 g′(x)= +x+(a+)-2= ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. x x 即 x2+(a-1) x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. x2-x 即 a≥- 对 x∈(0,+∞)恒成立 x+1 x2-x 2 2 因为- =-(x+1+ -3)≤3-2 2(当且仅当 x+1= 即 x= 2-1 时取等号) , x+1 x+1 x+1 所以 a≥3-2 2. 所以实数 a 的最小值为 3-2 2. ???????????????????????12 分

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