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高二数学直线和圆的方程教材分析

时间:2017-01-04


第七章

直线和圆的方程教材分析

本章的最主要的内容是直线方程、圆的方程以及线性规划的初步知识(直 线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式、两点式.直线方程的一般式.两条直线平 行与垂直的条件.两条直线的夹角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面 区域,简单的线性规划问题. 研究性课题和实习作业. 曲线与方程的概念 由已 知条件列出曲线方

程. 圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程).本章共需 22 课时,课时具体分配如下(供参考) : 7.1 直线的倾斜角和斜率 约 2 课时 7.2 直线的方程 约 3 课时 7.3 两条直线的位置关系 约 5 课时 7.4 简单的线性规划 约 3 课时 研究性课题和实习作业:线性规划的实际应用 约 1 课时 7.5 曲线和方程 约 3 课时 7.6 圆的方程 约 3 课时 小结与复习 约 2 课时 一、内容与要求 本章六小节的内容大致可以分为三个部分:第一部分包括直线的倾斜角和 斜率、直线的方程、两条直线的位置关系;第二部分包括简单的线性规划、研 究性课题和实习作业;第三部分包括曲线和方程、圆的方程 直线和圆都是最常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有广泛的 应用.初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究 .初中代数研究了一 次函数的图象和性质,高一数学研究了平面向量、三角函数.直线和圆的方程是 以上述知识为基础的,同时是平面解析几何学的基础知识,是进一步学习圆锥 曲线以及其它曲线方程的基础,也是学习导数、微分、积分等的基础 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支, 它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规 划是在学习了直线方程的基础上,介绍直线方程的—个简单应用.通过这部分内 容的学习,使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,以培养学习数学 的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力 为了建立直线的方程,本章首先引入了直线的倾斜角和斜率的概念,导出 经过两点的直线的斜率公式.然后,利用经过两点的斜率公式,推导出直线方程 的点斜式,利用点斜式,推导出直线方程的两点式;作为以上直线方程的特殊 形式,介绍了直线方程的斜截式、截距式.指出了在平面直角坐标系中直线与二 元一次方程的关系,介绍了直线方程的一般式.接着,研究了判定平面直角坐标 系中两条直线平行和垂直的充要条件、两条直线的夹角和交点、点到直线的距 离等问题 作为直线方程的一个简单应用,介绍了简单的线性规划问题.首先通过一个 具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个实例,介绍了线性
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规划问题及有关的几个基本概念及一种基本的图象解法,并利用几道例题说明 线性规划在实际中的应用.安排了一个研究性课题和实习作业,使学生了解身边 实际问题中线性规划的应用 在第一部分研究了直线的方程的基础上,第三部分进一步讨论了一般的曲 线的方程、方程的曲线概念,并着重研究了求曲线的方程的问题.作为一般曲线 的具体例子,介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程.此外,本章安排了介 绍向量与直线、笛卡儿和费马的两个阅读材料 本章的重点是直线的方程、两条直线的位置关系、曲线和方程以及圆的方 程,这些都是平面解析几何的重要基础知识.直线的方程、圆的方程是最基本的 曲线方程.直线的方程是研究两条直线位置关系的基础,同时也是讨论圆的方程 及其它圆锥曲线方程的基础.曲线的方程、方程的曲线概念,是解析几何的基本 概念,理解和掌握这两个基本概念,是求曲线的方程和讨论曲线的性质的基础. 本章的教学要求有: 1.理解直线斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握由一点和斜 率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式, 并能根据条件熟练地求出直线的方程 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,掌握两条直线的夹角和点到直线的距 离公式;能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 3.会用二元一次不等式表示平面区域 4.了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用 5.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念 .理解圆的参数方 程 7.结合教学内容进行对立统一观点的教育 8.实习作业以线性规划为内容,培养解决实际问题的能力 二、本章的特点 (一)注意渗透数学思想方法 数学思想方法是重要的数学基础知识 .本章注意通过教学内容渗透从中反 映出来的数学思想方法 数与形是数学的两个最基本的研究对象,但是,在数学的早期发展历史上, 人们对数与形的研究是相对独立和隔离的,从中发展出相对独立的代数学和几 何学,直到解析几何学的产生,才使数与形这两个对象完美地结合起来.本章主 要内容属于解析几何学的基础知识,学生初次接触借助于坐标方法研究图形.教 科书注意渗透数形结合这一解析几何学中反映出来的重要数学思想方法.在本 章引言中,教科书直接指出: “通过坐标系,把点和点的坐标、曲线和曲线方程 联系起来,达到了形与数的结合”.引言中的实际问题都涉及到怎样把形转化为 数,又把数转化成形的问题,分别属于计算机图形学、三维动画技术等领域, 解析几何学的知识是这些现代技术的重要基础.在本章的一些参考例题和习题 中都注意配备能比较明显体现数形结合这一重要数学思想方法的问题,在本章
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的“小结与复习”的需要注意的问题的(1)中又再次提出要注意这种重要数学思 想.当然,数形结合这一重要数学思想是通过本章的主要内容为途径来体现的, 新教科书直接提出这一思想,使之更加突出.教科书还通过阅读材料进一步介绍 这种思想 (二)注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章 节教学内容做好准备, 能使整套教科书成为一个有机整体, 提高教学效益.与 《原 大纲》比较, 《新大纲》在“直线和圆的方程”这部分内容之前增加了简易逻辑、 平面向量等新的教学内容,把原位于“直线和圆的方程”这部分内容之后的充 要条件移入第一章“集合与简易逻辑”中,客观上使这部分内容有了更新处理 方法的可能 例如,在处理两条直线平行的条件时,为了更好地反映解析几何利用方程 讨论曲线性质的基本思想,教科书直接给出了用斜截式的斜率和截距表达的充 要条件.在给出曲线的方程、方程的曲线概念以后,直接指出,如果曲线 C 的方
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程是 f ( x, y) ? 0 ,那么点 P 0 ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是 f ( x0 , y0 ) ? 0 . 在讨论二元一次不等式表示平面区域时,应用集合观点来描述直线和被直线划 分所得的平面区域,并用集合的语言来表达这些点的集合,比较准确和简明.在 介绍圆的参数方程时,首先讨论圆心在原点的圆的参数方程,利用三角函数的 定义,直接得到圆的参数方程,沟通了这一知识与三角函数之间的联系 “平面向量”是《新大纲》中新增加的一个重要内容,而“直线和圆的方 程”与“平面向量”有着较为密切的联系,本章比较注意应用向量这一有力的 工具来处理有关的内容.例如,在推导经过两点的直线的斜率公式时,过原点作
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向量,而直线 OP 的倾斜角和直线 PP 1 2 的倾斜角相等,从而比较简捷地利用正 切函数定义求得斜率公式.在讨论两条直线垂直的条件时,利用方向向量和斜率 的关系,得到用斜率表达的垂直充要条件.教科书还安排了一个阅读材料“向量 与直线”来帮助学生了解向量在直线问题中的应用 (三)重视理论联系实际,注意培养用数学的意识 注意贯彻理论联系实际的教学原则,培养学生应用数学的意识.本章的引言 就从当今时代广泛应用的计算机技术中所涉及数学知识出发引入问题,让学生 了解数学在今天的信息时代的重要地位,以激发学生学习的兴趣,树立正确的 学习目的.本章的引言指出,在科研、工程设计、工艺美术、印刷、广告设计乃 至影视艺术等各种领域,都已广泛应用各种计算机软件进行文字、图象的处理 和创作.用这些软件,可以画各种多边形和圆等图形,并对这些图形进行各种操 作.然后提出了两个问题:为什么用计算机能对文字、图形等作各种处理呢 ?我 们怎样用某种计算机语言编写绘制图形的程序呢?这样, 从某种角度提出了学习 直线和圆的方程知识的意义.当然,在具体教学中,也可以根据实际教学情况, 从其他的问题来引入新课
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本章还安排了“简单的线性规划”的内容,这是《新大纲》中增加的一个 新内容,反映了《新大纲》对于数学知识的应用的重视.本章在介绍了二元一次 不等式表示平面区域以后,用一个具体的例子说明了线性规划的意义,以及线 性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等有关的几个基本概念, 介绍了线性规划问题的图解方法,举例说明了线性规划在实际中的应用 第 7.5 节还安排了以线性规划为内容的研究性课题和实习作业.研究性课 题主要原因是指对某些数学问题的深入探讨,或者从数学角度对某些日常生活 中和其他学科中出现的问题进行研究.在研究性课题中要充分体现学生的自主 活动和合作活动.研究性活动应以所学的数学知识为基础,并且密切结合生活和 生产实际,让学生了解所学知识在实际中的应用,并培养他们分析问题、解决 问题的能力 三、教学中应注意的问题 (一)把握好本章的教学要求 在本章中,对于直线方程的斜截式和截距式, 《新大纲》没有把它们作为一 种独立的直线方程形式提出来,教科书只是把它们分别作为直线方程的点斜式 和两点式的特殊形式给出,对于斜截式,教材只配备少量习题和练习,对于截 距式则只是出现一下,让学生能初步了解,没有专门练习和习题再作巩固训练, 教学中要掌握好教学要求的度.在讨论两条直线的交点的问题时,不再就直线的 一般形式对系数作讨论而得出一系列判定直线相交、平行、重合的条件,而仅 要求学生能根据具体的直线方程组的解的情况来判断直线是否相交,如相交, 会求出交点坐标.教学时不要拓宽加深 .对于二元一次不等式表示平面区域以及 线性规划问题,教科书都没有形式化地给出有关概念的定义,不作一般性讨论, 而仅以特殊例子加以说明,教学中也不必引入形式化的定义 (二)注意面向全体学生 面向全体学生就是要对每一个学生负责,既要为所有学生打好共同基础, 也要注意发展学生的个性和特长,进行因材施教 本章的内容是进一步学习圆锥曲线、导数、微分、积分等的基础.因而,要 学好整个高中数学,就必须打好本章知识的基础,否则将会给后续内容的学习 带来许多困难.所以在教学中要注意关心每一个学生的学习,及时发现教学中的 问题,查漏补缺,打好一个共同的基础,完成教学大纲的教学要求.此外,本章 内容又为发展学生的个性和特长提供了许多可能,教科书也为此提供素材.例 如,在一些问题的解答以后,教科书提出问题,要求学生用其他的方法解题.在 推导了点到直线的距离公式后,提出研究一下用其他方法推导上面的距离公式. 教科书安排了两个阅读材料,对本章所涉及的一些基本问题和数学史实、数学 思想方法作了简要的介绍,可以要求学有余力的学生认真阅读和体会,帮助他 们加深对所学知识的理解.例如阅读材料“向量与直线”介绍了把平面向量的一 些知识应用于直线方程,讨论直线与直线的位置关系,使学生能复习平面向量 的有关知识,加深对直线方程问题的理解.阅读材料“笛卡儿和费马”介绍了解 析几何学产生的历史背景,以及两位数学家笛卡儿和费马在创立这门学科中的
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主要贡献,并就解析几何的创立对数学的发展所产生的重大影响作了介绍.通过 阅读材料的学习,学生能从中了解一些重要的数学思想方法,并进而培养浓厚 的学习兴趣,正确的学习目的,实事求是的科学态度,以及独立思考、勇于探 索创新的精神 (三)注意复习相关的教学内容 本章的教学内容属于平面解析几何学的基础,研究的对象是直线和圆,属 于几何图形,研究方法是坐标法,要综合应用代数、三角函数、平面几何、平 面向量等多方面的知识,这就要求在教学中结合教学内容复习相关的知识.尤其 是本章中应用平面向量来处理直线的问题较多,如直线的斜率、圆心不在原点 的圆的参数方程等问题中都涉及应用向量这一有力工具来处理,教学中要注意 复习相关知识 四、关于教学内容的取舍 关于直线方程的形式, 《新大纲》规定的教学内容有点斜式、两点式、参数 式和一般式,原大纲则还有斜截式和截距式.现在以例题形式作为点斜式、两点 式的特殊形式保留了斜截式和截距式,一般认为,直线方程的点斜式和两点式 给出了根据一定条件求直线方程的途径,但在具体应用中,由于点斜式和两点 式的形式比较原始和复杂,参数比较多,常把它们化为斜截式和一般式;斜截 式与初中的一次函数有相同的形式易于互相沟通,形式比较简单,参数有简明 的几何意义;截距式的形式比较简明对称,参数意义明显,能为画直线图形提 供方便
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