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2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版


2015 届文科数学练习卷 5
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M∩N=( ). A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 2.

/>2 =( 1? i
A. 2 2

). B.2 C. 2 D.1 ).

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x-3y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 4.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B ? A. 2 3+2 5.设椭圆 C: B. 3+1 C. 2 3 ? 2

π π , C ? ,则△ABC 的面积为( 4 6 D. 3 ? 1

).

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, a 2 b2
). B.

则 C 的离心率为( A.

1 3 D. 2 3 2 π? ? 6.已知 sin 2? = ,则 cos 2 ? ? ? ? =( ). 3 4? ? 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3

3 6

1 3

C.

7.执行右面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=(

).

1 1 1 A. 1+ ? ? 2 3 4 1 1 1 1 C. 1+ ? ? ? 2 3 4 5

1 1 1 ? B. 1+ ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 ? ? D. 1+ ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2

8.设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ). A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的 正视图可以为( ).

10. 设抛物线 C: y =4x 的焦点为 F, 直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点. 若|AF|=3|BF|, 则 l 的方程为( A. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 B. y ?

2

).

C. y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1)
3 2

3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 D. y ? ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2
).

11.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( A.? x0∈R,f(x0)=0
1

B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 x 12.若存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)

D.(-1,+∞)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是__________. 14.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =__________. 15.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 __________. 16.函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图像向右平移 合,则 φ =__________.

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 2
π π? ? 个单位后,与函数 y= sin ? 2 x ? ? 的图像重 2 3? ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

18.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1) 证明: BC1 //平面 A1CD ; (2) 设 AA 1 DE 的体 1 ? AC ? CB ? 2, AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A 积.

2

19.(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元, 未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图 所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度 内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线 段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x? ? x 2 e ? x . (1)求 f ?x ? 的极小值和极大值; (2)当曲线 y ? f ?x ? 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

3

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分 别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (I) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (II) 若 DB=BE=EA,求过 B, E, F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆 面积的比值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? 与 t ? 2? (0< ? <2π ), ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .证明: (1) ab ? bc ? ca ? (2)

1 ; 3

a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. b c a

4

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 2. 答案:C 解析:∵ 3. 答案:B 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为 y ?

2 2 =1-i,∴ =|1-i|= 2 . 1? i 1? i

2 z x ? ,先画出 l0: 3 3

y=

? x ? 3, 2 x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由 ? 可得 C(3,4), 3 ? x ? y ? 1 ? 0,

代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6. 4. 答案:B 解析:A=π -(B+C)= π ? ? 由正弦定理得

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12

a b ? , sin A sin B 7π 2sin b sin A 12 ? 6 ? 2 , 则a ? ? π sin B sin 6 1 1 2 ∴S△ABC= ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ? 1. 2 2 2
5. 答案:D 解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30°=

2 3 | PF2 | x 3 ,得 x ? c. ? ? 3 | F1F2 | 2c 3

而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴a ?

3 c c 3 x ? 3c ,∴ e ? ? . ? 2 a 3c 3

6. 答案:A 解析:由半角公式可得, cos ? ? ?
2

? ?

π? ? 4?

5

π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 2 ? 1 ? sin 2? ? 3 ? 1. ? ? = 2 2 2 6
7. 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2;

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 T? ,S= 1+ ? ,k=4; 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 T? ? , S ? 1? ? ,k=5; 4 ? 3? 2 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 ? 输出 S ? 1 ? ? . 2 3? 2 4 ? 3? 2 T?
8. 答案:D 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>

1 1 > >0,即 log23>1>log32>log52>0,∴c>a> log 2 3 log 2 5

b.
9. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 10. 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛 物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,

t x | NB | | BK | ? ,得 ? , 3t x ? 4t | AM | | AK | | NB | t 1 ? ? , 解得 x=2t,则 cos∠NBK= | BK | x 2
在△AMK 中,由 ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k=tan 60°= 3 ,故直线方程为 y= 3( x- 1) . 当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y =

? 3( x- 1) ,故选 C.

6

11. 答案:C 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正 确. 12. 答案:D 解析:由题意可得, a ? x ? ?
x

?1? ? (x>0). ?2?

x

?1? 令 f(x)= x ? ? ? , 该函数在(0, +∞)上为增函数, 可知 f(x)的值域为(- ?2?
1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成立. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:0.2 解析:该事件基本事件空间 Ω ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)= 14.答案:2

2 =0.2. 10

解析:以 AB, AD 为基底,则 AB ? AD ? 0 , 而 AE ? ∴

?

?

1 AB ? AD , BD ? AD ? AB , 2

1 AE ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) 2 2 2 1 1 ? ? AB ? AD ? ? ? 22 ? 22 ? 2 . 2 2
15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= =

1 ×S 3

正方形 ABCD

·|OO1|

1 3 2 × ( 3)2 ×|OO1|= , 3 2

7

∴|OO1|=

3 2 6 ,|AO1|= , 2 2
2 2
2 2

?3 2 ? ? 6 ? 在 Rt△OO1A 中,OA= | OO1 | ? | AO1 | = ? ,即 R ? 6 , ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 6 ? ? ? ?
∴S 球=4π R =24π . 16.答案:
2

5π 6 π ? ? π? ? 个 单 位 得 , y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? = cos(2x - π + φ ) = 2 2? ? ? ?

解 析 : y = cos(2x + φ ) 向 右 平 移

π π? π? π? ? ? ? sin ? 2 x ? π+? + ? =sin ? 2 x ? ? ? ? ,而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合,令 2x+φ - =2x 2 2? 2? 3? ? ? ? π + +2kπ ,k∈Z, 3 5π +2kπ ,k∈Z. 得? ? 6 5π 又-π ≤φ <π ,∴ ? ? . 6
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意, a112 =a1a13, 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn=
2

n n 2 (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n +28n. 2 2
18.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, AB ? 2 2 得∠ACB=90°, CD ? 2 , A 1D ? 6 , DE ? 3 ,A1E=3, 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE= ?
2 2 2

1 1 ? 6 ? 3 ? 2 =1. 3 2

19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
8

所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0.7. 20. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r . 2 2 从而 y +2=x +3. 2 2 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得
2 2

| x0 ? y0 | 2

?

2 . 2

又 P 点在双曲线 y -x =1 上, 从而得 ? 由?

?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由?

? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1.

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; -2 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e . (2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= t ?

f (t ) t 2 ?t? ? t ?2? ? 3. f '(t ) t ?2 t ?2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= x ?

2 (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); x

当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A. 由题设知

BC DC ? , FA EA
9

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°, 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°, 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 2 2 2 2 2 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC 2 =6DB . 而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).
2 2

1 . 2

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(2)M 点到坐标原点的距离

d= x 2 ? y 2 ? 2 ? 2cos? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
24. 2 2 2 2 2 2 解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , (2)因为 b c a 2 2 2 a b c ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), 故 b c a 2 a b2 c 2 ? ? ≥a+b+c. 即 b c a a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. 所以 b c a

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