nbhkdz.com冰点文库

高等数学(同济版)下册期末考试题及答案四套

时间:2017-09-20


高等数学(下册)期末考试试卷(一)
一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 1、 z = log a ( x ? y ) (a ? 0) 的定义域为 D=
2 2

。 。 ,其值

2、二重积分

| x|?| y|?1

?? ln( x


/>2

? y 2 )dxdy 的符号为

3 、由 曲线 y ? ln x 及 直线 x ? y ? e ? 1 , y ? 1 所 围图 形的 面积用 二重 积分表 示为 为

4、设曲线 L 的参数方程表示为 ?

? x ? ? (t ) ? y ? ? (t )

(? ? x ? ? ), 则弧长元素 ds ?


2

5、设曲面∑为 x 2 ? y 2 ? 9 介于 z ? 0 及 z ? 3 间的部分的外侧,则 (x ? y ? 1) ds ?
2 ?

??



6、微分方程

dy y y ? ? tan 的通解为 dx x x




7、方程 y ( 4) ? 4 y ? 0 的通解为 8、级数

? n(n ? 1) 的和为
n ?1

?

1



二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 1、二元函数 z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是( (A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续; (B) f x?( x, y) , f y? ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在;
2 2 (C) ?z ? f x?( x0 , y0 )?x ? f y? ( x0 , y0 )?y 当 ( ?x) ? ( ?y ) ? 0 时,是无穷小;



(D) lim

?z ? f x? ( x0 , y 0 )?x ? f y? ( x0 , y 0 )?y (?x) 2 ? (?y ) 2

?x ?0

? 0。

?y ?0

x y ? 2u ? 2u 2、设 u ? yf ( ) ? xf ( ), 其中 f 具有二阶连续导数,则 x 2 ? y 2 等于( y x ?x ?y
(A) x ? y ; (B) x ; (C) y ; (D)0 。



1/1

3、设 ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, z ? 0, 则三重积分 I ?
?
2 0

??? zdV 等于(
?



(A)4

?
0

2 d? ? 2 d? ? r 3 sin ? cos?dr ; (B) ? 2 d? ? d? ? r sin ?dr ; 0 0 0 0 0

?

1

?

?

1

(C)

?

2?

d? ? 2 d? ? r 3 sin ? cos?dr ; (D) ?
0 0

?

1

2? 0

d? ? d? ? r 3 sin ? cos?dr 。
0 0

?

1

4、球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4a 2 与柱面 x 2 ? y 2 ? 2ax 所围成的立体体积 V=(



(A) 4

?

?
2 0

d? ? d? ?

2 a cos? 0

4a ? r dr ;
2 2

(B) 4

?

?
2 0

d? ?

2 a cos? 0

r 4a 2 ? r 2 dr ;

(C) 8

?

?
2 0

2 a cos? 0

r 4a ? r dr ;
2 2

(D)

?

?
?

2

? d? ?
2

2 a cos? 0

r 4a 2 ? r 2 dr 。

5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成,L 取正向,函数 P( x, y), Q( x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则

? Pdx ? Qdy ? (
L

)

(A)

?? ( ?y ? ?x )dxdy ;
D

?P

?Q

(B)

?? ( ?y ? ?x )dxdy ;
D

?Q

?P

(C)

?? ( ?x ? ?y )dxdy ;
D

?P

?Q

(D) )

?? ( ?x ? ?y )dxdy 。
D

?Q

?P

6、下列说法中错误的是( (A) (B) (C) (D)

方程 xy??? ? 2 y?? ? x y ? 0 是三阶微分方程;
2

方程 y

dy dy ?x ? y sin x 是一阶微分方程; dx dx
2 3 2 2 2

方程 ( x ? 2xy )dx ? ( y ? 3x y )dy ? 0 是全微分方程; 方程

dy 1 2y ? x? 是伯努利方程。 dx 2 x

7 、已知曲线 y ? y ( x) 经过原点,且在原点处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,而 y ( x) 满足微分方程

y ?? ? 2 y ? ? 5 y ? 0 ,则曲线的方程为 y ? (
(A) ? e sin 2 x ;
x


x

(B) e (sin 2 x ? cos2 x) ; (D) e sin 2 x 。
x

(C) e (cos2 x ? sin 2 x) ;
x

2/2

8、设 lim nu n ? 0
n ??

, 则

?u
n ?1

?

n



) (C)不一定; (D)绝对收敛。

(A)收敛; (B)发散; 三、求解下列问题(共计 15 分)

1、 (7 分)设 f , g 均为连续可微函数。 u ? f ( x, xy), v ? g ( x ? xy) ,求

?u ?u , 。 ?x ?y

2、 (8 分)设 u( x, t ) ?

?

x ?t x ?t

f ( z)dz ,求

?u ?u , 。 ?x ?t

四、求解下列问题(共计 15 分) 。 1、计算 I ?

?

2 0

(7 分) dx? e ? y dy 。
2

2

x

2、计算 I ?

??? ( x
?

2

? y 2 )dV ,其中 ? 是由 x 2 ? y 2 ? 2z, z ? 1及z ? 2 所围成的空间闭区域(8 分)

3/3

五、 (13 分)计算 I ?

?

L?

xdy ? ydx ,其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点 O(0,0) 的封 x2 ? y2

闭曲线的逆时针方向。

六、 (9 分)设对任意 x, y, f ( x) 满足方程 f ( x ? y ) ?

f ( x) ? f ( y ) ,且 f ?(0) 存在,求 f ( x) 。 1 ? f ( x) f ( y )

七、 (8 分)求级数

? (?1) n
n ?1

?

( x ? 2) 2 n ?1 的收敛区间。 2n ? 1

4/4

高等数学(下册)期末考试试卷(二)
1、设 2 sin(x ? 2 y ? 3z ) ? x ? 2 y ? 3z ,则

?z ?z ? ? ?x ?y



2、 lim
y ?0

3 ? 9 ? xy ? x ?0 xy



3、设 I ?

? dx?
0

2

2x x

f ( x, y)dy ,交换积分次序后, I ?



4、设 f (u ) 为可微函数,且 f (0) ? 0, 则 lim ?
t ?0

1 ? t3

x ? y ?t

2

?? f (
2 2

x 2 ? y 2 )d? ?



5、设 L 为取正向的圆周 x 2 ? y 2 ? 4 ,则曲线积分

?

L

y( ye x ? 1)dx ? (2 ye x ? x)dy ?
2 ? 2 ? 2


?

6、设 A ? ( x ? yz) i ? ( y ? xz) j ? ( z ? xy) k ,则 div A ? 7、通解为 y ? c1e x ? c2 e ?2 x 的微分方程是 8、设 f ( x) ? ? 。



?? 1, ?1,

?? ? x ? 0 ,则它的 Fourier 展开式中的 an ? 0 ? x ??



二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 。

? xy 2 , ? 2 4 1、设函数 f ( x, y ) ? ? x ? y ?0, ?
(A)连续且偏导数存在; (C)不连续但偏导数存在;

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

,则在点(0,0)处(



(B)连续但偏导数不存在; (D)不连续且偏导数不存在。

2、设 u ( x, y ) 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数,且满足

? 2u ? 2u ? 2u ? ?0 及 ? 0, ?x 2 ?x?y ?y 2
则( ) (A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部; (B)最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上; (C)最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上; (D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上。

5/5

3、设平面区域 D: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,若 I1 ? 则有( )

?? ( x ? y)
D

2

d? , I 2 ? ?? ( x ? y)3 d?
D

(A) I 1 ? I 2 ; (B) I 1 ? I 2 ;

(C) I 1 ? I 2 ;

(D)不能比较。

4、设 ? 是由曲面 z ? xy, y ? x, x ? 1 及 z ? 0 所围成的空间区域,则 (A)

??? xy z dxdydz =(
2 3 ?



1 ; 361

(B)

1 ; 362

(C)

1 ; 363

(D)

1 。 364

5、设 f ( x, y ) 在曲线弧 L 上有定义且连续,L 的参数方程为 ?

? x ? ? (t ) ? y ? ? (t )
L

(? ? t ? ? ) ,其中 ? (t ),? (t ) 在


[? , ? ] 上具有一阶连续导数,且 ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t ) ? 0 , 则曲线积分 ? f ( x, y )ds ? (
(A) (C)

?? ??
?

?

f (? (t ),? (t ))dt ;

(B)

? ? f (? (t ),? (t ))
(D)
?

?

? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t )dt ;

f (? (t ),? (t )) ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t )dt ;

? ? f (? (t ),? (t ))dt 。
则曲面积分

6、设 ? 是取外侧的单位球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1,

?? xdydz? ydzdx ? zdxdy =(
?

) (D) 4? 。 )

(A) 0 ;

(B) 2? ;

(C) ? ;

7、下列方程中,设 y1 , y 2 是它的解,可以推知 y1 ? y 2 也是它的解的方程是( (A) y ? ? p( x) y ? q( x) ? 0 ; (C) y ?? ? p( x) y ? ? q( x) y ? f ( x) ; (B) y ?? ? p( x) y ? ? q( x) y ? 0 ; (D) y ?? ? p( x) y ? ? q( x) ? 0 。

8、设级数

?a
n ?1

?

n

为一交错级数,则(

) (B)该级数必发散;

(A)该级数必收敛;

(C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若 a n ? 0 (n ? 0) ,则必收敛。 三、求解下列问题(共计 15 分) 1、 (8 分)求函数 u ? ln( x ? 的方向的方向导数。

y 2 ? z 2 ) 在点 A(0,1,0)沿 A 指向点 B(3,-2,2)

6/6

2、 (7 分)求函数 f ( x, y) ? x 2 y(4 ? x ? y) 在由直线 x ? y ? 6, y ? 0, x ? 0 所围成的闭区域 D 上的最大值 和最小值。

四、求解下列问题(共计 15 分) 1、 (7 分)计算 I ? 域。

??? (1 ? x ? y ? z)
?

dv

3

,其中 ? 是由 x ? 0, y ? 0, z ? 0 及 x ? y ? z ? 1 所围成的立体

2、 (8 分)设 f ( x) 为连续函数,定义 F (t ) ?

???[ z
?

2

? f ( x 2 ? y 2 )]dv ,

dF 2 2 2 其中 ? ? ( x, y, z) | 0 ? z ? h, x ? y ? t ,求 。 dt

?

?

7/7

五、求解下列问题(15 分) 1、 (8 分)求 I ? (0,0)的弧。

?

L

(e x sin y ? m y)dx ? (e x cos y ? m)dy ,其中 L 是从 A(a,0)经 y ? ax ? x 2 到 O

2、 (7 分)计算 I ?

?? x dydz? y dzdx ? z
2 2 ?

2

dxdy,其中 ? 是 x 2 ? y 2 ? z 2 (0 ? z ? a) 的外侧。

六、 (15 分)设函数 ? ( x) 具有连续的二阶导数,并使曲线积分

?

L

[3? ?( x) ? 2? ( x) ? xe2 x ] ydx ? ? ?( x)dy 与路径无关,求函数 ? ( x) 。

高等数学(下册)期末考试试卷(三)
一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 1、设 u ?

?

yz xz

e t dt , 则

2

?u ? ?z



2、函数 f ( x, y) ? xy ? sin(x ? 2 y) 在点(0,0)处沿 l ? (1,2) 的方向导数

?f ?l

( 0, 0 )

=


8/8

3、设 ? 为曲面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 , z ? 0 所围成的立体,如果将三重积分 I ?

??? f ( x, y, z)dv 化为先对 z 再对
?

y 最后对 x 三次积分,则 I=
4、设 f ( x, y ) 为连续函数,则 I ? lim ?
t ?0



1 ?t 2

?? f ( x, y)d? ?
D

,其中 D : x 2 ? y 2 ? t 2 。

5、

?

L

( x 2 ? y 2 )ds ?

,其中 L : x 2 ? y 2 ? a 2 。

6、设 ? 是一空间有界区域,其边界曲面 ?? 是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数 P( x, y, z ) ,

Q( x, y, z) , R( x, y, z) 在 ? 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 三 重 积 分 与 第 二 型 曲 面 积 分 之 间 有 关 系
式: , 该关系式称为 公式。 。

7、微分方程 y?? ? 6 y? ? 9 y ? x 2 ? 6x ? 9 的特解可设为 y * ?

8、若级数

?

(?1) n ?1 发散,则 p np n ?1
?



二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 1、设 f x?(a, b) 存在,则 lim

f ( x ? a , b ) ? f ( a ? x, b ) =( ) x ?0 x 1 (A) f x?(a, b) ; (B)0; (C)2 f x?(a, b) ; (D) f ?(a, b) 。 2 x
y2

2、设 z ? x ,结论正确的是( (A)



?2 z ?2 z ? ? 0; ?x?y ?y?x ?2 z ?2 z ? ? 0; ?x?y ?y?x

(B)

?2 z ?2 z ? ? 0; ?x?y ?y?x ?2z ?2 z ? ?0。 ?x?y ?y?x

(C)

(D)

3、若 f ( x, y ) 为关于 x 的奇函数,积分域 D 关于 y 轴对称,对称部分记为 D1 , D2 , f ( x, y ) 在 D 上连续,则

?? f ( x, y)d? ? (
D

) (C)4 ?? f ( x, y )d? ; (D)2 ?? f ( x, y )d? 。 ?? f ( x, y)d? ;
D1 D1 D2

(A)0; (B)2
2 2

4、设 ? : x ? y ? z ? R ,则
2 2

??? ( x
?

2

? y )dxdydz=(
2

) (D)

(A) ?R ;
5

8 3

(B) ?R ;
5

4 3

(C)

8 ?R 5 ; 15

16 5 ?R 。 15

9/9

5、设在 xoy 面内有一分布着质量的曲线 L,在点 ( x, y ) 处的线密度为 ? ( x, y ) ,则曲线弧L的重心的 x 坐标 x 为( ) (A) x = (C) x =

1 M

?

L

x? ( x, y )ds ; (B) x =
(D) x =

1 M
L

?

L

x? ( x, y )dx ;
其中 M 为曲线弧L的质量。 曲面积分

?

L

x? ( x, y)ds ;

1 M

?

xds ,

6 、 设 ? 为 柱 面 x 2 ? y 2 ? 1 和 x ? 0, y ? 0, z ? 1 在 第 一 卦 限 所 围 成 部 分 的 外 侧 , 则

?? y
?

2

zdxdy ? xzdydz? x 2 ydxdz=(
(B) ?

) (C)

(A)0;

?
4



5? ; 24


(D)

? 。 4

7、方程 y ?? ? 2 y ? ? f ( x) 的特解可设为( (A) A ,若 f ( x) ? 1 ;
4 3 2 x

(B) Ae ,若 f ( x) ? e x ;

(C) Ax ? Bx ? Cx ? Dx ? E ,若 f ( x) ? x 2 ? 2 x ; (D) x( A sin 5x ? B cos5x) ,若 f ( x) ? sin 5 x 。 8、设 f ( x) ? ? (A)

?? 1, ?1

?? ? x ? 0 ,则它的 Fourier 展开式中的 an 等于( ) 0 ? x ??
(D)

2 [1 ? ( ?1) n ] ; (B)0; (C) 1 ; n? n?

4 。 n?

三、 (12分)设 y ? f ( x, t ), 数,求

t 为由方程 F ( x, y, t ) ? 0 确定的 x, y 的函数,其中 f , F 具有一阶连续偏导

dy

dx



四、 (8分)在椭圆 x ? 4 y ? 4 上求一点,使其到直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离最短。
2 2

10 / 10

五、 (8分)求圆柱面 x 2 ? y 2 ? 2 y 被锥面 z ?

x 2 ? y 2 和平面 z ? 0 割下部分的面积A。

六、 (12分)计算 I ? 的外侧。

?? xyzdxdy,其中 ? 为球面
?

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的 x ? 0, y ? 0 部分

七、 (10 分)设

df (cos x) ? 1 ? sin 2 x ,求 f ( x) 。 d (cos x)

八、 (10 分)将函数 f ( x) ? ln( 1 ? x ? x ? x ) 展开成 x 的幂级数。
2 3

11 / 11

《高等数学》
一、单选题(共 15 分,每小题 3 分)
1.设函数 f ( x, y ) 在 P( x0 , y0 ) 的两个偏导 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 都存在,则 A. f ( x, y ) 在 P 连续 C. lim f ( x, y0 ) 及 lim f ( x0 , y ) 都存在
x ? x0 y ? y0

(

)

B. f ( x, y ) 在 P 可微 D.
( x , y ) ?( x0 , y0 )

lim

f ( x, y ) 存在

2.若 z ? y ln x ,则 dz 等于(

) .

A.

y ln x ln y y ln x ln y ? x y
ln x

B.

y ln x ln y x

C. y

y ln x ln y ln ydx ? dy x

y ln x ln y y ln x ln x D. dx ? dy x y

3.设 ? 是圆柱面 x 2 ? y 2 ? 2 x 及平面 z ? 0, z ? 1所围成的区域,则

??? f ( x, y, z)dxdydz? (
?

) .

A.?

?

2

0

d? ?

2 cos?

0

dr ? f (r cos? , r sin? , z )dz
0

1

B.?

?

2

0

d? ?

2 cos?

0

rdr ? f (r cos? , r sin? , z )dz
0

1

C .???2 d? ?
2

?

2 cos?

0

rdr ? f ( r cos ? , r sin ? , z )dz
0

1

D.? d? ?
0

?

2 cos x

0

rdr ? f (r cos ? , r sin ? , z )dz
0

1

4.若

? a ( x ? 1)
n ?1 n

?

n

在 x ? ?1 处收敛,则此级数在 x ? 2 处(

) .

A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定 5.曲线 ?

?x ? y ? z ? 2 在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( 2 2 ?z?x ?y
B.(3,-1,4) C. (-1,0,3)

).

A. (-1,3,4)

D. (3,0,-1)

二、填空题(共 15 分,每小题 3 分)
1 设 x ? 2 y ? 2 xyz ? 0 ,则 zx ' (1,1) ? 2.交 换 I .

? ? dx ?
1

e

ln x

0

f ( x, y)dy 的积分次序后, I ? _____________________.
12 / 12

3.设 u ? 2 xy ? z 2 ,则 u 在点 M (2,?1,1) 处的梯度为

.

4.

xn 已知 e ? ? ,则 xe? x ? n ?0 n !
x

?

. .

5. 函数 z ? x3 ? y3 ? 3x2 ? 3 y2 的极小值点是

三、解答题(共 54 分,每小题 6--7 分)
1.(本小题满分 6 分)设 z ? y arctan

y ? z ?z , 求 , . x ? x ?y

2.(本小题满分 6 分)求椭球面 2x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9 的平行于平面 2 x ? 3 y ? 2 z ? 1 ? 0 的切平面方程, 并求切点处的法线方程.

3. (本小题满分 7 分)求函数 z ? x 2 ? y 2 在点 (1, 2) 处沿向量 l ?

1 3 i? j 方向的方向导数。 2 2

4. (本小题满分 7 分)将 f ( x) ?

1 展开成 x ? 3 的幂级数,并求收敛域。 x

13 / 13

5. (本小题满分 7 分) 求由方程 2 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 8 yz ? z ? 8 ? 0 所确定的隐函数 z ? z ( x, y ) 的极值。

6. (本小题满分 7 分) 计算二重积分 围成.

?? ( x
D

2

? y 2 )d? , D由曲线 x ? ? 1 ? y 2 , y ? ?1, y ? 1 及 x ? ?2

7.(本小题满分 7 分)利用格林公式计算 针方向).

?

L

xy 2 dy ? x 2 ydx ,其中 L 是圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 (按逆时

8.(本小题满分 7 分)计算

xydxdydz ,其中 ? 是由柱面 x ??? ?

2

? y 2 ? 1 及平面 z ? 1, x ? 0, y ? 0 所

围成且在第一卦限内的区域. .

14 / 14

四、综合题(共 16 分,每小题 8 分)

1. (本小题满分 8 分)设级数

?u , ?v
n ?1 n n ?1

?

?

n

都收敛,证明级数

? (u
n ?1

?

n

?vn )2 收敛。

2. (本小题满分 8 分)设函数 f ( x, y ) 在 R 内具有一阶连续偏导数,且 证明曲线积分

2

?f ? 2x , ?x

?

L

2 xydx ? f ( x, y )dy 与路径无关.若对任意的 t 恒有
(1,t ) (0,0)

?

( t ,1) (0,0)

2 xydx ? f ( x, y)dy ? ?

2xydx ? f ( x, y)dy ,求 f ( x, y ) 的表达式.

15 / 15


同济大学《高等数学》期末试卷--共4套含上下册

同济大学高等数学期末试卷--共4套含下册_理学_高等教育_教育专区。同济...选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分)下列每小题给出 4 个答案, 其中...

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案

高等数学试卷(同济六版上)得分 评卷人 一、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、若函数 f ( x) ? A、0 x x ,则 lim f ( ...

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷_理学_高等教育_教育专区。《高数》试卷 1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 3 分,共 30 分). 1.下列各组函数中,...

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

同济大学高等数学1期末试题(含答案)_理学_高等教育_教育专区。xiaochen 一、 填空题(每题 4 分) 1. 若 lim? ? x ? 2a ? ? ? 8 ,则___. ? 3 ln...

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

高等数学期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]_理学_高等教育_教育专区。《高等数学试卷(同济六版上) 得分 评卷人 一、选择题(本题共 5 小题,每小...

高等数学(同济)下册期末考试题及答案

大学高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 2 2 1、 z = log a ( x ? y ) (a ? 0) 的定义域为 D= 。。 ,其值...

同济六版高数下册复习资料

同济六版高数下册复习资料_理学_高等教育_教育专区。同济版,高等数学, 高等数学(一)教案 期末复习 高等数学下册习题常见类型题型 1 求向量的坐标、模、方向角、...

河大高等数学(同济)下册期末考试题及答案

河大高等数学(同济)下册期末考试题及答案 隐藏>> 高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分) 1、 z = log a ( x ? y ) (a...

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[1]

高等数学期末试卷1(同济六版上)及参考答案[1]_数学_小学教育_教育专区。...1 = 1 ? e ?1 + ln 2 6分 四、证明题(本题共 2 小题,每小题 8 ...

同济版高等数学下册练习题(附答案)

同济版高等数学下册练习题(附答案)_理学_高等教育_教育专区。第八章 测验题一、选择题: 1、 若 a ,b 为共线的单位向量, 则它们的数量积 a ? b ? ( )...