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极坐标和直角坐标的互化


1、极坐标系的概念; 2、直角坐标与极坐标的互化 3、直角坐标与极坐标的互化 的应用。

思考?

平面内一点M的直角坐标是 (1, 3) , 其极坐标如何表示? 2? 点Q的极坐标为 (5, ) ,其直角坐 3 标如何表示?

在直角坐标系中, 以原点 作为极点,x轴的正半轴作 为极轴, 并且两种坐标系 中取相同

的长度单位。 点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
2 2

y

M (1, 3)

O

θ

x

? M (2, ) 3

3 ? 3 ?? 1 ? ( 3) ? 2 tan? ? 1

极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)

y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
2 2 2

x=ρcosθ, y=ρsinθ

互化公式的三个前提条件:
1、极点与直角坐标系的原点重合;

2、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3、两种坐标系的单位长度相同,直角坐标化 极坐标时,先确定tan ? 的值,再确定 ? 所 在的象限,求出符合条件的极角。

例1. 将点M的极坐标

2? (5, ) 3

5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( ? , 2 2

化成直角坐标. 2? 5 ?? 解: x ? 5 cos 3 2 2? 5 3 y ? 5 sin ? 3 2

例2. 将点M的直角坐标

(? 3, ?1)

化成极坐标.

(? 1 )?2 解: ? ? ( ? 3 ) ?
2 2

?1 3 tan? ? ? ? 3 3 7? 因为点在第三象限, 所以 ? ? 6 7? 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6

例3:互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) (0,?1) ? ? 极坐标 (4, ) (1,? ) 2 6 直角坐 标 极坐标

(?3,0)
( 3,?? )

(?3, 3 ) (? 3 ,?1) ( 5,0)
5? (2 3 , ) 6

7? ( 2, ) 6

(5,0)

练习1:已知下列点的极坐标,求它们 的直角坐标。

A ( 3, ) B ( 2, ) C (1,? ) 2 2 6
3 ? D ( , ) 2 4 3? E ( 2, ) 4

?

?

?

练习2: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标。

A ( 3,? 3 ) B (1, 3 )
C (5,0)
E ( ?3,?3)

D (0,?2)

例2:已知两点 A(2, ) , B(3, ) 3 2 求两点间的距离。 B ? 解: ?AOB ? A 6 用余弦定理求 AB的长即可。
o x

?

?

探索?
Q (2, ) 已知极坐标系中两点 P ( 3,? ),
6

?

?

2

如何求线段|PQ|的长?

| PQ |? 19

推广:极坐标系内两点 P( ?1 ,?1 ),Q( ? 2 ,? 2 ) 的距离公式:
| PQ |? ?1 ? ? 2 ? 2?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 )
2 2





1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?

3? 补充习题、 (1)? ? 的直角坐标方程是 ___ 4 (2)极坐标方程? ? sin ? ? 2 cos ?所表示的 曲线是 __________

y 解: (1)根据极坐标的定义 ? tan θ ? x 3π y ? tan ? 即y ? ? x( y ? 0) 4 x ( 2) ? ρ ? sinθ ? 2 cos θ? ρ2=ρ sinθ ? 2 ρ cos θ

1 2 5 ? x ? y ? y ? 2 x即( x ? 1) ? ( y ? ) ? 2 4 1 5 这是以点(1, )为圆心,半径为 的圆. 2 2
2 2 2

练习: 1、曲线的极坐标方程?=4sin ? 化为直角坐标

x ? ( y ? 2) ? 4 方程_________
2 2

2.曲线极坐标方程?cos(? -

?

6 3x ? y ? 2 ? 0 标方程_________

)=1化为直角坐

a ? a 1.在极坐标系中 ,以( , )为中心, 为半径的圆的方程是 2 2 2 ? 2 2.若直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? , 则极点到该直线 4 2 的距离为 3.直线? cos? ? ? sin ? ? 5上的动点P到曲线? ? 2 sin ?的最小 距离是


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