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2016届襄阳五中、宜昌一中、龙泉中学高三年级九月联考理科数学参考答案doc


2016 届襄阳五中

宜昌一中

龙泉中学高三年级九月联考

? m ? ? 1 ? 2 m ? ?1 ??m ? 3 ? ?1 解得 m ? ?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上所述: ?4 ? m ? ?2 . · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
19.解: (Ⅰ)因为 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? x2 ? x ? ln x ,

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 题号 B A C D A B D 答案 8 C 9 B 10 B 11 C 12 A

1 2 x 2 ? x ?1 ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 x x x 因为 x ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ;当 x ? 1 时, y? ? 0 .
所以 y? ? 2 x ? 1 ? 即函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · ·4 分 故当 x ? 1 时,函数 y 有极小值 0,无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.1 15. 72 16.①③④ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos(2 x ?

4? 4? 4? ) ? 2cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3 1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 3 所以 f ( x) 的最大值为 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? 此时 cos(2 x ? ) ? 1,2 x ? ? 2k? (k ? Z ) 3 3 ? ? ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 6 ? ? ? 3 ? 1 (Ⅱ)由题意, f ( B ? C ) ? cos[2( B ? C ) ? ] ? 1 ? ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 3 2 3 2 ? 1 化简得 cos(2 A ? ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 2 ? ? 5? ? ? ? Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ? ? (? , ) ,只有 2 A ? ? , A ? . · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3 3 3
在 ?ABC 中, a ? 1, A ?
2 2

(Ⅱ) y ? f ? ? xg ? x ? ? 2? ? ? ? x ln x ? 2 ? ? ? x ln x ? 2 ? ? ? x ln x ? ? 5 ? x ln x ? ? 6
2 2

令 u ? x ln x ,当 x ??1, e? 时, u? ? ln x ? 1 ? 0 ,所以 u ? x ln x 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 0 ? u ? e , y ? h(u) ? u 2 ? 5u ? 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

h(u ) 图象的对称轴 u ?

5 5 5 . h(u ) 在 [0, ] 上单减,在 ( , e] 上单增. 2 2 2

1 ?5? h(u )m i n? h ? ? ? ? ,又 h ? 0? ? 6, h ? e? ? e2 ? 5e ? 6 ,则 h(u)max ? 6 . 4 ?2? ? 1 ? 所以所求函数的值域为 ? ? , 6 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 4 ?
20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

2 ? 2ax 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 ? x ? 0? · x 10 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0, ? ?) 上恒成立,则 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增;

20 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 ; 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ; a a

?

3

由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?

3

· · · · · · · · · · · · · · ·10 分

即 1 ? b ? c ? bc ? bc ,当且仅当 b ? c 取等号,

则 f ( x ) 在 (0, 1 ) 上单调递增,在 ( 1 , ? ?) 上单调递减; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 a a 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递增;

S?ABC

1 3 3 ? bc sin A ? bc ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 4 4
g? x?

1 1 ) 上单调递增,在 ( , ? ?) 上单调递减. · · · · · · · · ·5 分 a a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [1, 4] 上单增,不合题意,故 a ? 0 .· · · · · · ·6 分
当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,
2 2 由 f (? ) ? f ( ? ) 则 2ln ? ? a? ? 2ln ? ? a? ,即 2ln ? ? 2ln ? ? a(? ? ? ) ? 0

18.解: (Ⅰ)∵命题“ log2

? 1”是真命题, 即 log 2

? 2 ? 2? ? 1 ,
x

x ∴ 0 ? 2 ? 2 ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 .

∴ x 的取值范围是 ?1, 2 ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

即 2ln ? ? 2ln(? ? 1) ? a(2? ? 1) ? 0 设 h( x) ? 2ln x ? 2ln( x ? 1) ? a(2 x ? 1)

? ?[ 1 , 3 ]

(?)

(Ⅱ)∵p∧q 是真命题,∴p 与 q 都是真命题.
x

x ?[ 1 , 3 ] · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

当 x ? 1 时, g ? x ? ? 2 ? 2 ? 0 ,又 p 是真命题,则 f ? x ? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

? m ? ?1 ? 2m ? ? m ? 3

? f ? x? ?0 ? x ? 2m 或 x ? ?m 3 ?

?? m ? 3 ? 1 解得 m ? ?4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x 当 ?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 2 ? 2 ? 0 .
∵q 是真命题,则 ?x ? ? ?1,0? , 使得 f ? x ? ? 0 ,而 f ? x ? ? 0 ? 2m ? x ? ?m ? 3 ,
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2 2 ? ? 2a ? 0 在 (1,3) 上恒成立;所以 h( x) 在 [1,3] 上递增, · · · ·9 分 x x ?1 由 (?) 式,函数 h( x) 在 [1,3] 有零点,则 ? h(1) ? 0 ??2ln 2 ? 3a ? 0 2 4 2 ?? ? ln ? a ? ln 2 ? 7 3 3 ?h(3) ? 0 ?2ln 3 ? 2ln 4 ? 7a ? 0 h?( x) ?

第 2 页(共 4 页)高三九月月考数学(理)

故实数 a 的取值范围为 [ ln

2 7

4 2 , ln 2] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 3 3

由于点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交或相切, 当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 .而当 x ? 0 时, ? (0) ? 0 ? 1 ? h ? 0? ;
x x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k .所以, h( x)min ? ? ( x)max ,即 e ?

? π ? ? π? 21.解: (Ⅰ) 由题意, ?x1 ? ? ? , 0 ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? m ? g ( x2 ) 成立, ? 2 ? ? 2?

f ? ? x ? ? e (cos x ? sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (e ? x)cos x ? (e ? 1)sin x ,
x x x

等价于 f ( x1)max ? ?m ? g ( x2 )?max . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

x ?1

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 法三:令 ? ( x) ?
sin x ,则 1 ? 2 cos x , ? ?( x) ? (cos x ? 2)2 cos x ? 2

sin x cos x ? 2

π π 当 x ?[? , 0] 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增, 2 2 所以 x ? 0 时, f ? x ? 取得最大值 1.即 f ( x)max ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

当 x ? 3? ? 2k? , (k ? N ) 时, ? ( x) 取得最大值 1,而 h ? x ? min ? h ? 0? ? 1 ,
4 但当 x ? 0 时, ? ? 0? ? 0 ? 1 ? h ? 0? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k
x 所以, h( x)min ? ? ( x)max ,即 e ?

π ] 时, g? ? x ? ? cos x ? 2ex , g?? ? x ? ? ? sin x ? 2ex ? 0 2 π 所以 g ? ? x ? 在 [0, ] 上单调递减,所以 g? ? x ? ? g? ? 0? ? 1 ? 2 ? 0 , 2 π 故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减,因此, x ? 0 时, g ( x)max ? g (0) ? ? 2 . 2 所以 1 ? m ? 2 ,则 m ? 2 ? 1 . 2 ? 1, ? ? . · 实数 m 的取值范围是 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?
又当 x ?[0,

x ?1

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

sin x cos x ? 2

?

? 3 x ? 6, x ? ?1 ? 22.解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ? x ? ? ? ? x ? 2, ?1 ? x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? 4 ? 3 x, x ? 1 ?

(Ⅱ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 e x cos x ? x sin x ? sin x ? 2e x ? 0 , 即证 e x cos x ? 2 ? ? x ? 1? sin x ,由于 cos x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,
sin x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x ? 1 cos x ? 2 x 下面证明 x ? ?1 时,不等式 e ? cos x 成立. x ? 1 sin x ? 2 ?
x 令 h ? x? ? e

?

?

只要证 e

x

? 4 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ,0? ? 3 ? 2 2 (Ⅱ) y ? x ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 ,该函数在 x ? ?1 处取得最小值 2,
由 f ? x ? ? 2 易得不等式解集为 ? ?

x ?1

? x ? ?1? ,则 h? ? x ? ?

e x ? x ? 1? ? e x

? x ? 1?

2

?

xe x

? 3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ? x ? ? ?? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 , ? ?3 x ? m ? 1, x ? 1 ?

· · · · · · · · · ·7 分

? x ? 1?

2



所以二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图像恒有公共点, 只需 m ? 2 ? 2 ,即 m ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取最小值为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 法一: k ?
sin x ,则 k cos x ? 2k ? sin x ,即 sin x ? k cos x ? 2k ,即 sin( x ? ? ) ? 2k , cos x ? 2 1? k 2
2k 1? k 2 ? 1 ,即 ?1 ? k ? 1 ,所以 kmax ? 1 ,而 h ? x ? min ? h ? 0? ? 1 ,

由三角函数的有界性,

但当 x ? 0 时, k ? 0 ? 1 ? h ? 0? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k
ex ? 所以, ? ? ? ? x ? 1 ?min
x sin x ? sin x ? ,即 e ? ?? ? x ? 1 cos x? 2 ? cos x ? 2 ?max

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 法二:令 ? ( x) ?
sin x ,其可看作点 A? cos x,sin x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率 k , cos x ? 2

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 ,
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?

?


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