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2013高考数学试题汇编-函数

时间:2013-06-20


函数 一、选择题 1.福建 8. 设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ?x0 ? 0 ? 是 f ( x) 的极大值点,以下结论 一定正确的是( ) B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点

2.重庆(3) (3 ? a)(a ? 6) ( ?6 ? a ? 3 )的最大值为(



(A)9

(B)

9 2

(C)3

(D)

3 2 2

3.重庆(6)若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) 两个 零点分别位于区间( ) (B) (??, a) 和 ( a, b) 内 (D) (??, a) 和 (c, ??) 内

(A) ( a, b) 和 (b, c ) 内 (C) (b, c ) 和 (c, ??) 内

4.浙江 3.已知 x , y 为正实数,则( A. 2 C. 2
lg x ? lg y


lg( x ? y )

? 2lg x ? 2lg y

B. 2

? 2lg x ? 2lg y
? 2lg x ? 2lg y
x k

lg x?lg y

? 2lg x ? 2lg y

D. 2

lg( xy )

5.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e ?1)( x ?1) (k ? 1, 2) ,则( A.当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取到极小值 B.当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取到极大值 C.当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取到极小值 D.当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取到极大值



6.天津(7) 函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为( (A) 1 (B) 2 (C) 3

) (D) 4

7.天津(8) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A, 若
? 1 1? ? ? 2 , 2 ? ? A , 则实数 a 的取值范围是( ? ?



?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?
8.四川 7、函数 y ?

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ? ? , ? ? 2 ? ? ?

y

x 的图象大致是( 3 ?1 y
x



y

y

x
(A)


(B)

x


(C)

x


(D)

x

9.四川 10、设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R ,e 为自然对数的底数) 。若曲线 y ? sin x 存 在点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 成立,则 a 的取值范围是( (A)[1, e] (B)[e?1 ?1,1] (C)[1,1 ? e] ) (D)[e?1 ? 1, e ? 1]

10.湖北 7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度

v(t ) ? 7 ? 3t ?

25 (t的单 位:s,v的单位:m/s) 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距 1? t
) B. 8 ? 25ln

离(单位:m)是( A. 1+25 ln 5

11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50 ln 2 )

10.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则(

1 2 1 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
3 x 2

11.广东 2.定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2sinx 中, 奇函数的个数是
( )

A. 4

B.3

C. 2

D.1

12. 福 建 10.



S , T 是 R 的 两 个 非 空 子 集 , 如 果 存 在 一 个 从 S 到 T 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 :

(i ) T ? ?f ( x) x ? S ?; (ii ) 对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合
“保序同构” ,以下集合对不是“保序同构”的是( A. C. )

A ? N *, B ? N

B. D.

A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?8或0 ? x ? 10?

A ? ?x 0 ? x ? 1?, B ? R

A ? Z, B ? Q

13.全国(10)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 +bx +c,下列结论中错误的是( (A)?x0∈R, f (x0)= 0 (B)函数 y = f (x )的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f (x )的极小值点,则 f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 (D)若 x0 是 f (x )的极值点,则 f '(x0 ) = 0



14.北京 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=
( )
x ?1

A. e

B. e

x ?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

15.北京 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于
( )

A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

4 ?? 1? ? x ? ? , x ? 0, 16.陕西 8. 设函数 f ( x) ? ?? , 则当 x>0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数 x? ? ? x ? 0. ? ? x,

项为( ) (A) -20

(B) 20

(C) -15

(D) 15

17.陕西 9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴 影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是( ) (A) [15,20] (C) [10,30] (B) [12,25] (D) [20,30]

x

40m

18.陕西 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有

40m

(

)
(A) [-x] = -[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (B) [2x] = 2[x] (D) [x-y]≤[x]-[y]

19.山东(3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x +

2

,则 f(-1)= (

)

(A)-2

(C)1 20.山东(8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为( )

(B)0

(D)2

(A)

(B)

21.江西

6.


B. s2<s1<s3 D. s3<s2<s1

则 s1,s2,s3 的大小关系为(

)

A. s1<s2<s3 C. s2<s3<s1

22.江西 9.过点(

,0)引直线 ι

与曲线 的斜率等于( )

,O 为坐

标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 ι

A.

B.-

C.

D-

23.江西 10.如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 ι 1, ι 2 之间,ι //ι 1,ι 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点。 设 弧 FG 的 长 为 x(0 < x < π ),y=EB+BC+CD,若 ι 从 ι 1 平行移 动到 ι 2,则函数 y=f(x)的图像 大致是( )

24.辽宁 11、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 8 。 设 记 H1 ? x ? 的最小值为 A,H 2 ? x ? 的 H1 ( x) ? max{ f ( x), g ( x)}, H 2 ( x) ? min{ f ( x), g ( x)} 。 最大值为 B,则 A—B=( A.16 B.—16
2

)
D. a ? 2a ? 16
2

C. a ? 2a ? 16
2 '

ex e2 , f (2) ? ,则 x>0 时 f ( x) 25、设函数 f ( x ) 满足 x f ( x) ? 2 xf ( x) ? x 8
A.有极大值,无极小值 C.既有极大值,也有极小值 B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

(

)

26.湖南 5.函数 f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x ? 4x ? 5 的图像的交点个数为(
2

) A.3

B.2

C.1

D.0

27.安徽(8)函数 y =f (x) 的图像如图所示,在区间 ? a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 (A) ?3,4? (C)

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是( x1 x2 xn

)

(B) ?2,3,4? (D) ?2,3?
3

?3,4,5?

28. 安徽( 10 )若函数 f (x)=x +bx+c 有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程

3(f (x1 ))2 +2f (x)+b=0 的不同实根个数是(
(A)3 (C) 5 二、填空题 (B)4 (D)6

)

2 29、 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数, 当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? 4x , 那么不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是______。

30.江苏 11、函数

为定义在 R 上的奇函数,当

时,

,则

的解集用区间表示为_________

31.江苏 13、设定点 距离为

,P 是为曲线

上一个动点,若点 P、A 之间的最短

,则满足条件的 的所有值为__________

32.安徽(13)已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点。若该抛物线上存在点 C ,使得

?ABC 为直角,则 a 的取值范围为___________。
33.江西 13.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f ’(1)=__________.

34.湖南 12.若

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为

.

35.福建15. 当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式:

1 ? x ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ?

1 1? x

两边同时积分得:

?

1 1 2 1dx ? 2 0 0

?

xdx ?

?

1 2 0

x 2 dx ? ? ? ?

?

1 2 0

x n dx ? ? ?? ?

?

1 2 1 0 1? x

dx

从而得到如下等式:

1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ( ) 2 ? ? ( )3 ? ? ? ? ? ? ( ) n?1 ? ? ? ? ? ln 2. ks5u 2 2 2 3 2 n ?1 2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 0 n Cn ? ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? ? ? Cn ? ( ) n?1 ? 2 2 2 3 2 n ?1 2
36.湖南 16.设函数 f ( x) ? a ? b ? c , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.
x x x

( 1 ) 记 集 合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, 且a=b? , 则

(a , b , c?) M 所对应的 f ( x ) 的零点的取值集合为____。

(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是

.(写出所

有正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , bx , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0.

37. 广 东 10. 若 曲 线 y=kx+lnx 在 点 ( 1 , k ) 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 则

k=



三、解答题 38.重庆(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线 与 y 轴相较于点(0,6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

39. 安徽( 17 ) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间

I ?| x f ( x)>0
(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 I 长度的最小值。

40.福建 17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值

41.北京 18. (本小题共 13 分)设 l 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 l 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

x2 x2 xn n 安徽(20) (本小题满分 13 分)设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N ) , 2 3 n
证明:
n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

2 3

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 。 n

42.湖南 22. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x?a 。 x ? 2a

(I) ;记 f ( x)在区间?0, 4? 上的最大值为g(a),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处 的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

43.江西 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=a(1-2 丨 x- 丨) ,a 为常数且 a>0. (1) 证明:函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称; (2) 若 x0 满足 f(f(x0) )= x0,但 f(x0)≠x0,则 x0 称为函数 f(x)的二阶周期点,如 果 f(x)有两个二阶周期点 x1,x2,试确定 a 的取值范围; (3) 对于(2)中的 x1,x2,和 a,设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A(x1,f(f(x1) ) ) , B(x2,f(f(x2) ) ) ,C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性。

44.陕西 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a

45.全国(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = e x?ln(x + m) (Ι )设 x = 0 是 f (x )的极值点,求 m,并讨论 f (x )的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f (x ) > 0 .

46.辽宁 21、 12 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e
'

? ?

?2 x

, g ( x) ? ax ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x. 当 x ??0,1? 时, 2

(1)求证: 1 ? x ? f ( x) ?

1 ; 1? x

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

47.江苏 20、已知函数 (1)若 (2) 在区间 上单调递减, 在区间 单调递增,试求 广东 21.(本小题满分 14 分) 设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R). (1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间; 在 上有最小值,求 。 的零点,并证明你的结论。

(2) 当k∈(1/2,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.

48.湖北 22.设 n 是正整数, r 为正有理数. (1)求函数 f ( x) ? (1 ? x)
r ?1

? (r ? 1) x ?1( x ? ?1) 的最小值;

(2)证明:

n r ?1 ? (n ? 1) r ?1 (n ? 1) r ?1 ? n r ?1 ? nr ? ; r ?1 r ?1
3 2

(3)设 x ? R ,记 [ x ] 为不小于 x 的最小整数,例如 [2] ? 2 , [? ] ? 4 , [ ? ] ? ?1 . 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ... ? ? 3 125 ,求 [ S ] 的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.5 )
4 4 4 4

49.四川 21、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0

?ln x, x ? 0 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

,其中 a 是实数。设

50.天津(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

51.浙江 22. (本题满分 14 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 2a ? 3 .

f (1)) 处的切线方程; (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, 2] 时,求 | f ( x) | 的最大值. (Ⅱ)当 x ?[0 ,


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