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高中数学选修4-5(基本不等式+不等式的证明)


不等式 一、选择题

x?2 x?2 ? x x 1.(2010 江西理)3.不等式
A. (0, 2)
B. (??, 0)

的解集是(



C. (2, ?) ?

D.(-?,0) (0, ?) ? ?

7 9 1 4 ? 2.

(重庆理 7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a b 的最小值是( ) A. 2 B.4 C. 2 D.5
3.(上海理 15)若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( ) B. a ? b ? 2 ab
a b

A. a ? b ? 2ab
2 2

1 1 2 ? ? ab C.D a b

b a ? ?2 D. a b

4.(2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A.8 B.4 C. 1 D.

1 1 ? 的最小值为( ) a b

1 4

5.(09 重庆文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( )A.2 B. 2 2 C.4 D.5 a b


6.(2010 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3

B.4

C.

9 2
2

D.

11 2


7.(2009 重庆卷理)不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) 8.(10 四川文) (11)设 a>b>0 ,则 a ?
2

C. [1, 2]

D. (??,1] ? [2, ??) )A)1 B)2 C)3 D)4

1 1 的最小值是( ? ab a ? a ? b ?
2

9.(2010 四川理) (12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是( ab a(a ? b)
(D)5



(A)2

(B)4

(C) 2 5

10、 (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理)设 1 ? x ? y ? z ? t ? 100, 则

x z ? 的最小值是( ) y t

A.2 二、填空题

B.

1 2

C.

1 5

D.

1 10
.

11.(2010 辽宁文) (15)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值是

1

12.(2010 江苏卷)12、设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y



13.(2010 安徽文)(15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 ① ab ? 1 ; ② a? b?

2;

③ a ?b ? 2 ;
2 2

④ a ? b ? 3;
3 3



1 1 ? ?2 a b
. 。

14.(2010 山东文) (14)已知 x, y ? R? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

15.(2010 浙江文) (15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是

16.(广东理 9)不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是 . 17.(湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理)已知函数 f(x)=|x-2|,若? a≠0,且 a,b∈R,都 有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)成立,则实数 x 的取值范围是 . 18. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考文)不等式

1 x

?1 ?

2 的解集为 x



2 19. (河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理)若 x1 和 x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,

不等式 三、解答题

a 2 ? 5a ? 3 ? x1 ? x2

对任意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立,则 a 的取值范围是

20.(福建理科)设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

21. (河南信阳市 2011 届高三理 (I)已知 x, y, z均为正数 ,求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

(II)已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2c ,求证: c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab.

22.(安徽理 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明

x? y?

1 1 1 ? ? ? xy; xy x y ,

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c .

2

不等式 一、选择题

x?2 x?2 ? x x 1.(2010 江西理)3.不等式
A. (0, 2)
B. (??, 0)

的解集是(



C. (2, ?) ?

D.(-?,0) (0, ?) ? ?

1 4 ? 2.(重庆理 7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a b 的最小值是(



7 A. 2

B.4

9 C. 2

D.5

3.(上海理 15)若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是 B. a ? b ? 2 ab
a b

A. a ? b ? 2ab
2 2

1 1 2 ? ? ab C.D a b

b a ? ?2 D. a b

4.(2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A.8 B.4 C. 1 D.

1 1 ? 的最小值为 a b

1 4

a b 解析 因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

b a 1 1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? 即 a ? b ? 时“=”成立, a b 2 a b a b a b a b
5.(2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 解析 B. 2 2 因为 C.4

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b



D.5

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 当且仅当 ? ,且 ,即 a ? b 时, a b a b ab ab

取“=”号。 6.(2010 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 )

B.4

C.

9 2

D.

11 2
2

? x ? 2y ? 2 解析:考察均值不等式 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 7.(2009 重庆卷理)不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
2



A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??)

C. [1, 2]

D. (??,1] ? [2, ??)
3

解 析

因 为 ?4 ? x

? x 1?对4 x 3 ? ?

3 x ?2 1 ? ? a

对a ? 任 ? 3 意

x

恒 成 立 , 所 以

a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1
8.(2010 四川文) (11)设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 的最小值是() (A)1 (B)2 (C)3 D)4 ? ab a ? a ? b ?

解析: a ?
2

1 1 1 1 1 1 2 = a ? ab ? ab ? = ab ? ? ? a ( a ? b) ? ? ab a(a ? b) ab a (a ? b) ab a ? a ? b ?
2 满足条件. 2
) (A)2

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立如取 a= 2 ,b=

9.(2010 四川理) (12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是( ab a(a ? b)

(B)4 解析: 2a ?
2

(C) 2 5

(D)5

1 1 1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 = (a ? 5c) 2 ? a 2 ? ab ? ab ? ? ab a(a ? b) ab a(a ? b)
2

= (a ? 5c) ? ab ?

1 1 ≥0+2+2=4 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立如取 a= 2 ,b=

2 2 ,c= 满足条件. 2 5
x z ? 的最小值是( ) y t

10、 (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理)设 1 ? x ? y ? z ? t ? 100, 则

A.2 二、填空题

B.

1 2

C.

1 5

D.

1 10
. 【答案】 (3,8)

11. (2010 辽宁文) (15) 已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 , z ? 2 x ? 3 y 的取值是 则

12. (2010 江苏卷)12、 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8, 4≤

2

x2 x3 ≤9, 则 4 的最大值是 y y

。 【答案】 27

【解析】 (

1 1 1 x2 2 x3 x2 1 x3 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy

13.(2010 安徽文)(15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).① ab ? 1 ; ② a? b?

2;

③ a ?b ? 2 ;
2 2

4

④ a ? b ? 3;
3 3



1 1 ? ?2 a b

【答案】①,③,⑤

【解析】令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 ? ? 2 ,命题⑤正确。 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? a b ab ab
14.(2010 山东文) (14)已知 x, y ? R? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.【答案】3 。 【答案】18

15.(2010 浙江文) (15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是

16.(广东理 9)不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是 . [1, ??) 17.(湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理)已知函数 f(x)=|x-2|,若? a≠0,且 a,b∈R,都 有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)成立,则实数 x 的取值范围是 .答案 [0,4] . |a+b|+|a-b| 解:|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)及 a≠0 得 f(x)≤ 恒成立, |a| 而 |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| ≥ =2,则 f(x)≤2,从而|x-2|≤2,解得 0≤x≤4. |a| |a|

18. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考文)不等式

1 x

?1 ?

2 的解集为 x
2

。答案

2 a ? 5a ? 3 ? x1 ? x2 19. (河南省长葛第三实验) x1 和 x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根, 若 不等式 对

任意实数 m ? ?? 1,1? 恒成立,则 a 的取值范围是 三、解答题 20.(福建理科) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解: (1) M ? ?x | 0 ? x ? 1?(2) (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ,? a, b ? M ? a ? 1, b ? 1 ,

? a ? 1 ? 0, b ? 1 ? 0 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,? ab ? 1 ? a ? b 。
21(浙江理科)设正数 x, y, z 满足 2 x ? 2 y ? z ? 1 (1)求 3xy ? yz ? zx 的最大值; 分) (5 (2)解:将 2 x ? 2 y ? z ? 1 平方可得: 4 x ? 4 y ? z ? 8xy ? 4 xz ? 4 yz ? 1
2 2 2

7 2 7 2 x2 z 2 y2 z2 ? ) ? 8 xy ? 4 xz ? 4 yz ? 1 ,由基本不等式可知 即( x ? y )?( ? )?( 2 2 2 2 2 2

1? 2

7 y 2 7x2 x2 z 2 y2 z2 ? ?2 ? ?2 ? ? 8xy ? 4 yz ? 4 xz ? 15xy ? 5 yz ? 5 xz 2 2 2 2 2 2
1 1 ,等号成立时, x ? y ? z ? 。 5 5

所以 3 xy ? xz ? yz ?

22. (河南信阳市 2011 届高三理) (I)已知 x, y, z均为正数 ,求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z
5

(II)已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2c ,求证: c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab. 答案 30. (I)证明:因为 x,y,z 均为正数, 所以

x y 1 x y 2 ? ? ( ? )? , yz zx z y x z

同理可得

y z 2 z x 2 ? ? , ? ? , zx xy x xy yz y

当且仅当 x ? y ? z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, 得

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

(II)证明:要证 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab , 只需证 ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab , 即只要证 | a ? c |? c 2 ? ab

? 两边都是非负数,

? 只要证(a ? c) 2 ? c 2 ? ab, 只要证a 2 ? 2ac ? ? ab 即只要证a (a ? b) ? 2ac, ? a ? 0, 只需证a ? b ? 2c,
这就是已知条件,且以上各步都可逆,

?c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab.
23.(安徽理 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明

x? y?

1 1 1 ? ? ? xy; xy x y ,

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c . 本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考查代数式的恒等变 形能力和推理论证能力. 证明: (I)由于 x ? 1, y ? 1 ,所以

x? y?

1 1 1 ? ? ? xy ? xy( x ? y ) ? 1 ? y ? x ? ( xy) 2 , xy x y

将上式中的右式减左式,得

( y ? x ? ( xy) 2 ) ? ( xy( x ? y ) ? 1) ? ((xy) 2 ? 1) ? ( xy( x ? y ) ? ( x ? y )) ? ( xy ? 1)(xy ? 1) ? ( x ? y )(xy ? 1) ? ( xy ? 1)(xy ? x ? y ? 1) ? ( xy ? 1)(x ? 1)( y ? 1). 即然x ? 1, y ? 1, 所以( xy ? 1)(x ? 1)( y ? 1) ? 0,
从而所要证明的不等式成立. (II)设 loga b ? x, logb c ? y, 由对数的换底公式得

1 1 1 , logb a ? , logc b ? , loga c ? xy. xy x y 1 1 1 x? y? ? ? ? xy, xy x y 于是,所要证明的不等式即为 logc a ?
其中 x ? loga b ? 1, y ? logb c ? 1. 故由(I)立知所要证明的不等式成立.
6


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