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2016年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)


2016 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 考生注意: 1、本试卷共三大题(16 个小题),全卷满分 140 分。 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答。 3、计算器、通讯工具不准带入考场。 4、解题书写不要超过密封线。 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
C 的对边长分别为 a 、 b、 1、 在 ? ABC 中, 设内角 A 、B 、

命题 p ∶ B ? C ? 2 A , c。

且 b ? c ? 2a ;命题 q ∶ ? ABC 是正三角形,则命题 p 是命题 q 的 A、充要条件 C、必要条件但不是充分条件 2、若 i 为虚数单位,复数 z ? A、-1 B、 ?i C、 i B、充分条件但不是必要条件 D、既不是充分条件又不是必要条件
3 1 ? i ,则 z 2016 的值是 2 2

D、1

3、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2tx ? t ,当 x ???1,1? 时,则 f ( x) 的最小值为 m ,则 m 的 最大值是 A、 -2 B、0 C、
1 4

D、1

?n? 4、对任意正整数 n 与 k (n ? k ) , f (n, k ) 表示不超过 ? ? ,且与 n 互质的正整数 ?k ?

的个数,则 f (100,3) ? A、11 B、13 C、14 D、19

3 2 ?5 ? 5、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 6, an?1 ? ? an ? an ? 2 ? , n ? N * ,其中 ? x ? 表示不超过实 4 ?4 ?

数 x 的最大整数, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,则 S2016 的个位数字是 A、1 B、2 C、5 D、6

6 、已知 F1 、 F2 是椭圆和双曲线的公共焦点 , P 是它们的一个公共点 ,且

?F1PF2 ? 60? ,则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是
A、
3 3

B、

3 2

C、1

D、 3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 4 7、在 ( x ? ? 4)5 的展并式中 x3 的系数是 。(用具体数作答) x

8、若实数 ? 、 ? 、 ? 构成以 2 为公比的等比数列, sin ? 、 sin ? 、 sin ? 构成等 比数列,则 cos? 的值是 。 9、已知正四棱锥 S ? ABCD 侧棱长为 4,?ASB ? 30? ,过点 A 作截面与侧棱 SA 、 SC 、 SD 分别交于 E 、 F 、 G ,则截面 AEFG 周长的最小值是 。 ??? ? ??? ? ??? ? 10 、 己 知 ? ABC 的 外 心 为 O , 且 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 , 则 cos ?BAC 的 值 是 。

11、实数 x 、 y 、 z 、 w ,满足 x ? y ? z ? w ? 1 , 则 M ? xw ? 2 yw ? 3xy ? 3zw ? 4 xz ? 5 yz 的最大值是 。

12、对于任何集合 S ,用 S 表示集合 S 中的元素个数,用 n( S ) 表示集合 S 的子 集个数。若 A 、 B 、 C 是三个有限集,且满足条件: ① A ? B ? 2016 ;② n( A) ? n( B) ? n(C) ? n( A ? B ? C ) ; 则 A ? B ? C 的最大值是 。

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , , 记 bn ? 2(1 ? log 2 an ) Sn ? 2n ? r( r 为常数)
(n ? N *) 。

(1)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对于任意的正整数 n ,都有 的最大值。 14、己知 a 、 b 、 c 为正实数, 求证: abc ?
1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 . ....... ? k n ? 1 成立,求实数 k b1 b2 bn

a?b?c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2

15、已知抛物线 y 2 ? 2 px 过定点 C (1, 2) ,在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A , 直线 AC 与直线 y ? x ? 3 交于点 P ,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B 。 (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求 ? ABC 面积的最小值。 16、已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ,请讨论函数 f ( x) 的单调性。


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