nbhkdz.com冰点文库

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业23


课后限时自测
A组 一、选择题 1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 3 -7-9 所示),要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m, ∠ABC=105° , ∠BCA=45° , 就可以计算出 A, B 两点的距离为( ) 基础训练

图 3-7-9

A.

50 2 m C.25 2 m 【解析】 AB=50 2. 【答案】 A

B.50 3 m 25 2 D. 2 m

BC AB 在△ABC 中,由正弦定理sin 30° =sin 45° ,

2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° , 则斜坡长为( A.1 C.2cos 10° 【解析】 ) B.2sin 10° D.cos 20°

如图,∠ABC=20° ,AB=1,

∠ADC=10° ,∴∠ABD=160° . 在△ABD 中,由正弦定理得 AD AB = , sin 160° sin 10° sin 160° sin 20° ∴AD=AB· =2cos 10° . sin 10°=sin 10° 【答案】 C

3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱 的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北 偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高 度是( ) B.100 m D.150 m 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,

A.50 m C.120 m 【解析】

A=60° ,AC=h,AB=100,BC= 3h. 由余弦定理,( 3h)2=h2+1002-200h· cos60° , 即(h-50)(h+100)=0, ∴h=50. 故水柱的高度为 50 m. 【答案】 A )

4.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ∠ECF=( 16 A.27 3 C. 3 【解析】 2 B.3 3 D.4 1 2 设 AC=1,则 AE=EF=FB=3AB= 3 ,

5 由余弦定理得 CE=CF= AE2+AC2-2AC· AEcos 45° =3, CE2+CF2-EF2 4 所以 cos ∠ECF= =5, 2CE· CF sin ∠ECF = cos ∠ECF ?4? 1-?5?2 ? ? 3 =4. 4 5

所以 tan ∠ECF=

【答案】

D

5. 一船向正北航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的 南偏西 75° ,则这艘船的速度是每小时( A.5 海里 ) B.5 3海里

C.10 海里 【解析】

D.10 3海里 如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,

所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5,于是这艘 5 船的速度是0.5=10(海里/小时). 【答案】 二、填空题 6.如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B 望对岸的标记 物 C, 测得∠CAB=30° , ∠CBA=75° , AB=120 m. 则这条河的宽度为________m. C

图 3-7-10 【解析】 因为∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,

则∠ACB=180° -30° -75° =75° , 所以 AC=AB=120 m, 设这条河的宽度为 h, 1 ∴h=AC· sin A=120×2=60(m). 【答案】 60

7.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙 楼顶的俯角为 30° ,则乙楼的高是________米. 【解析】 如图,依题意甲楼高度 AB=20tan 60° =20 3米,又 CM=DB=

20 米,∠CAM=60° . 1 20 3 所以 AM=CM· = 3 米, tan 60° 20 3 40 3 所以乙楼的高 CD=20 3- 3 = 3 米. 【答案】 40 3 3

8.如图 3-7-11,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、

50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角的大小是 ________.

图 3-7-11

【解析】

依题意,得 AD=20 10 m,AC=30 5m.

在△ACD 中,CD=50 m,由余弦定理, AC2+AD2-CD2 6 000 2 cos∠CAD= = = , 2AC· AD 60 00 2 2 又 0° <∠CAD<180° ,∴∠CAD=45° ,即张角为 45° . 【答案】 三、解答题 9.(2014· 惠州模拟)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的 速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点 A,B,且 AB 长为 80 米,当航模 在 C 处时,测得∠ABC=105° 和∠BAC=30° ,经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得∠BAD=90° 和∠ABD=45° .请你根据以上条件求出航模的速度.(答案 保留根号) 45°

图 3-7-12

【解】

在△ABD 中,∵∠BAD=90° ,∠ABD=45° ,

∴∠ADB=45° ,∴AD=AB=80,∴BD=80 2. BC AB 在△ABC 中,sin 30° =sin 45° , ABsin 30° ∴BC= sin 45° = 1 80×2 2 2

=40 2.

在△DBC 中,DC2=DB2+BC2-2DB· BCcos 60° 1 =(80 2)2+(40 2)2-2×80 2×40 2×2=9 600. 40 6 ∴DC=40 6,航模的速度 V= 20 =2 6米/秒. 答:航模的速度为 2 6米/秒. 10.(2014· 威海调研)如图 3-7-13,A、C 两岛之间有一片暗礁,一艘小船 于某日上午 8 时从 A 岛出发, 以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75° 方向直线航行, 下午 1 时到达 B 处.然后以同样的速度沿北偏东 15° 方向直线航行,下午 4 时到 达 C 岛.

图 3-7-13 (1)求 A、C 两岛之间的距离; (2)求∠BAC 的正弦值. 【解】 (1)在△ABC 中,由已知,得

AB=10×5=50(海里),BC=10×3=30(海里), ∠ABC=180° -75° +15° =120° , 由余弦定理,得 AC2=502+302-2×50×30 cos 120° =4 900, 所以 AC=70(海里). 故 A、C 两岛之间的距离是 70 海里. (2)在△ABC 中,由正弦定理,得 所以 sin∠BAC= BC AC = , sin∠BAC sin∠ABC

BC· sin∠ABC 30sin 120° 3 3 = = 14 . AC 70

3 3 故∠BAC 的正弦值是 14 . B组 能力提升

1.2013 年 9 月 1 日中国第 12 届全运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为

15° 的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图 3-7-14 所示),则旗杆的高度 为( )

图 3-7-14 A.10 m C.10 3 m 【解析】 B.30 m D.10 6 m

如图,在△ABC 中,∠ABC=105° ,

所以∠ACB=30° . 10 6 BC 由正弦定理得sin 30° =sin 45° , 2 所以 BC=20 6× 2 =20 3. 3 在 Rt△CBD 中,CD=BCsin 60° =20 3× 2 =30(m). 【答案】 B

2. (2014· 广州模拟)一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯 塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点距离为________海里.

图 3-7-15

【解析】 由已知可得,∠BAC=30° ,∠ABC=105° ,AB=20,从而∠ACB =45° . AB 在△ABC 中,由正弦定理,得 BC=sin 45° ×sin 30° =10 2.

【答案】

10 2

3.(2014· 济南调研)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的 轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线 方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确 定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理 由. 【解】 如图所示. 在△AOB 中 A=90° -30° =60° , ∴S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos 60° = 900t2-600t+400= 1 900?t-3?2+300. (1)设小艇与轮船在 B 处相遇,相遇时小艇航行的距离为 S 海里,

1 10 3 故当 t=3时,Smin=10 3,此时 v= 1 =30 3. 3 ∴小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)由题意可知 OB=vt,在△AOB 中利用余弦定理得: v2t2=400+900t2-2· 20· 30tcos 60° , 600 400 故 v2=900- t + t2 .∵0<v≤30, 600 400 2 3 2 ∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0,解得 t≥3, 2 又 t=3时,v=30(海里/小时), 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于3. 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行 方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.


高三一轮总复习理科数学新课标课时作业23

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业23_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高三一轮总复习理科数学新课标课时作业23_数学_高中教育_教育...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业3

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业3_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮总复习理科数学新课标课时作业3_数学_高中教育_教育...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业33

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业33_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮总复习理科数学新课标课时作业33_数学_高中教育_...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业28

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业28_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮总复习理科数学新课标课时作业28_数学_高中教育_...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业26

课后限时自测 A组 一、选择题 1.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 【解析】 ∵a⊥b, B. 10 D.10 ) ...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业30

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业30_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮总复习理科数学新课标课时作业30_数学_高中教育_...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业35

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业35_数学_高中教育_教育专区。课后限时自测 A组 一、选择题 1.(2014· 潍坊模拟)函数 f(x)= A.(-∞,1)∪(3,+∞)...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业25

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业25_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮总复习理科数学新课标课时作业25_数学_高中教育_...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业21

cos 10° 2sin 50° cos 50° sin 100° cos 10° =cos 10° =1. cos 10° = cos 10° 【答案】 三、解答题 1 π? ? 9.(2013· 广东高考)...

高三一轮总复习理科数学新课标课时作业32

高​三​一​​总​复​习​理​科​数​学​新​课...+n×2n-1,① 2Bn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n.②①-②,得-Bn=1+2...