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2013年高考文科数学立体几何试题 大题

时间:2014-04-14


2013 年高考文科数学立体几何
1.(安徽 18)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 .
?

已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .

(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

2.(北京 17)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / /CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

1

3. (福建 18) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 面ABCD ,AB / / DC ,AB ? AD ,BC ? 5 ,DC ? 3 ,

AD ? 4 , ?PAD ? 60? .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺寸,并画出 演算过程) ; (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / /面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

????

4.(广东卷 18)如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点,

AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,
得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?
D G E

2 . 2

A

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

B

F 图 4
A

C

G

E

D F C

2
B 图 5

5.(湖南卷 17)如图,在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=AC= 菱 BB1 上运动。 (I) 证明:AD⊥C1E; (II) 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时, 求三菱锥 C1-A2B1E 的体积

,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在

6.(江苏卷 16)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作

AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

3

7.(江西卷 19)如图,直四棱柱 ABCD – A1B1C1D1 中,AB//CD,AD⊥AB, AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

8.(辽宁卷 18)如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

4

9.(全国卷 19)如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是
?

边长为 2 的等边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

10.(陕西卷 18)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,
AB ? AA1 ? 2 .

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

5

11.(四川卷 19)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ? 2 ,

?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异于端点的点。
(Ⅰ) 在平面 ABC 内, 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l , 说明理由, 并证明直线 l ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AC 于点 Q ,求三棱锥 A1 ? QC1 D 的体积。 (锥体体积公式: V ? 中 S 为底面面积, h 为高)

1 Sh ,其 3

C A C1 A1 P

D B D1 B1

12.(天津卷 17)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

6

13.(全国新课标 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点, (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD1 ; (Ⅱ)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1 DE 的体积。

A1 B1 A D B E

C1

C

14.(浙江卷 19)如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD, AB=BC=2, AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; PG (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

7

15. (重庆卷 19 )如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3



(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

16.如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下钻到

A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1 A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别
为 B1 B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d 2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体
A1 B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S中 .

(Ⅰ)证明:中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)在△ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏 储 量 ( 即 多 面 体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 的 体 积 V ) 时 , 可 用 近 似 公 式 V估 ? S中 ? h 来 估 算 . 已 知
1 V ? (d1 ? d 2 ? d 3)S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

8

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