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2012年东莞市高中数学竞赛决赛试题


2012 年东莞市高中数学竞赛决赛试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 1.从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是 A.

5 6

B.

2 3

C



1 2

D.

1 3
,则

2.若 ? 是第四象限角,且 sin A.第一象限角 C.第三象限角

?
2

? cos

?
2

? 1 ? 2 sin

?
2

cos

?
2

? 是 2

B.第二象限角 D.第四象限角

3. 已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP ? 2OA+BA ,则 A.点 P 不在直线 AB 上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AB 的反向延长线上

??? ?

??? ??? ? ?

4.设 m, n ? R? ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 4 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相切,则 m ? n 的取值范 围是 A. (0,1 ? 3] B. [1 ? 3,??) C. [2 ? 2 2 ,??) D. (0, 2 ? 2 2 ]

5. 已知正方体 C1 的棱长为 18 2 ,以 C1 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为 C2,以 C2 的各个面的中 心为顶点的凸多面体记为 C3,则凸多面体 C3 的棱长为 A.18 B. 9 2 C.9 D. 6 2

6. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f (x) , 满 足 f ( x ? 3) ? ? f ( x ), 且 在 区 间 [0,

3 ] 上是增函数,若方程 2

f ( x) ? m (m ? 0) 在区间 ?? 6, 6? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?
A. ? 6 B. 6 C. ? 8 D. 8 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) , 4 ? 1 ?ln x , x ? 0 , ? 7.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? ?1 的解集为 ▲ . 6 1

? ,x?0 ?x ?

8.随机抽查某中学高二年级 100 名学生的视力情况,发现学生的视力全部介于 4.3 至 5.2.现将这些数据分 成 9 组,得其频率分布直方图如下.又知前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,则视力 在 4.6 到 5.0 之间的学生有 ▲ 人.

频率/组距
高中数学竞赛试题 第 1 页 共 8 页

2 2 c2 9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边长分别为 a , b, c ,若 a ?b ? 2 ,则 cos C 的最小值为



.

10.给出下列四个命题: (1)如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 相交; (2)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? ; (3)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内与它们的交线不垂直的直线与平面 ? 也不垂直; (4)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? . 其中真命题的序号是 ▲ . (写出所有真命题的序号) ... 11.若动点 M ( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上运动,且满足 ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ≤8,则 x02 ? y02 的取值范围是 ▲ .
?1? ?2?
x

12.设函数 f ?x ? ? x? ? ?
n

1 , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ?x ? 图象上横坐标为 n(n∈N*)的点,向 x ?1
?

量 an ?

?

Ak ?1 Ak ,向量 i ? (1,0) ,设 ? n 为向量 a n 与向量 i 的夹角,满足

?

k ?1


? tan ?
k ?1

n

k

?

5 的最大整数 n 是 3






题号 答案 1 2


3


4 5 6

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 7. 10. 8. 11. 9. 12.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
高中数学竞赛试题 第 2 页 共 8 页

13.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 2 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调减区间; (2)该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到? (3)已知 ? ? ?

6 ? ? ? 2π ? , ? ,且 f (? ) ? 5 ,求 f (? ? 6 ) 的值. ?6 3 ?

14.(本小题满分 12 分)

高中数学竞赛试题

第 3 页 共 8 页

菱形 ABCD 中, A(1, 2) , AB ? (6, 0) ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P . (1)若向量 AD ? (3, 7) ,求点 C 的坐标; (2)当点 D 运动时,求点 P 的轨迹.

D

C

15. (本题满分 13 分)
高中数学竞赛试题 第 4 页 共 8 页

F A B

E

如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△ABE 为等腰三角形,AE =BE,平面 ABCD⊥平面 ABE,点 F 在 CE 上,且 BF⊥平面 ACE. (1)判断平面 ADE 与平面 BCE 是否垂直,并说明理由; (2)求点 D 到平面 ACE 的距离.

16. (本题满分 13 分)
高中数学竞赛试题 第 5 页 共 8 页

如图,某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂,其中甲厂每天向河道内排放污 水 2 万 m3,每天流过甲厂的河水流量是 500 万 m3(含甲厂排放的污水) ;乙厂每天向河道内排放污水 1.4 万 m3,每天流过乙厂的河水流量是 700 万 m3(含乙厂排放的污水).由于两厂之间有一条支流的 作用, 使得甲厂排放的污水在流到乙厂时, 20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合, 有 且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求,整个河流中污水含量不能超过 0.2%,为此, 甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水. (1)设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为 x、y 万 m3,试根据环保部门的要求写出 x、y 所满足的所有条件; (2)已知甲厂处理污水的成本是 1200 元/万 m3,乙厂处理污水的成本是 1000 元/万 m3,在满足环保 部门要求的条件下,甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万 m3,才能使这两个工厂处理污 水的总费用最小?最小总费用是多少元? 支流 甲厂 乙厂 500 万 m3/天 700 万 m3/天

17. (本题满分 14 分)
高中数学竞赛试题 第 6 页 共 8 页

已知 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4c(a, b, c ? R) . (1)当 a ? 0 时,若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ? x 均无公共点,求证: 4ac ? b 2 ? (2) b ? 4, c ?

1 ; 4

3 时,对于给定的负数 a ? ?8 ,记使不等式 | f ( x) |? 5 成立的 x 的最大值为 M (a) . 4

问 a 为何值时, M (a) 最大,并求出这个最大的 M (a) ,证明你的结论.

18. (本题满分 14 分)
高中数学竞赛试题 第 7 页 共 8 页

已知数列 ?xn ? 和 ? yn ? 的通项公式分别为 xn ? a n 和 yn ? ? a ? 1? n ? b, n ? N ? . (1)当 a ? 3, b ? 5 时,记 cn ? xn2 ,若 c k 是 ? yn ? 中的第 m 项 (k , m ? N ? ) ,试问: ck ?1 是数列 ? yn ? 中 的第几项?请说明理由. (2)对给定自然数 a ? 2 ,试问是否存在 b ? ?1,2? ,使得数列 ?xn ? 和 ? yn ? 有公共项?若存在,求出 b 的值及相应的公共项组成的数列 ?zn ? ,若不存在,请说明理由.

高中数学竞赛试题

第 8 页 共 8 页


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