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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及答案


2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷 一 试
一、填空题(每题 8 分,满分 64 分) 1、 随机抛掷 3 颗大小、 质地相同的正方体骰子, 在 3 颗骰子所示数字中最小值是 3 的概率是 2、关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 4a ? 0 有模为 3 的虚数根,则实数 a 的值是
2 2





3、已知正项数列 ?an ? 的首项为 1,且对一切正整数 n 都有 an (nan ? an?1 ) ? (n ? 1)a 2 n?1 , 则数列的通项公式 an = 。

4、设以 F1 (?1,0), F2 (1,0) 为焦点的椭圆的离心率为 e ,以 F1 为顶点, F2 为焦点的抛物线与椭圆 的一个交点为 P。若

PF1 PF2

? e ,则 e 的值为
2 2



5、设实数 a , b 满足 0 ? a, b ? 8 ,且 b ? 16 ? a ,则 b ? a 的最大值与最小值之和是 6、函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin 2 x?x ? R? 的值域是 。



7、正四棱锥 P—ABCD 外接于一个半径为 1 的球面,若球心到四棱锥各个面的距离相等,则此四棱 锥的底面面积为 。 8、已知△ABC 的外心为 O,内心为 I,∠B=45°.若 OI∥BC,则 cos C 的值是 。 二、解答题(本题 16 分) 设等比数列 a1 , a2 ,?, ak 和 b1 , b2 ,?, bk ,记 cn ? an ? bn , n ? 1,2,?, k 。 ⑴写出一组 a1 , a2 , a3 和 b1 , b2 , b3 ,使得 c1 , c2 , c3 是公差不为 0 的等差数列; ⑵当 k ? 4 时,求证: ?cn ? 不可能为公差不为 0 的等差数列。

三、解答题(本题满分 20 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交 27 18

于 A,B 两点。试问在 x 轴上是否存在定点 P,使得当直线 l 绕点 F 旋转时,都有 PA ? PB 为定值。

四、解答题(本题满分 20 分) 设多项式 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,其中 a, b, c 是实数。若对于任意的非负实数 x, y 有
3 2

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 a, b, c 所满足的条件。

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 加 试
一、 (本题满分 40 分) 如图,E、F 分别是△ABC,△ACD 的内心,AC 平分∠BAD,AC 2 =AB · AD, 延长 EC 交△CDF 的外接圆于点 K,延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R.若 RK∥EF, 求证:点 A 是△BCD 的外心.

B E A F D C R

K

二、 (本题满分 40 分) 求所有的正整数 n, 使得对于任意正实数 a、 b、 c 满足 a+b+c=1, 有 abc(a n+b n +c n )?

1 3
n?2

三、 (本题满分 50 分) 设 n 为正整数,求满足以下条件的三元正整数组〈a, b, c〉 的个数: (1)ab=n; (2)1?c?b; (3)a、b、c 的最大公约数为 1.

四、 (本题满分 50 分) 设 a、b、c、d、e 为正实数,且 a2+b2+c2+d2+e2=2.若 5 个正三角形的面积分别为 a2, b2,c2,d2,e2.求证:这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC.

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷答案
一试: 一、1、 ;2、a=2― 13 ;3、a n = 1/n;4、

? 3 3 3 3? 3 , ;5、 12 ? 4 3 ;6、 ?? ? 2 ? 3 ? 2

7、 4 2 ? 4 ;8、 1 ?

2 2

二、解: (1)a 1 =4,a 2 =8,a 3 =16;b 1 =1,b 2 =3,b 3 =9,则 c 1 =3,c 2 =5,c 3 =7. ……… 6 分 (2)设 a n =ap n ,b n =bq n ,则 c n =ap n -bq n . 假设{c n }是公差非 0 的等差数列, 则由 2c n + 1 =c n +c n + 2 得 ap n (p-1) 2 =bq n (q-1) 2 . ………………………… 10 分 当 k?4 时,n 可取 1,2, 所以有 ap(p-1) 2 =bq(q-1) 2 ,ap 2 (p-1) 2 =bq 2 (q-1) 2 . 解得 p=q.于是 当 p=q≠1 时,则 a=b,从而 c 1 =c 2 =…=c k =0. 当 p=q=1 时,则 c 1 =c 2 =…=c k=a-b. 又数列{c n }是公差不为 0 的等差数列,矛盾. 故命题成立. ………………………… 16 分 三、定点 P(4,0) 四、 a ?

33 9c 2

c ? 0, b ? R

加试
一、证明:如图,连接 ER,FK. 因为∠BAC=∠CAD,AC 2 =AB · AD, 所以△ABC∽△ADC,∠ABC=∠ACD. 又∠EBC=

B E A F D C R

1 1 ∠ABC,∠ACF= ∠ACD, 2 2

所以∠EBC=∠ACF. 由∠EBC=∠ERC 得,∠ERC=∠ACF, 所以 ER∥AC. 同理 FK∥AC, 于是 ER∥FK. ………………………… 20 分 又因为 RK∥EF, 所以四边形 EFKR 为平行四边形,从而 ER=FK. 因为 ER∥AC,所以∠REC=∠ECA=∠ECB. 又因为∠EBC=∠ERC,EC=EC, 所以△BEC≌△ECR,从而 BC=ER.

K

同理,CD=FK,所以 BC=CD. 由

AC AD CD ? ? ? 1 ,得△ABC≌△ADC,于是 AB=AC=AD, AB AC BC 2 1 1 ? 1 1 ? ,b=c= 则 abc(an+bn+cn )= n ? 3 ? 2 n ?1 ? n ? n ? 3 6 3 2 2 ? ?

即 A 为△BCD 外接圆的外心. ………………………… 40 分 二、解: (1)当 n?3 时,取 a=

所以 n?3 不满足题意.………………………… 10 分

1 ?a?b?c? (2)当 n=1 时,abc(a+b+c)=abc? ? ? ? 3 ,所以 n=1 时,满足题意. 3 3 ? ?
………………………… 20 分 (3)当 n=2 时,原不等式也成立. 令 x=ab+bc+ca,则 a2+b2+c2=1-2x, 由(ab+bc+ca)2?3abc(a+b+c),得 3abc?x2 . 于 是 , abc(a2 + b2 + c2) ?
3

3

1 2 x (1 ? 2 x ) 因 此 3

0 < x <

1 1 2 , 从 而 x (1 ? 2 x ) ? 2 3

1 2 1 1 ? x ? x ? 1 ? 2x ? 1 2 2 2 ?? ? ? 4 即 abc(a +b +c )? x (1 ? 2 x ) ? 4 …………… 40 分 3 3 3 ? 3 3 ?
三、解:用(a,b,c)表示 a、b、c 的最大公约数. 令 S n ={〈a,b,c〉| a、b、c 为正整数,ab=n,1?c?b,(a,b,c)=1}, 记 S n 中元素的个数为 f(n) (n∈N * ).显然 f(1)=1. ①如果 n=pα ,其中 p 为素数,α ?1.设〈a,b,c〉∈Sn , 若 b=1,则 a=pα ,c=1; 若 b=p t ,1?t?α -1,则 a= p
? ?t

,(c,p)=1,1?c?b;

若 b=pα ,则 a=1,1?c?b.因此,f(pα )= 1 ?

?? ( p ) ? p
t t ?1

a ?1

a

? p a ?1 ? p a

(这里 φ (x)为 Euler 函数).……………………………… 20 分 ②下证:如果 m,n 为互素的正整数,那么 f(mn)=f(m)·f(n). 首先,对每个〈a,b,c〉∈Smn .由于 ab=mn. 令 b1 =(b,n),b2=(b,m),那么(b1,b2)=1, 再令 a1=(a,n),a2=(a,m), 那么(a1,a2)=1,而且 a1b1=n,a2b2=m. 因为 1=(a,b,c)=(a1a2,b1b2,c)=((a1a2,b1b2 ),c)=((a1,a2)·(b1,b2),c). 那么(a1,b1,c)=1,(a2,b2,c)=1,令 ci≡c(modbi),1?ci?bi,i=1,2. 那么(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c2)=1,因此, 〈a1,b1,c1〉∈S n , 〈a2,b2,c2〉∈S m. ……………………………… 30 分 其次,若〈a1,b1,c1〉∈S n , 〈a2,b2,c2〉∈S m.

令 a=a1a2,b=b1b2.由于(m,n)=1,从而(b1,b2)=1. 由中国剩余定理,存在唯一的整数 c,1?c?b,满足 c≡c 1 (modb 1 ),c≡c 2 (modb 2 ) . ……………………………… 40 分 显然(a2,b2,c)=(a1,b1,c1)=1,(a2,b2,c)=(a2,b2,c2)=1, 从而(a,b,c)=((a,b),c)=((a1,b1 )( a2,b2),c)=(a1,b1,c) (a2,b2,c)=1. 因此, 〈a,b,c〉∈S mn .所以,f(mn)=f(m)·f(n). 利用①②可知,f(n)=nΠ p|n (1+

1 ). ……………………………… 50 分 p

四、证明:不妨设 a?b?c?d?e>0. 若 a?1,则面积为 a 2 的三角形可覆盖△ABC. ……………………… 10 分 若 a<1,则必有 b+c>1,这是因为当 c> 1/2 时,由于 b?c,则 b+c>1; 当 c?1/2 时,又 a<1,则 b2=2-a2-c2-d2-e2>1-3c2?(1-c)2, 所以 b+c>1,从而 a+c>1,a+b>1. ……………………………… 20 分 用面积为 a2, b2, c2 的三个三角形覆盖的△ABC,使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合,且有两条边在△ABC 的两条边上.于是,这三个三角形两两相交. 若这三个三角形能覆盖△ABC,则结论成立.否则有 (a+b-1)+(b+c-1)+(c+a-1)<1,得 2-a-b-c>0.……………………… 30 分 令中间不能被 a2,b2,c2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2, 则 f 2=1-(a2+b2+c2)+(a+b-1)2+(b+c-1)2+(c+a-1)2=(2-a-b-c) 2 , 得 f=2-a-b-c. ……………………………… 40 分 下证:d ?f . 若 d> 1/2 ,由 a?b?c?d?1/2 ,则 f=2-a-b-c<1/2 ,从而 d>f. 若 d? 1/2 ,由 a、b、c<1,有 d?2d2 ?d 2 +e 2 =2-a 2-b 2 -c 2 >2-a-b-c=f. 所以,面积为 d 2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a 2 ,b 2 ,c 2 覆盖的部分. ……………………………… 50 分


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