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广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷


广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是( 2 2 2 2 A. y =﹣8x B. y =8x C. y =﹣4x D. y =4x 2. (5 分)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则 b

=() A. B. C. D. ) )

3. (5 分)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项的和为( A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 4. (5 分)已知椭圆与双曲线 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为(



A.

B.

C.

D.

5. (5 分)若 p:|x|>1,q:x<﹣2,则?p 是?q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. (5 分) 已知数列{an}为等差数列, {bn}为等比数列, 且满足 a1003+a1013=π , b6?b9=2, 则 tan ( )

A. 1 7. (5 分)若 A.

B. ﹣1

C.

D. ,则 sin2θ =( )

B.

C.

D.

8. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为(



A. 2 B. 1 C. ﹣4 D. 4 9. (5 分) 已知等腰三角形底边的两个端点是 A (﹣1, ﹣1) , B (3, 7) , 则第三个顶点 C 的轨迹方程 ( ) A. 2x+y﹣7=0 B. 2x+y﹣7=0(x≠1) C. x+2y﹣7=0 D. x+2y﹣7=0(x≠1) 10. ( 5 分)下列命题正确的个数是( ) 2 2 ①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”; 2 2 ②若命题 p:? x0∈R,x0 ﹣x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0; ③△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件; ④若 p∨q 为真命题,则 p、q 均为真命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. (5 分)设椭圆的两个焦点 分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为 P, 若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

12. (5 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且两个数列各项都为正数,{bn}的公比 q≠1,若 a4=b4,a12=b12,则( ) A. a8=b8 B. a8<b8 C. a8>b8 D. a8>b8 或 a8<b8 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知 tan(α +β )=3,tan(α ﹣β )=5,则 tan2α = . 14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1F2 在 x 轴上,离心率为 交于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 15. (5 分)在△ABC 中,若 B=60°,a=1,S△ABC= ,则 = . . .过 Fl 的直线

16. (5 分)从双曲线

的左焦点 F 引圆 x +y =36 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于点 P, .

2

2

若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|﹣|MT|的值为 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点,直线 y=

x 为 C 的一条渐近线.求双曲线 C 的方程.

18. (12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x ﹣2 求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ABC 的面积.

2

x+2=0 的两根,角 A,B 满足 2sin(A+B)﹣

=0,

19. (12 分)已知 c>0 且 c≠1,设 p:指数函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为减函数,q:不等式 x+(x﹣2c) >1 的解集为 R.若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 c 的取值范围.

x

2

20. (12 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) (1)求{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最小值.

2

21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x﹣8,g(x)=2x ﹣4x﹣16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥ (m+2)x﹣m﹣15 成立,求实数 m 的取值范围.

2

2

22. (12 分) 已知椭圆 C 方程为

=1 (a>b>0) , 左、 右焦点分别是 F1, F2, 若椭圆 C 上的点

到 F1,F2 的距离和等于 4 (Ⅰ)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)直线 l 过定点 M(0,2) ,且与椭圆 C 交于不同的两点 A,B, (i)若直线 l 倾斜角为 (ii)若 ,求|AB|的值.

>0,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

广西梧州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.B 2.C 3.C. 4.B 5. A 7.B. 8.A. 9.D. 10.D. 11.B. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.﹣ 14. + =1. 15.2 16.2. 6.D. 12.C.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.解:设双曲线方程为 (a>0,b>0) (1 分)

由椭圆

+

=1,求得两焦点为(﹣2,0) , (2,0) , (3 分)

∴对于双曲线 C:c=2. (4 分) 又 y= x 为双曲线 C 的一条渐近线, , (9 分) . (10 分) ∴ = (6 分)

解得 a=1,b=

∴双曲线 C 的方程为

18.解: (1)由 2sin(A+B)﹣

=0,得 sin(A+B)=



∵△ABC 是锐角三角形,∴A+B=120°,∴∠C=60°, 2 (2)∵a,b 是方程 x ﹣2 x+2=0 的两根, ∴a+b=2 ,ab=2, 2 2 2 2 ∴c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣3ab=12﹣6=6,∴c= , ∴S△ABC= absinC= = .

19.解:当 p 正确时, x ∵函数 y=(2c﹣1) 在 R 上为减函数,∴0<2c﹣1<1 ∴当 p 为正确时, <1;

当 q 正确时, 2 ∵不等式 x+(x﹣2c) >1 的解集为 R, 2 2 ∴当 x∈R 时,x ﹣(4c﹣1)x+(4c ﹣1)>0 恒成立. 2 2 ∴△=(4c﹣1) ﹣4?(4c ﹣1)<0,∴﹣8c+5<0 ∴当 q 为正确时,c> . 由题设,p 和 q 有且只有一个正确,则

(1)p 正确 q 不正确,∴



(2)q 正确 p 不正确∴

∴c> 1

∴综上所述,c 的取值范围是(

]∪(1,+∞)
2 2 2 2

20.解: (1)由题设条件知 4Sn=(an+1) ,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,得 4an+1=(an+1+1) ﹣(an+1) . 2 2 整理得(an+1﹣1) =(an+1) . 又数列 {an}各项均为正数,所以 an+1﹣1=an+1,即 an+1=an+2, 2 故数列{an}是等差数列,公差为 2,又 4S1=4a1=(a1+1) ,解得 a1=1,故有 an=2n﹣1 (2)由(1)可得 ∴Tn= 由其形式可以看出,Tn 关于 n 递增,故其最小值为 T1= 21.解:由 g(x)=2x ﹣4x﹣16<0,得 x ﹣2x﹣8<0, 即(x+2) (x﹣4)<0,解得﹣2<x<4. 所以不等式 g(x)<0 的解集为{x|﹣2<x<4}; 2 (2)因为 f(x)=x ﹣2x﹣8, 当 x>2 时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15 成立, 2 则 x ﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15 成立, 2 即 x ﹣4x+7≥m(x﹣1) . 所以对一切 x>2,均有不等式 成立.
2 2

而 所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,2]. 22.解: (Ⅰ)由题意得:2a=4,即 a=2, 又点 在椭圆 C 上,∴ , ,即 b =1,
2

(当 x=3 时等号成立) .

∴椭圆 C 的方程为:

焦点 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ; (Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线 l 的斜率为 ,且过点 M(0,2) , 故直线 l 的方程为:y= x+2,代入椭圆 C 的方程,

整理得:13x +16

2

x+12=0, ,x1x2= , = ;

由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ∴|AB|= |x1﹣x2|=2

(ii)由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0, 设 l:y=kx+2,代入椭圆 C 的方程,整理得: 2 2 (1+4k )x +16kx+12=0, 2 2 2 ∵△=(16k) ﹣4?(1+4k )?12=16(4k ﹣3)>0, ∴k > , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由韦达定理可知:x1+x2=﹣ =x1x2+y1y2>0, 又 y1y2=(kx1+2)?(kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4, 2 ∴x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k )
2 2 2

,x1x2=



+2k(﹣

)+4

= ∴k <4, ∴ <k <4,
2 2

>0,

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是: (﹣2,﹣

)∪(

,2) .


广西梧州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷_理(含解析)

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