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高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2

时间:2013-04-27


?3.2

直线的方程

?3.2.1

直线的点斜式方程

? 一、阅读教材P92~94回答 ? 1.若直线经过点P1(x1,y1)及点P(x,y)(点

P不同于点P1)且斜率为k,则k与P1、P的坐 标之间的关系是
y-y1=k(x-x1)

/>.
点斜式

? ∵两点确定一条直线,∴经过点P1(x1,y1),

且斜率为k的直线的方程是



? 2.若直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0, y=kx+b b),代入直线方程的点斜式,整理得直线l 的方程是 ,我们称b为直线l在y 截距 轴上的 ,这个方程是由直线l的 和 斜率 截距 它在y轴上的 确定的,所以叫做直线方程 斜截式 的 . ? 3.当直线l的倾斜角为0°且过P1(x1 ,y1) y=y1 0 点时,直线l的斜率是 ,其方程是 x=x 直 .当 不存在 1 线l的倾斜角为90°且过P1(x1 ,y1)点时, 直线l的斜率 ,其方程是 .

? 4.已知点p1(x1,y1)及k,方程



k与方程y-y1=k(x-x1)是否相同? ? [答案] 不相同.因为前者表示的直线上 缺少一个点P1(x1,y1),而后者才表示整条 直线. ? 5.直线方程的点斜式与斜截式的适用范 围各是什么? ? [答案] 它们的适用范围都是直线的斜率 存在.

? 二、解答下列各题 x+y-3=0 ? 1.过点(1,2),斜率为-1的直线方程为

. ? 2.一直线过点A(1,0)和B(-1,2),为求得 x+y-1=0 -1 直线AB的方程,我们可先由A、B两点的 坐标求得直线AB的斜率 ? k= ,进而可求得直线的方程为 . ? 3.一直线在y轴上截距为- ,斜率为2, 则方程为

? 本节学习重点:直线方程的点斜式和斜截

式. ? 本节学习难点:①求直线方程的步骤. ? ②斜率为0和斜率不存在的直线方程的表 示.

? 1.通过研究直线的点斜式方程,要初步

明确求轨迹方程的基本思路: ? (1)设动点坐标(x,y)(求谁设谁). ? (2)分析动点的几何特征(直线过动点和定 点,由定点和动点求出直线的斜率为k). ? (3)用坐标表示动点的几何特征并化简整 理. ? (4)说明得到的坐标满足的关系式符合直线 方程的定义(此步骤可省略).

? 2.误区警示:①直线方程的点斜式是建

立其它形式的直线方程的基础,是本章的 基石,应熟练掌握.直线方程的点斜式和 斜截式只能表示有斜率的直线,用它求过 定点(x1,y1)的直线的方程时,应注意不要 忘记考察直线x=x1是否符合题意. ? ②直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点 的纵坐标,不是距离,它可以是负数或 零. ? 直线l过点(0,b)?直线l在y轴上的截距是b.

你能写出下列直线的点斜式方程吗? 没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线 如何表示? ? (1)经过点A(2,5),斜率是4; ? (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; ? (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; ? (4)经过点D(1,1),与x轴垂直.
? [例1]

? [解析]

(1)y-5=4(x-2); ? (2)k=tan45°=1 ∴y-3=x-2; ? (3)y=-1; ? (4)x=1. ? [点评] ①使用点斜式方程,必须注意前 提条件是斜率存在. ? ②注意方程x=1的含义:它表示一条垂直 于x轴的直线,这条直线上任意一点的横 坐标都是1.

? 写出满足下列条件的直线方程填空.

,________; ? (2)过点(-3,1),平行于x轴,________; ? (3)过点(-3,1),(1,4),________; ? (4) 过 点 ( - 1 , - 3) , 倾 斜 角 为 135° , ________.
? (1)过点(-1,2),斜率为

? [答案] ? (2)y=1. ? (3)3x-4y+13=0. ? (4)x+y+4=0.

[解析]

4-1 3 (3)直线的斜率k= = ,故方程为y- 1-(-3) 4

3 4= (x-1),即3x-4y+13=0. 4 (4)k=tan135° =-tan45° =-1, y+3=-1· (x+1),即x+y+4=0.

写出下列直线的斜截式方程: ? (1)斜率是3,在y轴上的截距是-3; ? (2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; ? (3)倾斜角是150°,在y轴上的截距是0.
? [例2]

?

总结评述:直线在y轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标,不是“距离”,可以是负 数、0、正数.

? 写出满足下列条件的直线的方程. ? (1)斜率为5,在y轴上截距为-1,________; ? (2) 倾 斜 角 30° , 在 y 轴 上 截 距 为



________.

? [例3]

(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x +7平行的直线的方程; ? (2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2x+7 垂直的直线的方程; ? [分析] 由已知直线的方程求出斜率,再 根据两直线平行或垂直的条件求解.

[解析]

(1)由y=2x+7得k1=2,由两直线平行知k2=

2.∴所求直线方程为y-1=2(x-1). (2)由y=-2x+7得k1=-2,由两直线垂直知k1k2=- 1 1,∴k2= . 2 1 ∴所求直线方程为y-1=2(x+1).

? 一条直线l在y轴上截距为-2,且与直线l1 :y

= -x+2垂直,则l的方程为________. ? [答案] 3x-y-2=0

求倾斜角为直线y=- x+1的倾 斜角的一半,且分别满足下列条件的直线 方程: ? (1)经过点(-4,1); ? (2)在y轴上的截距为-10. ? [分析] 通过已知直线的斜率求出所求直 线的斜率,再分别由点斜式和斜截式求出 直线的方程.
? [例4]

[解析]

∵直线l1?y=- 3x+1的斜率k1=- 3,

∴直线的倾斜角为120° ,由题意知,所求直线的倾斜 角为60° ,斜率k= 3. (1)∵过点(-4,1),∴直线方程为y-1= 3(x+4). (2)∵在y轴上截距为-10, ∴直线方程为y= 3x-10.

3 经过点(-1,1),倾斜角是直线y= x-2的倾斜角的2 3 倍的直线方程是 ( A.x=-1 2 3 C.y-1= 3 (x+1)
[答案] D

)

B.y=1 D.y-1= 3(x+1)

[解析]

3 已知直线斜率k= ,∴倾斜角为30° ,故所 3

求直线倾斜角为60° ,斜率为 3,方程为y-1= 3(x+1), 故选D.

? [例5]

(1)在直线y+2=k(x-3)中,k取任 意实数,可得无数条直线,这无数条直线 的共同特征是____________. ? (2)不论m取何值,直线mx-y+m+3=0恒 过定点__________. ? [答案] (1)过定点(3,-2) (2)(-1,3)

? [解析]

(1)由直线点斜式方程的定义知,不 论k取何实数方程y+2=k(x-3)总表示经过点 (3,-2),斜率为k的直线,所以这些直线的 共同特征是过定点(3,-2). ? (2)将方程mx-y+m+3=0变形为y-3=m(x +1)可知,不论m取何实数,直线总过定点 (-1,3).

关于直线系过定点问题解决方法: ? (一)分离参数法,如(2)的解答. ? (二)赋值法:∵无论m取何实数,直线总过定 点(设为P),∴当m=0,m=1时,直线-y+3 =0与x-y+4=0也都过P.
? [点评]

[例6]

4 已知斜率为- 的直线l,与两坐标轴围成三角 3

形面积为6,求l的方程. [错解] 4 设l:y=- x+b,令x=0得,y=b,令y=0 3

3 1 3 得,x=4b,根据题意得2· (4b)=6, b· 4 ∵b>0,∴b=4.∴直线l的方程为y=- x+4. 3

? [辨析]

直线在x轴(y轴)上的截距是直线与x轴 4 (y轴)交点的横(纵)坐标不是距离,错解误把 [正解] 设l:y=- x+b,令x=0得y=b,令y=0得x 3 直线在两轴上截距当作距离.

3 1 3 = 4 b,根据题意得 2 · | 4 b|=6,∴b2=16,∴b=± |b|· 4,故直 4 线l的方程为y=- x± 4. 3

一、选择题 1.经过点(-3,2),倾斜角为60° 的直线方程是 ( A.y+2= 3(x-3) C.y-2= 3(x+3) 3 B.y-2= (x+3) 3 3 D.y+2= 3 (x-3) )

[答案] C

? 2.直线l的方程为9x-4y=36,则l在y轴上的

截距为
?( ? A.9 ? C.-4 ? [答案]

)

B.-9 B

? 二、填空题
? 3 . 过 点 (2,1) , 平 行 于 y 轴 的 直 线 方 程 为

________ . 平 行 于 x 的 轴 的 直 线 方 程 为 ________. ? [答案] x=2;y=1

? 4.直线y=kx+b不过第二象限,则k、b应

满足______.

? [解析]

如右图直线有如下两种情况:①l 与x轴平行且位于x轴下方或x轴,此时k=0 且b≤0;②l过一、三象限且过原点或第四 象限,此时k>0且b≤0.


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