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河南省漯河市高级中学2015届高三周测数学(理)试题(2014.1.22)


高三数学(理)周测试题
一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分)

? 1 ? 1、已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,集合 B ? ? x | ? 0? ,则 A ? B ? ( ? x ?
A.



?x | ?1 ? x ? 0? C. ?x | x ? 0? D. ?

x | x ? 3? 2、 若各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 1, a3a7 ? a5 ? 56, 其前 n 项的和为 Sn , 则
B.

?x | ?1 ? x ? 0?

S5 ? ( )
A.31 B.

3、“a=1”是“复数 a2﹣1+(a+1)i(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

29 2

C.

31 2

D.以上都不对
) B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4、已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为(
A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

5 、 若 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 y ? f ? x ? 是 ?0, ??? 上 的 递 增 函 数 , 则 不 等 式

f ? log2 x ? ? f ? ?1? 的解集是( )
?1 ? A. ? , 2 ? ?2 ?
B.

? ??, ?2? ? ? 2, ???

C. R

D. ? ?2, 2 ?

x ? 0, ? ? 2 ? x, 6、函数 f ? x ? ? ? ,则 ? 2 ?2 f ? x ? dx 的值为 ( 2 4 ? x , 0 ? x ? 2, ? ?
A.

) D. 8 → )

? ?6

B. ? ? 2 → →

C. 2? →

→ →

7、已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足BA· OA+|BC|2=AB· OB+|AC|2,则点 O(
A.在 AB 边的高所在的直线上 B.在∠C 平分线所在的直线上 C.在 AB 边的中线所在的直线上 D.是△ABC 的外心
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? ? ? ? 8 、 将 函 数 y ? f ? x? 的 图 象 按 向 量 a ? ? ? , 2 ? 平 移 后 , 得 到 函 数 ? 12 ?

?? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 的图象,则函数 f ? x ? 的解析式为( ) 6? ?

A. y ? sin 2 x

?? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 3? ?

? ? ? C. y ? sin ? 2 x ? ? 12 ? ?

? ? ? D. y ? sin ? 2 x ? ? 12 ? ?

? x ? y ? k ? 0, 2 2 ? 9、 已知不等式组 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 表示的平面区域恰好被圆 C:? x ? 3? ? ? y ? 3? ? r 2 ? x ? y ? 6 ? 0, ?
所覆盖,则实数 k 的值是( A. 3 B.4 ) C.5 D.6

10、直线 l: y ? k x ? 2 与曲线 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0? 相交于 A、B 两点,则直线 l 倾 斜角的取值范围是( ) A. ?0, ? ?

?

?

? ? ? ? ? ? 3? ? B. ? , ? ? ? , ? ?4 2? ?2 4 ?

? ? ? ?? ? C. ?0, ? ? ? , ? ? ? 2? ?2 ?

? ? 3? ? D. ? , ? ?4 4 ?

11、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有
立,则不等式 x2f(x)>0 的解集是( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) )

xf′(x)-f(x) <0 恒成 x2

B.(-2,0)∪(0,2) D.(-∞,-2)∪(0,2)

12、对于函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,设 m ? ? x ? R f ? x ? ? 0? , n ? ? x ? R g ? x ? ? 0? ,若存在 m 、 n ,
使得 m ? n ? 1 ,则称 f ? x ? 与g ? x ? 互为 “ 零点关联函数 ” .若函数 f ? x ? ? e x ?1 ? x ? 2 与
g ? x ? ? x 2 ? ax ? a ? 3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为(

) 。

7 A. [2, ] 3

7 B. [ ,3] 3

C. [2,3]

D. [2, 4]

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13、若数列{an}是等差数列,对于 bn=n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比上
述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于 dn>0,则 dn=________时,数列{dn} 也是等比数列. 1

14、设 x、 a1 、 a 2 、y 成等差数列,x、 b1 、 b2 、y 成等比数列,则
是____________

(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围 b1b2

15、在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为

.

1 函数 y ? 2 x3 ? 3x ? 1 的图象关于点 ? 0,1? 成中心对称; ○ 2 对 ?x, y ? R, 若 x ? y ? 0 ,则 x ? 1, 或y ? ?1; ○ 3 若实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 1, 则 ○

y 3 的最大值为 ; x?2 3

4 若 ?ABC 为钝角三角形,则 sin A ? cos B. ○

??? ? ??? ? ??? ? 1 16、在 ?ABC 中, AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O是?ABC 的内心,若 OP ? xOA ? yOB 5

其中0 ? x ? 1,0 ? y ? 1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
三、解答题(17 题 10 分,其它各题均为 12 分,共计 70 分)

.

17、在 ?ABC 中,角 A 、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? 3, b ? 4 , B ? (1)求 cos B 的值; (2)求 sin 2 A ? sin C 的值.

?
2

? A.

18、已知数列

?an ? 满足 an?1 ? 3 ? an ? n ? N ? ? , 且a1 ? 0.
n

1? a

(1)求 a2 , a3 的值; (2)是否存在一个实常数 ? ,使得数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列,请说明理由. a ? ? ? n ?

19、奇函数 f ( x) ?

m ? g ( x) 的定义域为 R ,其中 y ? g ( x) 为指数函数且过点(2,4) . 1 ? g ( x)

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意的 t ? [0,5] ,不等式 f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) ? 0 解集非空,求实 数 k 的取值范围.

20、若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n.
(1)求{an}的通项公式;

an· bn (2)若数列{bn}满足 b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且 cn= ,求数列{cn}的通项公式及 n 其前 n 项和 Tn.

7? ? 21、已知函数 f ?x ? ? 2 cos2 x ? sin? ? 2x ? ?. 6 ? ?
(1)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ? 最小值.

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的 2

22、设函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ln ? x ? 1? ,其中 a ? 0. (1)若 a ? ?6 ,求 f ? x ? 在 ?0,3? 上的最值; (2)若 f ? x ? 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围;

? n ? 1 ? n ?1 ? (3)当 a ? ?1 时,令 g ? x ? ? x3 ? x ? f ? x ? ,试证: ln ? ? ? 3 n? N 恒 n n ? ?

?

?

成立.

高三数学(理)周测测试题答案
一、 (每小题 5 分,共计 60 分) DCCDA AAADB DC 二、 (每小题 5 分,共计 20 分) 13、
n c1·c2·…·cn;14、(-∞,0∪4,+∞);15、①②③;16、

10 6 . 3

三、解答题(共计 70 分,17 题 10 分,其它各题每小题 12 分) 17、解(1)? B ?

?

?? ? ? A,? cos B ? cos ? ? A ? ? ? sin A, 即sin A ? ? sin B. 2 ?2 ?
3 4 3 4 ? ? ,所以 , sin A sin B ? cos B sin A

又 a ? 3, b ? 4, 所以由正弦定理得

所以 ?3sin B ? 4 cos B ,两边平方得 9sin 2 B ? 16cos 2 B ,又 sin 2 B ? cos2 B ? 1

? 3 3 所以 cos B ? ? , 而 B ? ,所以 cos B ? ? . 2 5 5 3 4 (2)? cos B ? ? ,? sin B ? 5 5
?B ?

?

2

? A ,? 2 A ? 2B ?? ? ,

s i n? A 2

?

s i? n B ?? 2? ?

sB in 2

4 ? 3 ? 24 = ?2sin B cos B ? ?2 ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? 25
又 A ? B ? C ? ? ,? C ?

?s i n A 2?

3? 7 ? 2 B ,?sin C ? ? cos 2B ? 1 ? 2cos 2 B ? 2 25 24 7 31 sC in ? ? ? 25 25 25

18、解 (1) a2 ?

1 1 , a3 ? 3 2
? 1 ? ? 为等差数列,则 ? an ? ? ?

(2)假设存在一个实常数 ? ,使得数列 ?

1 1 1 2 1 1 , , ? ? 成等差数列,所以 , a1 ? ? a 2? ? a 3 ?? a2 ? ? a1 ? ? a3 ? ?
所以

2 1 ?? 3
1

?

1 1 ,解之得 ? ? 1 . ? 0?? 1 ?? 2

因为

3 ? an 1 ? an 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? an ?1 ? 1 an ? 1 1 ? an ? 1 an ? 1 2 ? an ? 1? an ? 1 2 ? an ? 1? 2 3 ? an ?



? 1 ? 1 ? ?1 ,所以存在一个实常数 ? =1,使得数列 ? ? 是首项为 ?1 , a1 ? 1 ? an ? ? ?
1 的等差数列. 2
m ? 2x . 1 ? 2x

公差为 ?

19、解: (Ⅰ)设 g ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1), 则 a 2 ? 4,? a ? 2 ,? g ( x) ? 2 x , f ( x) ?
又? f ( x) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x),? 整理得 m(2 x ? 1) ? 2 x ? 1 (Ⅱ)? f ?( x) ? 也可用 f ( x) ?
?m ? 1

m ? 2? x m ? 2x ?? , ?x 1? 2 1 ? 2x ? f ( x) ? 1 ? 2x 1 ? 2x

?2.2 x ln 2 ? 0,? y ? f ( x) 在 R 上单调递减. (1 ? 2 x ) 2

2 ? 1 为 R 上单调递减. 1 ? 2x

要使对任意的 t ? [0,5], f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) ? 0 解集非空 即对任意的 t ? [0,5], f (t 2 ? 2t ? k ) ? ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) 解集非空
? f ( x) 为奇函数,? f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (2t 2 ? 2t ? 5) 解集非空

又? y ? f ( x) 在 R 上单调递减,
? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? 2t ? 5 当 t ? [0,5] 时有实数解,

? k ? t 2 ? 4t ? 5 ? (t ? 2)2 ? 1 当 t ? [0,5] 时有实数解,
而当 t ? [0,5] 时, 1 ? (t ? 2) 2 ? 1 ? 10 ,? k ? 10.

20、(1)由题意 Sn=2n,得 Sn-1=2n-1(n≥2),两式相减,得 an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
当 n=1 时,21 1=1≠S1=a1=2.


? ?n=1?, ?2 ∴an=? n-1 ?2 ?n≥2?. ?

(2)∵bn+1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1, b3-b2=3, b4-b3=5, … bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加,得

?n-1??1+2n-3? bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)= =(n-1)2. 2 ∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
?-2 ?n=1?, ? ∴cn=? n-1 ? ?n≥2?. ??n-2?×2

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n 1,


∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n. 2?1-2n 1? - ∴-Tn=2+22+23+…+2n 1-(n-2)×2n= -(n-2)×2n 1-2


=2n-2-(n-2)×2n=-2-(n-3)×2n. ∴Tn=2+(n-3)×2n.

[数理化网]

21、解、(1) f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin(2 x ?
? 1+ 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

∴函数 f ( x) 的最大值为 2 .要使 f ( x) 取最大值,则 sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .
6分

? ? ? 故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 6 ? ?
(2)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

3 ? 1 ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 6 2 ? 5? ? ? 13? ? ) ,∴ 2 A ? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴A? . 3 6 6 6 6 6 ) ?1 ?
2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos

?

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 . 2 ∴当 b ? c ? 1 时,实数 a 取最小值 1 .
由 b ? c ? 2 ,知 bc ? (

22、解(1)由题意知, f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? ,

a ? ?6 时,由 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

6 2 x 2 ? 3x ? 5 5 ? ? ? ? 0, 得 x ? 1? x ? ? 舍去 ? x ?1 x ?1 2 ? ?

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0,当x ? ?1,3?时,f ? ? x ? ? 0 ,

?当x ?? 0 , ? 1, f ? x ? 单调递减,当 x ? ?1,3? 时, f ? x ? 单调递增.


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